7.5: Робота

Робота - це науковий термін, який використовується для опису дії сили, яка рухає об'єкт. Коли для переміщення об'єкта на відстань$\vec{F}$ прикладається постійна сила$d$, обсяг виконаної роботи становить

$$W=\vec{F} \cdot \vec{d}.$$

Одиницею сили СІ є Ньютон, (кг$\cdot$ м/с$^2$), а одиниця відстані СІ - метр (м). Основною одиницею роботи є один ньютон-метр, або джоуль (J). Тобто прикладання сили одного Ньютона на один метр виконує один джоуль роботи. В імперських одиницях (як використовується в Сполучених Штатах) сила вимірюється в фунтах (фунтах), а відстань вимірюється в футах (футах), отже робота вимірюється в ft-lb.

Маса проти ваги

Маса і вага - це тісно пов'язані, але різні поняття. Маса$m$ об'єкта є кількісною мірою опору цього об'єкта прискоренню. Вага$w$ предмета - це вимір сили, прикладеної до об'єкта прискоренням сили тяжіння$g$.

Оскільки два вимірювання пропорційні$w=m\cdot g$, вони часто використовуються взаємозамінно в повсякденній розмові. При обчислювальній роботі потрібно бути обережним, щоб відзначити, про що йде мова. Коли маса задана, її потрібно помножити на прискорення сили тяжіння, щоб посилатися на відповідну силу.

Коли сила постійна, вимір роботи нескладний. Наприклад, підйом об'єкта 200 фунтів 5 футів виконує$200\cdot 5 = 1000$ фут-фунт роботи.

Що робити, якщо прикладена сила змінна? Наприклад, уявіть собі альпініста, який тягне 200 футовий мотузку вгору вертикальним обличчям. Мотузка стає легшою, оскільки більше тягнеться, вимагаючи меншої сили, і, отже, альпініст виконує менше роботи.

Загалом, нехай$F(x)$ буде силова функція на інтервалі$[a,b]$. Ми хочемо виміряти обсяг виконаної роботи, застосовуючи силу$F$ від$x=a$ до$x=b$. Ми можемо наблизити обсяг виконуваної роботи,$[a,b]$ розділивши на підінтервали$a=x_1<x_2 <\cdots <x_{n+1}=b$ і припускаючи, що$F$ це постійна на кожному підінтервалі. $c_i$Дозволяти значення в$i\,^{\text{th}}$ підінтервалі$[x_i,x_{i+1}]$. Тоді робота, виконана на цьому проміжку, приблизно

$$W_i\approx F(c_i)\cdot(x_{i+1}-x_i) = F(c_i)\,\Delta x_i, \nonumber$$

постійна сила$\times$ відстань, на яку вона прикладена. Загальна робота становить

$$W = \sum_{i=1}^n W_i \approx \sum_{i=1}^n F(c_i)\,\Delta x_i. \nonumber$$

Це, звичайно, сума Рімана. Беручи межу, оскільки підінтервальні довжини йдуть до нуля, дають точне значення роботи, яке можна оцінити через певний інтеграл.

Ключова ідея 29: Робота

$F(x)$Дозволяти безперервна функція по$[a,b]$ опису величини сили, прикладеної до об'єкта у напрямку руху з відстані$x=a$ на відстань$x=b$. Загальна робота,$W$$[a,b]$ виконана на

$$W = \int_a^b F(x) \, dx.$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Computing work performed - applying variable force

60 м скалолазіння мотузка висить над боком високої скелі. Скільки робіт виконується по витягуванню мотузки вгору до верху, де мотузка має масу 66г/м? Скільки робіт виконується підтягування 60-метрової скалолазної мотузки вгору по обриву, де мотузка має масу 66 г/м?

