7.6: Рідкі сили
У невдалій ситуації, коли автомобіль заїжджає в водойму, загальноприйнята думка полягає в тому, що тиск води на двері швидко буде настільки великим, що вони будуть ефективно невідкритими. (Методи виживання припускають негайно відкрити двері, скотити або розбити вікно, або чекати, поки вода заповнить інтер'єр, в цей момент тиск вирівнюється і двері відкриються. Див. Епізод #72, щоб подивитися, як Адам Севідж перевіряє ці параметри.) Як це може бути правдою? Скільки сил потрібно, щоб відкрити двері зануреного автомобіля? У цьому розділі ми знайдемо відповідь на це питання, вивчивши сили, що чиниться рідинами.
Почнемо з тиску, яке пов'язане з силою наступними рівняннями:
Pressure=ForceArea⇔Force=Pressure×Area.
У розрізі рідин ми маємо наступне визначення.
Визначення 26: Тиск рідини
wДозволяти бути вага-щільність рідини. Тиск, щоp чиниться на предмет на глибиніd в рідині, єp=w⋅d.
Ми використовуємо це визначення, щоб знайти силу, що чиниться на горизонтальному аркуші, враховуючи площу листа.
Приклад7.6.1: Computing fluid force
- Циліндричний резервуар для зберігання має радіус 2 фути і вміщує 10 футів рідини з щільністю ваги 50 фунт/фут3 (рис7.6.1.) Яку силу чинить рідина на підставу циліндра?

- Прямокутний резервуар, основою якого є квадрат 5 футів, має круглий люк внизу радіусом 2 фути. Резервуар вміщує 10 футів рідини з щільністю ваги 50 фунт/фут3. (Малюнок7.6.2). Яку силу чинить на люк рідиною?

