7.1: Площа між кривими
Ми починаємо цю главу з нагадування про кілька ключових понять з глави 5. fДозволяти неперервна функція[a,b], на якій розбито наn підінтервали як
$a<x_1 < x_2 <\ cdots < x_n<x_ {n+1} =б.\]
dxiДозволяти позначають довжинуi th підінтервалу, і нехайci бути будь-якеx -значення в цьому підінтервалі. Визначення 5.3.1 стверджує, що сума
$\ сума_ {i=1} ^n f (c_i)\ dx_i\]
це сума Рімана. Суми Рімана часто використовуються для наближення деякої величини (площа, обсяг, робота, тиск і т.д.). Наближення стає точним, приймаючи межу
$\ lim_ {||dx_i||\ до0}\ сума {i=1} ^n f (c_i)\ dx_i,\]
де|| dxi|| довжина найбільшого субінтервалу в перегородці. Теорема 5.3.2 пов'язує межі сум Рімана з певними інтегралами:
$\ lim_ {||dx_i||\ до0}\ сума_ {i=1} ^n f (c_i)\ dx_i =\ int_a^b f (x)\ дх.\]
Нарешті, Фундаментальна теорема обчислення стверджує, як визначені інтеграли можна оцінити за допомогою антипохідних.
У цьому розділі використовується наступна техніка для різних застосувань. ПрипустимоQ, значення величини підлягає обчислення. Спочатку ми наближаємо значенняQ використання суми Рімана, потім знаходимо точне значення через певний інтеграл. Ми викладемо цю техніку в наступній ключовій ідеї.
Ключова ідея 22: Певна інтегральна стратегія
Нехай задано величину, значенняQ якої слід обчислити.
- Розділіть кількість наn менші «підвеличини» значенняQi.
- Визначте зміннуx та функцію,f(x) таку, що кожна підкількість може бути апроксимована з добуткомf(ci) dxi, деdxi представляє невелику змінуx. Таким чиномQi≈f(ci) dxi. Зразокf(ci) dxi наближенняQi називається диференціальним елементом.
- ВизнайтеQ=∑ni=1Qi≈∑ni=1f(ci) dxi, що це сума Рімана.
- Прийняття відповідного ліміту даєQ=∫baf(x) dx
Ця ключова ідея матиме більше сенсу після того, як ми мали можливість використати її кілька разів. Почнемо з площі між кривими, яку ми коротко розглянули в розділі 5.5.4.
Площа між кривими
Ми часто зацікавлені в тому, щоб знати область регіону. Забудьте на мить, що ми розглянули це вже в розділі 5.5.4, і натомість підійдіть до нього, використовуючи техніку, описану в Key Idea 22.
QДозволяти площа області, обмеженої неперервними функціямиf іg. Якщо ми розбиваємо область на багато субрегіонів, то маємо очевидне рівняння:
Total Area=sum of the areas of the subregions.
Питання, яке слід вирішити, полягає в тому, як систематично розбивати регіон на субрегіони. Допоможе графік. Розглянемо Малюнок,7.1.1a де область між двома кривими затінена. Хоча існує багато способів розбити це на субрегіони, одним з особливо ефективних способів є «розрізати» його вертикально, як показано на малюнку7.1.1b, наn однаково розташовані фрагменти.
Малюнок7.1.1: Розділення області на вертикальні зрізи та апроксимування ділянок прямокутниками.
Тепер ми наближаємо площу зрізу. Знову ж таки, у нас є багато варіантів, але використання прямокутника здається найпростішим. Підібравши будь-якеx -значенняci вi th зрізі, встановлюємо висоту прямокутника бутиf(ci)−g(ci), різниця відповіднихy -значень. Ширина прямокутника - це невелика різниця вx -значеннях, які ми представляємо зdx. 7.1.1cНа малюнку показані вибіркові точки,ci вибрані в кожному підінтервалі, і відповідні прямокутники, на (Кожен з цих прямокутників являє собою диференціальний елемент.) Кожен зріз має площу, приблизно рівну(f(ci)−g(ci)) dx; отже, загальна площа приблизно дорівнює сумі Рімана
$ $ Q =\ сума_ {i = 1} ^n\ великий (f (c_i) -г (c_i)\ великий)\ dx.\]
Беручи межу, оскількиn→∞ дає точну площу, як∫ba(f(x)−g(x)) dx.