Рішення

Нам потрібно створити силову функцію$F(x)$ на інтервалі$[0,60]$. Для цього ми повинні спочатку вирішити, що$x$ вимірюється: це довжина мотузки, яка все ще висить, або це кількість мотузки, витягнутої? Поки ми послідовні, будь-який підхід є прекрасним. Ми приймаємо для цього прикладу конвенцію, яка$x$ є кількістю витягнутої мотузки. Це, здається, краще відповідає інтуїції; підтягування перших 10 метрів мотузки передбачає$x=0$$x=10$ замість того,$x=60$ щоб$x=50$.

Як$x$ і кількість мотузки, витягнутої, кількість мотузки все ще висить$60-x$. Ця довжина мотузки має масу 66 г/м, або$0.066$ кг/м Маса ще висить мотузки становить$0.066(60-x)$ кг; множення цієї маси на прискорення сили тяжіння, 9,8 м/с$^2$, дає нашу функцію змінної сили

$$F(x) = (9.8)(0.066)(60-x) = 0.6468(60-x). \nonumber$$

Таким чином, загальна робота, виконана при підтягуванні мотузки, становить

$$W = \int_0^{60} 0.6468(60-x) \, dx = 1,164.24\ \text{J}. \nonumber$$

Для порівняння розглянемо роботу, виконану при підйомі всієї мотузки на 60 метрів. Мотузка важить$60\times 0.066 \times 9.8 = 38.808$ N, тому робота, яка застосовує цю силу на 60 метрів, це$60\times 38.808 = 2,328.48$ J. Це рівно вдвічі більше, ніж робота, розрахована раніше (і ми залишаємо її читачеві, щоб зрозуміти, чому.)

Приклад$\PageIndex{2}$: Computing work performed - applying variable force

Розглянемо ще раз натягнути 60-метрову мотузку вгору по обриву, де мотузка має масу 66 г/м.В який момент рівно половина виконаної роботи?

Рішення

З Прикладу$\PageIndex{1}$ ми знаємо, що загальна виконана робота$1,164.24$ Дж. Ми хочемо знайти$h$ таку висоту, щоб робота по витягуванню$x=0$ мотузки з висоти на висоту$x=h$ становила 582,12, половина загальної роботи. Таким чином, ми хочемо вирішити рівняння

$$\int_0^h 0.6468(60-x) \,dx = 582.12 \nonumber$$

для$h$.

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ int_0^h 0.6468 (60-х)\ dx &= 582.12\\ [4pt]
\ ліворуч (38.808x-0.3234x^2\\ праворуч)\ великий|_0^H &= 582.12\\\ [4pt]
38,808h-0.3234h ^ 2 &=582.12\ [4pt] -0.3234h ^ 2 &=582.12\ [4pt]
-0.3234h 4х^2+38,808-582.12 &= 0. \ end {вирівнювати*}\]

Застосовуємо квадратичну формулу.

$$h=17.57 \ \text{and}\ 102.43 \nonumber$$

Оскільки мотузка довжиною всього$60$ м, єдиною розумною відповіддю є$h=17.57$. Таким чином, близько половини роботи виконується підтягуванням першої$17.5$ м, інша половина роботи виконується підтягуванням залишилися$42.43$ м.

Приклад$\PageIndex{3}$: Computing work performed: applying variable force

Коробка з 100 фунтів піску підтягується з рівномірною швидкістю на відстань 50 футів протягом 1 хвилини. Пісок витікає з коробки зі швидкістю 1 фунт/с.Сама коробка важить 5 фунтів і тягнеться мотузкою вагою 2 фунта/фут.

1. Скільки робіт виконується підйом якраз мотузки?
2. Скільки робіт виконується підйом якраз ящика і піску?
3. Який загальний обсяг виконаних робіт?