Рішення
- Використовуючи Definition 26, обчислюємо, що тиск, що чиниться на основу циліндра, становитьw⋅d=50 lb/ft3×10 ft=500 фунт/фут2. Площа підстави -π⋅22=4π фути2. Отже, сила, яку надає рідина,F=500×4π=6283 lb. Зауважте, що ми ефективно просто обчислили вагу рідини в резервуарі.
- Розміри бака в цій проблемі не мають значення. Все, що нас турбують, - це розміри люка і глибина залягання рідини. Оскільки розміри люка такі ж, як і підставу бака в попередній частині цього прикладу, як і глибина, ми бачимо, що сила рідини однакова. Тобто,F=6283 lb.
Ключова концепція, яку слід зрозуміти тут, полягає в тому, що ми ефективно вимірюємо вагу 10-футового стовпа води над люком. Розмір бака, що утримує рідину, значення не має.
Попередній приклад демонструє, що обчислення сили, що чиниться на горизонтально орієнтованій пластині, порівняно легко обчислити. А як щодо вертикально орієнтованої пластини? Наприклад, припустимо, у нас є круглий ілюмінатор, розташований збоку від підводного човна. Як ми обчислюємо силу рідини, що чиниться на неї?
Принцип Паскаля стверджує, що тиск, який чинить рідина на глибині, однакове у всіх напрямках. Таким чином, тиск на будь-яку частину пластини, яка знаходиться на 1 фут нижче поверхні води, однаковий незалежно від того, як пластина орієнтована. (Таким чином, занурений на велику глибину порожнистий куб буде не просто «роздавлений» зверху, але і боки будуть м'ятися. Рідина буде чинити силу з усіх боків куба.)
Тому розглянемо вертикально орієнтовану пластину, як показано на малюнку,7.6.3 занурену в рідину з ваговою щільністюw. Яка загальна сила рідини, що чиниться на цю пластину? Знаходимо цю силу, спочатку наблизивши силу на малих горизонтальних смугах.
Нехай верх плити буде на глибині,b а дно нехай знаходиться на глибиніa. (Зараз ми припускаємо, що поверхня рідини знаходиться на глибині 0, так що якщо дно пластини 3 футів під поверхнею, ми маємоa=−3. До цього ми повернемося пізніше.) Розбиваємо інтервал[a,b] наn підінтервали
a=y1<y2<⋯<yn+1=b,
зith підінтервалом, що має довжинуΔyi. Сила, щоFi чиниться на пластину вith субінтервалі, дорівнюєFi=Pressure×Area.
Тиск - глибина×w. Ми наближаємо глибину цієї тонкої смуги, вибираючиdi будь-яке значення в[yi,yi+1]; глибина приблизно−di. (Наша конвенціяdi має негативне число,−di так і позитивне.) Для зручності ми дозволяємоdi бути кінцевою точкою підінтервалу; ми дозволяємоdi=yi.
Площа тонкої смужки приблизно довжина× ширини. Ширина - цеΔyi. Довжина є функцією деякогоy -значенняci вith підінтервалі. Ми заявляємо, що довжина єℓ(ci). Таким чином
\ [\ begin {align*}
F_i &=\ текст {Тиск}\ раз\ текст {Площа}\\
&= -y_i\ cdot w\ times\ ell (c_i)\ cdot\ Дельта y_i.
\ end {align*}\]
Щоб наблизити загальну силу, складаємо приблизні сили на кожну зn тонких смужок:
F=n∑i=1Fi≈n∑i=1−w⋅yi⋅ℓ(ci)⋅Δyi.
Це, звичайно ж, ще один Ріман Сум. Ми можемо знайти точну силу, взявши межу, оскільки підінтервальні довжини йдуть до 0; ми оцінюємо цю межу з певним інтегралом.
Ключова ідея 30: сила рідини на вертикально орієнтованій пластині
Нехай вертикально орієнтована пластина буде занурена в рідину з щільністю ваги,w де верхня частина пластини знаходиться в,y=b а внизу знаходиться вy=a. ℓ(y)Дозволяти довжина пластини вy.
- Якщоy=0 відповідає поверхні рідини, то сила, що чиниться на тарілку рідиною, дорівнюєF=∫baw⋅(−y)⋅ℓ(y)dy.
- Загалом, нехайd(y) представляють відстань між поверхнею рідини і пластини вy. Тоді сила, що чиниться на тарілку рідиною, становить
F=∫baw⋅d(y)⋅ℓ(y) dy.
Приклад7.6.2: Finding fluid force
Розглянемо тонку пластину у формі рівнобедреного трикутника, як показано на малюнку,7.6.4 занурену у воду з ваговою щільністю 62,4 фунт/фут3. Якщо дно пластини знаходиться на 10 футів нижче поверхні води, яка загальна сила рідини, що чиниться на цю пластину?

Рішення
Ми підходимо до цієї проблеми двома різними способами, щоб проілюструвати різні способи реалізації Key Idea 30. Спочатку дозволимоy=0 представляти поверхню води, потім розглянемо альтернативну умовність.

- Ми дозволяємоy=0 представляти поверхню води; тому дно пластини знаходиться вy=−10. Центруємо трикутник наy -осі, як показано на малюнку7.6.5. Глибина плити наy−y вказана ключовою ідеєю. Розглянемо тепер довжину пластини вy.
Нам потрібно знайти рівняння лівого і правого країв пластини. Права сторона - це лінія, яка з'єднує точки(0,−10) і(2,−6): ця лінія має рівнянняx=1/2(y+10). (Знайти рівняння в знайомомуy=mx+b форматі і вирішити дляx.) Аналогічно і ліву сторону описує рядокx=−1/2(y+10). Загальна довжина - це відстань між цими двомаℓ(y)=1/2(y+10)−(−1/2(y+10))=y+10.
лініями: Загальна сила рідини тодіF=∫−6−1062.4(−y)(y+10)dy=62.4⋅1763≈3660.8 lb. - Іноді здається простіше зорієнтувати тонку пластину ближче до походження. Наприклад, розглянемо умовність про те, що дно трикутної пластини знаходиться на(0,0), як показано на малюнку7.6.6. Рівняння лівої і правої сторін знайти нескладно. Вониy=2x іy=−2x, відповідно, які ми переписуємо якx=1/2y іx=−1/2y. Таким чином, функція довжини єℓ(y)=1/2y−(−1/2y)=y.
Оскільки поверхня води знаходиться на 10 футів над основою плити, ми маємо, що поверхня води знаходиться наy=10. Таким чином функція глибини - це відстань міжy=10 іy;d(y)=10−y. Обчислюємо загальну силу рідини так:F=∫4062.4(10−y)(y) dy≈3660.8 lb.