Теорема7.1.1: Area Between Curves
g(x)Дозволятиf(x) і бути безперервні функції, визначені на[a,b] деf(x)≥g(x) для всіхx в[a,b]. Площа області обмежена кривимиy=f(x),y=g(x) а лініямиx=a іx=b є
$\ int_a^b\ великий (f (x) -г (х)\ великий)\ dx.\]
Приклад7.1.1: Finding area enclosed by curves
Знайдіть площу області, обмеженоїf(x)=sinx+2,x=0 іg(x)=12cos(2x)−1x=4π, як показано на малюнку7.1.2.
Малюнок7.1.2: Графік замкненої області в прикладі7.1.1.
Рішення
Графік перевіряє, що верхня межа області задана,f а нижня межа заданаg. Тому площа області є значенням інтеграла
∫4π0(f(x)−g(x)) dx=∫4π0(sinx+2−(12cos(2x)−1)) dx=−cosx−14sin(2x)+3x|4π0=12π≈37.7 units2.
Приклад7.1.2: Finding total area enclosed by curves
Знайдіть загальну площу області, укладеної функціямиf(x)=−2x+5 іg(x)=x3−7x2+12x−3 як показано на малюнку7.1.3.
Рисунок7.1.3: Графік області, укладеної двома функціями у прикладі7.1.2.
Рішення
Швидкий розрахунок показує, щоf=g вx=1,2 і 4. Можна бездумно вчинити за допомогою обчислень∫41(f(x)−g(x)) dx, але це ігнорує той факт, що на[1,2],g(x)>f(x). (Насправді, бездумна інтеграція повертається−9/4, навряд чи очікувана вартість області.) Таким чином, ми обчислюємо загальну площу, розбиваючи інтервал[1,4] на два підінтервали,[1,2][2,4] і використовуючи власне integrand в кожному.
Total Area=∫21(g(x)−f(x)) dx+∫42(f(x)−g(x)) dx=∫21(x3−7x2+14x−8) dx+∫42(−x3+7x2−14x+8) dx=5/12+8/3=37/12=3.083 units2.
У попередньому прикладі зазначається, що ми очікуємо, що область буде позитивною. Коли вперше дізнавшись про певний інтеграл, ми інтерпретували його як «підписану область під кривою», що дозволяє «негативну область». Це не застосовується тут; область повинна бути позитивною.
Попередній приклад також демонструє, що нам часто доводиться розбивати задану область на субрегіони перед застосуванням теореми7.1.1. Наступний приклад показує іншу ситуацію, коли це може бути застосовано, а також альтернативний погляд на застосування теореми.
Приклад7.1.3: Finding area: integrating with respect to y
Знайдіть площу області, укладеної функціямиy=√x+2,y=−(x−1)2+3 іy=2, як показано на малюнку7.1.4.
Малюнок7.1.4: Графік області для Приклад7.1.3.
Рішення
Наведемо два підходи до цієї проблеми. У першому підході ми помічаємо, що «вершина» регіону визначається двома різними кривими. На[0,1], верхня функція єy=√x+2; на[1,2], верхня функція єy=−(x−1)2+3.
Таким чином обчислюємо площу як суму двох інтегралів:
Total Area=∫10((√x+2)−2) dx+∫21((−(x−1)2+3)−2) dx=2/3+2/3=4/3.
Другий підхід розумний і дуже корисний в певних ситуаціях. Ми звикли переглядати криві як функціїx; ми вводимоx значення -value і повертаєтьсяy -value. Деякі криві також можуть бути описані як функціїy: input ay -value іx -value повертається. Ми можемо переписати рівняння, що описують межу, вирішивши дляx:
$ $ y=\ sqrt {x} +2\ квад\ Стрілка вправо\ квад x = (y-2) ^2\]
$ $ y=- (x-1) ^2+3\ квад\ Стрілка вправо\ квад x =\ sqrt {3-y} +1.\]
Малюнок7.1.5: Область, що використовується в Прикладі7.1.3 з межами, позначеними як функціїy.