Рішення

1. Починаємо з формування силової функції$F_r(x)$ для мотузки (де індекс позначає розглянуту нами мотузку). Як і в попередньому прикладі, нехай$x$ позначимо кількість мотузки, в ногах, втягнутої в. (Це те саме, що приказка$x$ позначає висоту коробки.) Вага мотузки з втягнутими$x$ ногами становить $$F_r(x) = 0.2(50-x) = 10-0.2x. \nonumber$$ (Зверніть увагу, що ми не повинні включати сюди прискорення сили тяжіння, бо дається вага мотузки на ногу, а не її маса на метр, як раніше.) Виконана робота з підйому мотузки $$W_r = \int_0^{50} (10-0.2x)\ dx = 250\ \text{ft-lb}. \nonumber$$
2. Пісок залишає коробку зі швидкістю 1 фунт/с Оскільки вертикальна поїздка займе одну хвилину, ми знаємо, що 60 фунтів залишиться, коли коробка досягне остаточної висоти 50 футів. Знову дозволяючи$x$ представляти висоту коробки, у нас є дві точки на лінії, яка описує вагу піску: коли$x=0$ вага піску становить 100 фунтів, виробляючи точку$(0,100)$; коли$x=50$ пісок у коробці важить 40 фунтів, створюючи точку$(50,40)$. Ухил цієї лінії дорівнює$\frac{100-40}{0-50} = -1.2$, що дає рівняння ваги піску на висоті$x$ як$w(x) = -1.2x+100$. Сама коробка важить постійною 5 фунтів, тому функція загальної сили є$F_b(x) = -1.2x+105$. Інтеграція від$x=0$ до$x=50$ дає роботу, виконану в підйомному ящику і піску: $$W_b = \int_0^{50} (-1.2x+105)\ dx = 3750\ \text{ft-lb.} \nonumber$$
3. Загальна робота - це сума$W_r$ і$W_b$:$250+3750=4000$ ft-lb. Ми також можемо досягти цього за допомогою інтеграції:

\ [\ почати {вирівнювати*} W &=\ int_0^ {50} (F_r (x) +F_b (x))\, дх\\ [4pt]
&=\ int_0^ {50} (10-0.2x-1,2x+105)\, дх\\ [4pt]
&=\ int_0^ {50} (-1.4x+115)\, дх\\ [4pt]
&= 4000\,\ текст {фут-фунт.} \ end {вирівнювати*}\]

Закон Гука і джерела

Закон Гука стверджує, що сила, необхідна для стиснення або розтягування пружинних$x$ одиниць від її природної довжини, пропорційна$x$; тобто ця сила є$F(x) = kx$ для певної постійної$k$. Наприклад, якщо сила 1 Н розтягне задану пружину на 2 см, то сила 5 Н розтягне пружину на 10 см. Перетворюючи відстані в метри, ми маємо, що розтягування цієї пружини 0,02 м вимагає сили$F(0.02) = k(0.02) = 1$ N, отже,$k = \frac{1}{0.02} = 50$ Н/м.

Приклад$\PageIndex{4}$: Computing work performed: stretching a spring

Сила 20 фунтів розтягує пружину від природної довжини 7 дюймів до довжини 12 дюймів. Скільки було виконано робіт по розтягуванню пружини до такої довжини?

Рішення

Багато в чому нас зовсім не хвилює фактична довжина пружини, тільки величина її зміни. Отже, нам все одно, що 20 фунтів сили розтягує пружину до довжини 12 дюймів, а скоріше, що сила 20 фунтів розтягує пружину на 5 дюймів. Це проілюстровано на малюнку$\PageIndex{1}$; ми вимірюємо лише зміну довжини пружини, а не загальну довжину пружини.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Ілюстрація важливих аспектів розтягування пружини в обчислювальній роботі на прикладі$\PageIndex{4}$.

Перетворення одиниць довжини в фути, ми маємо

$$F\left(\tfrac{5}{12}\right) = \tfrac{5}{12}k = 20\ \text{lb}. \nonumber$$

Таким чином$k = 48$ фунт/фут і$F(x) = 48x$.