7.1.5На малюнку показана область з маркуванням меж. Також зображений диференціальний елемент, горизонтальний прямокутник. Ширина прямокутника - це невелика зміна вy:Δy. Висота прямокутника - це різниця вx -значеннях. «top»x -value є найбільшим значенням, тобто крайнім правим. xЗначення «знизу» - менше, тобто крайнє ліве. Тому висота прямокутника дорівнює
$\ великий (\ sqrt {3-й} +1\ великий) - (y-2) ^2.\]
Площа знаходить шляхом інтеграції вищевказаної функціїy щодо відповідних меж. Визначаємо їх, враховуючиy -значення, які займає регіон. Він обмежений нижчеy=2, і обмежений вищеy=3. Тобто і функції «верх», і «низ» існують наy проміжку[2,3]. Таким чином
Total Area=∫32(√3−y+1−(y−2)2) dy=(−23(3−y)3/2+y−13(y−2)3)|32=4/3.
Ця методика пошуку області на основі обчислень може бути корисною навіть з формами, які ми зазвичай вважаємо «легкими». Приклад7.1.4 обчислює площу трикутника. Хоча формула "12×base×height" добре відома, в довільних трикутниках можна нетривіально обчислити висоту. Обчислення робить задачу простою.
Приклад7.1.4: Finding the area of a triangle
Обчислити площу областей, обмежених лініями
y=x+1,y=−2x+7 Іy=−12x+52, як показано на рис7.1.6.
Малюнок7.1.6: Графік трикутної області на прикладі7.1.4
Рішення
Визнайте, що в цій області є дві «верхні» функції, що змушує нас використовувати два певні інтеграли.
Total Area=∫21((x+1)−(−12x+52)) dx+∫32((−2x+7)−(−12x+52)) dx=3/4+3/4=3/2.
Ми також можемо підійти до цього шляхом перетворення кожної функції в функціюy. Для цього також потрібні інтеграли 2, тому немає жодної переваги для цього. Ми робимо це тут для демонстраційних цілей.
Функція «зверху» завжди,x=7−y2 поки є дві «нижні» функції. Пам'ятаючи про належні межі інтеграції, ми маємо
Total Area=∫21(7−y2−(5−2y)) dy+∫32(7−y2−(y−1)) dy=3/4+3/4=3/2.
Звичайно, остаточна відповідь той же. (Цікаво відзначити, що площа всіх 4 використовуваних субрегіонів становить 3/4. Це випадково.)
Хоча ми зосередилися на отриманні точних відповідей, ми також можемо робити наближення, використовуючи принцип теореми7.1.1. Інтегран в теоремі - це відстань («верх мінус низ»); інтеграція цієї функції відстані дає площу. Здійснюючи дискретні вимірювання відстані, ми можемо наблизити площу за допомогою методів числового інтегрування, розроблених у розділі\ ref {sec:numerical_integration}. Наступний приклад демонструє це.
Приклад7.1.5: Numerically approximating area
Щоб наблизити площу озера, показану на малюнку7.1.7a, «довжина» озера вимірюється з кроком 200 футів, як показано на малюнку7.1.7b, де довжини наведені в сотнях футів. Приблизна площа озера.
Рішення
Вимірювання довжини можна розглядати як вимірювання «верх мінус низ» двох функцій. Точну відповідь можна знайти шляхом інтеграції∫120(f(x)−g(x)) dx, але, звичайно, ми не знаємо функційf іg. Наші дискретні вимірювання замість цього дозволяють нам наблизити.
Малюнок7.1.7: (а) ескіз озера, і (б) озера з вимірами довжини.
У нас є такі дані:
$ (0,0),\ (2,2.25),\ (4,5.08),\ (6,6.35),\ (8,5.21),\ (10,2.76),\ (12,0).\]
Ми також маємо цеdx=b−an=2, тому Правило Сімпсона дає
Area≈23(1⋅0+4⋅2.25+2⋅5.08+4⋅6.35+2⋅5.21+4⋅2.76+1⋅0)=44.01¯3 units2.
Оскільки вимірювання знаходяться в сотнях футів, одиниць2=(100 ft)2=10,000 ft2, що дають загальну площу440,133 ft2. (Оскільки ми наближаємося, ми, швидше за все, скажемо440,000 ft2, площа була приблизно, що трохи більше 10 акрів.)
У наступному розділі ми застосовуємо наші методи інтеграції додатків для пошуку обсягів певних твердих речовин.