Обчислюємо загальну виконану роботу шляхом інтеграції$F(x)$ від$x=0$ до$x=\frac{5}{12}$:

\ [\ почати {вирівнювати*}
W &=\ int_0^ {5/12} 48x\, dx\\ [4pt]
&= 24x^2\ Big|_0^ {5/12}\\ [4pt]
&=\ розрив {25} {6}\ приблизно 4.1667\,\ текст {ft-lb.}
\ end {вирівнювати*}\]

Насосні рідини

Іншим корисним прикладом застосування інтеграції для обчислювальної роботи є перекачування рідин, часто ілюстрована в контексті спорожнення резервуара для зберігання шляхом відкачування рідини наверх. Ця ситуація відрізняється від наших попередніх прикладів, оскільки задіяні сили є постійними. Зрештою, сила, необхідна для переміщення одного кубічного фута води (близько 62,4 фунта), однакова незалежно від її розташування в резервуарі. Змінна відстань, яку повинен пройти кубічний фут води; вода ближче до вершини проходить меншу відстань, ніж вода внизу, виробляючи менше роботи.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Масова та масова щільність.

Рідина	фунт/фут ^3	кг/м ^3
Бетон	150	2400
Мазут	55.46	890.13
Бензин	45.93	737.22
Йод	307	4927
Метанол	49,3	791.3
Меркурій	844	1354
Молоко	63.6-65.4	1020-1050
Вода	62.4	1000

Ми демонструємо, як обчислити загальну роботу, виконану при викачуванні рідини з верхньої частини резервуара в наступних двох прикладах.

Приклад$\PageIndex{5}$: Computing work performed: pumping fluids

Циліндричний резервуар для зберігання з радіусом 10 футів і висотою 30 футів заповнений водою, яка важить приблизно 62,4 фунт/фут$^3$. Обчислити обсяг виконуваних робіт, перекачуючи воду до точки 5 футів вище верхньої частини бака.

Рішення

Ми будемо часто посилатися на малюнок$\PageIndex{3}$, який ілюструє основні аспекти цієї проблеми.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Ілюстрація резервуара для води для обчислення роботи, необхідної для його спорожнення, у прикладі 7.5.5.

Ми починаємо так, як часто робимо: ми розбиваємо інтервал на підінтервали. Ми орієнтуємо наш танк вертикально, оскільки це має інтуїтивний сенс з основою резервуара на$y=0$. Отже, верхня частина води знаходиться в$y=30$, тобто ми зацікавлені в поділі$y$ -інтервал$[0,30]$ на$n$ підінтервали як

$$0 = y_1 < y_2 < \cdots < y_{n+1} = 30. \nonumber$$

Розглянемо роботу$W_i$ відкачування тільки води, що проживає в$i\,^\text{th}$ субінтервалі, проілюстровано на малюнку$\PageIndex{3}$. Сила, необхідна для переміщення цієї води, дорівнює її вазі, яку ми обчислюємо як об'ємну$\times$ щільність. Обсяг води в цьому субінтервалі дорівнює$V_i = 10^2\pi \Delta y_i$; її щільність -$62.4$ фунт/фут$^3$. Таким чином, необхідна сила становить$6240\pi\Delta y_i$ lb.

Ми наближаємо відстань, на яку прикладається сила, використовуючи будь-яке$y$ -значення, що міститься в$i\,^\text{th}$ підінтервалі; для простоти ми довільно використовуємо$y_i$ поки що (пізніше це не матиме значення). Вода буде перекачуватися до точки 5 футів вище верхньої частини бака, тобто на висоту$y=35$ футів. Таким чином, відстань, яку$y_i$ проходить вода на висоті, становить$35-y_i$ фути.

В цілому приблизна робота,$W_i$ виконана при переміщенні води в$i\,^\text{th}$ субінтервалі до точки 5 футів над баком, становить

$$W_i \approx 6240\pi\Delta y_i(35-y_i). \nonumber$$

Щоб наблизити загальну роботу, виконану з відкачування всієї води з бака, підсумовуємо всі$W_i$ виконані роботи по відкачуванню води з кожного з$n$ підінтервалів$[0,30]$:

$$W \approx \sum_{i=1}^n W_i = \sum_{i=1}^n 6240\pi\Delta y_i(35-y_i). \nonumber$$

Це сума Рімана. Беручи межу, оскільки довжина підінтервалу переходить до 0, дає

\ [\ почати {вирівнювати*}
W &=\ int_0^ {30} 6240\ пі (35-й)\, dy\\ [4pt]
&= 6240\ пі\ ліворуч (35y-\ tfrac {1} {2} y^2\ праворуч)\ Big|_0^ {30}\\ [4pt]
&= 11,762,123\,\ текст {ft-lb}\\ [4pt]
&\ приблизно 1,176\ раз 10 ^ 7\,\ текст {ft-lb}.
\ end {вирівнювати*}\]

Ми можемо трохи «впорядкувати» вищевказаний процес, оскільки тепер ми можемо визнати, які важливі особливості проблеми. $\PageIndex{4}$На малюнку показаний танк з Приклад$\PageIndex{5}$ без визначеного$i\,^\text{th}$ субінтервалу.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Спрощена ілюстрація для обчислювальної роботи.

Замість цього ми просто малюємо один диференціальний елемент. Це допомагає встановити висоту, невелика кількість води повинна рухатися разом із силою, необхідною для її переміщення (де сила - об'ємна$\times$ щільність).

Ми ще раз демонструємо поняття в наступних прикладах.

Приклад$\PageIndex{6}$: Computing work performed - pumping fluids

Конічний резервуар для води має свою вершину на рівні землі, а основу 10 футів під землею. Радіус конуса на рівні землі - 2 фути. Він заповнюється водою вагою 62,4 фунтів/фут$^3$ і повинен бути спорожнений шляхом перекачування води до патрубка 3 футів над рівнем землі. Знайти загальний обсяг виконаних робіт по спорожненню бака.

Рішення

Конічний резервуар намальований на рис$\PageIndex{5}$. Ми можемо зорієнтувати танк різними способами; ми могли б дозволити$y=0$ представляти основу резервуара і$y=10$ представляти верхню частину резервуара, але ми вирішили зберегти конвенцію формулювання, наведеного в проблемі, і нехай$y=0$ представляють рівень землі і, отже,$y=-10$ являє собою нижню частину танк. Фактична «висота» води не має значення; скоріше, нас хвилює відстань, яку проходить вода.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Графік конічного резервуара для води в прикладі$\PageIndex{6}$.

На малюнку також намальований диференціальний елемент, коло поперечного перерізу. Радіус цього кола є змінним, в залежності від$y$. Коли$y=-10$, коло має радіус 0; коли$y=0$, коло має радіус 2. Ці дві точки,$(-10,0)$ і$(0,2)$, дозволяють знайти рівняння прямої, що дає радіус кола поперечного перерізу, який є$r(y) = \tfrac{1}{5}y+2$. Звідси обсяг води на цій висоті є$V(y)=\pi(\tfrac{1}{5}y+2)^2\, dy$, де$dy$ представляє дуже малу висоту диференціального елемента. Сила, необхідна для переміщення води на висоті$y$, становить$F(y) = 62.4\times V(y)$.

Відстань, якою$y$ рухається вода на висоті, задається$h(y)=3-y$. Таким чином, загальна робота, виконана при відкачуванні води з бака, становить

\ [\ почати {вирівнювати*}
%W &=\ int_ {-10} ^0 F (y) h (y)\, ди\\ [4pt]
W &=\ int_ {-10} ^0 62,4\ pi (\ tfrac {1} {5} y+2) ^2 (3-y)\, dy\\ [4pt]
&= 62.4\ пі\ int_ {10} ^0\ ліворуч (-\ tfrac1 {25} y^3-\ tfrac {17} {25} y^2-\ tfrac85y+12\ праворуч)\, ди\\ [4pt]
&= 62,2\ пі\ cdot\ frac { 220} {3}\ приблизно 14,376\,\ текст {ft-lb.}
\ end {вирівнювати*}\]

Приклад$\PageIndex{7}$: Computing work performed - pumping fluids

Прямокутний басейн шириною 20 футів і має 3-футовий «неглибокий кінець» і 6 футів «глибокий кінець». Це, щоб його вода відкачалася до точки 2 футів вище поточної верхньої частини води.

Розміри поперечного перерізу води в басейні наведені на малюнку$\PageIndex{6}$; зверніть увагу, що розміри призначені для води, а не самого басейну. Обчислити обсяг виконуваних робіт по зливу басейну.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Перетин басейну, заповненого водою в прикладі$\PageIndex{7}$.

Рішення

Для цілей цієї проблеми ми вибираємо встановити,$y=0$ щоб представити дно басейну, тобто верхня частина води знаходиться на$y=6$.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Орієнтування басейну та показ диференціальних елементів на прикладі$\PageIndex{7}$.

$\PageIndex{7}$На малюнку показано басейн, орієнтований з цією$y$ віссю, разом з 2 диференціальними елементами, оскільки басейн повинен бути розділений на дві різні області.

Верхня область лежить у$y$ -інтервалі$[3,6]$, де довжина диференціального елемента дорівнює$25$ ft, як показано на малюнку. Оскільки басейн шириною 20 футів, цей диференціальний елемент являє собою цей шматочок води з об'ємом$V(y) = 20\cdot25\cdot dy$. Вода повинна бути перекачана на висоту$y=8$, тому функція висоти є$h(y) = 8-y$. Робота, виконана в перекачуванні цієї верхньої області води, є

$$W_t = 62.4\int_3^6 500(8-y) \, dy = 327,600 \, \text{ ft-lb}. \nonumber$$

Нижня область лежить в$y$ -інтервалі$[0,3]$; нам потрібно обчислити довжину диференціального елемента в цьому інтервалі.

Один кінець диференціального елемента знаходиться на,$x=0$ а інший - уздовж відрізка лінії, що з'єднує точки$(10,0)$ і$(15,3)$. Рівняння цього рядка є$y= \tfrac{3}{5}(x-10)$; оскільки ми будемо інтегрувати щодо$y$, ми перепишемо це рівняння як$x=\tfrac{5}{3}y+10$. Таким чином, довжина диференціального елемента є різницею$x$ -значення:$x=0$ і$x=\tfrac{5}{3}y+10$, даючи довжину$x=\tfrac{5}{3}y+10$.

Знову ж таки, оскільки басейн шириною 20 футів, цей диференціальний елемент являє собою тонкий шматочок води з об'ємом$V(y) = 20\cdot(\tfrac{5}{3}y+10)\cdot dy$; функція висоти така ж, як і раніше в$h(y)=8-y$. Роботи, що виконуються при спорожненні цієї частини басейну, є

$$W_b = 62.4\int_0^3 20(\tfrac{5}{3}y+10)(8-y) \, dy = 299,520 \, \text{ft-lb}. \nonumber$$

Загальна робота по спорожненню басейну становить

$$W = W_b+W_t = 327,600+299,520 = 627,120 \, \text{ft-lb}. \nonumber$$

Зверніть увагу, як спорожнення дна басейну виконує майже стільки ж роботи, скільки спорожнення верхньої. Верхня частина проходить меншу відстань, але має більше води. Зрештою, ця зайва вода виробляє більше роботи.

Наступний розділ вводить одне остаточне застосування певного інтеграла, розрахунок сили рідини на тарілку.

Автори та атрибуція

• Template:ContribApexCalc