Правильна відповідь, звичайно, не залежить від розміщення пластини в координатній площині до тих пір, поки ми послідовні.
Приклад7.6.3: Finding fluid force
Знайдіть загальну силу рідини на дверях автомобіля, занурених до нижньої частини вікна у воду, де двері автомобіля - прямокутник довжиною 40 дюймів і висотою 27 дюймів (виходячи з розмірів Fiat Grande Punto 2005 року).
Рішення
Двері автомобіля, як прямокутник, намальована на малюнку7.6.7. Його довжина -10/3 фути, а висота - 2,25 фута. Ми приймаємо конвенцію про те, що верхня частина дверей знаходиться на поверхні води, обидві з яких знаходяться наy=0. Використовуючи вагову щільність води 62,4 фунт/фут3, ми маємо загальну силу як
\ [\ почати {вирівнювати*}
F &=\ int_ {-2.25} ^0 62,4 (-y) 10/3 день\\
&=\ int_ {-2.25} ^0 -208y dy\\
&= -104y^2\ Big|_ {-2.25} ^0\\
&= 526,5\ текст {фунт}
\ end {вирівнювати*}\]
Більшості дорослих було б дуже важко застосувати понад 500 фунтів сили до дверей автомобіля, сидячи всередині, що робить двері фактично неможливим для відкриття. Це суперечить інтуїтивності, оскільки більшість припускають, що двері було б відносно легко відкрити. Правда полягає в тому, що це не так, отже, поради щодо виживання, згадані на початку цього розділу.

Приклад7.6.4: Finding fluid force
Будується підводна оглядова вежа з кільцевими оглядовими ілюмінатори, що дозволяють відвідувачам побачити підводне життя. Кожен вертикально орієнтований ілюмінатор повинен мати діаметр 3 футів, центр якого повинен бути розташований 50 футів під водою. Знайдіть загальну силу рідини, що чиниться на кожен ілюмінатор. Крім того, обчислити силу рідини на горизонтально орієнтованому ілюмінаторі, який знаходиться під 50 футів води.

Рішення
Ми розміщуємо центр ілюмінатора біля початку, тобто поверхня води знаходиться наy=50 і функція глибини будеd(y)=50−y; див7.6.8. Рис.
Рівняння кола з радіусом 1,5 єx2+y2=2.25; рішення дляx нас єx=±√2.25−y2, де позитивний квадратний корінь відповідає правій стороні кола, а негативний квадратний корінь відповідає лівій стороні кола. Таким чином, функція довжини на глибиніy єℓ(y)=2√2.25−y2. Інтеграція на[−1.5,1.5] нас є:
\ [\ почати {вирівнювати*}
F &= 62.4\ int_ {-1.5} ^ {1.5} 2 (50-й)\ sqrt {2.25-y^2} ду\\
&= 62,4\ int_ {-1.5} ^ {1,5}\ великий (100\ sqrt {2.25-y^2} - 2y\ sqrt {2.25-y^2}\ великий) dy\\
&= 6240\ int_ {-1.5} ^ {1.5}\ великий (\ sqrt {2.25-y^2}\ великий) dy - 62,4\ int_ {-1.5} ^ {1.5}\ великий (2y\ sqrt {2.25-y^2}\ великий 2) день. \\
\ кінець {вирівнювати*}\]
Другий інтеграл вище можна оцінити за допомогою підстановки. Нехайu=2.25−y2 сdu=−2ydy. Нові межі:u(−1.5)=0 іu(1.5)=0; новий інтеграл буде інтегруватися відu=0 доu=0, отже, інтеграл дорівнює 0.
Перший інтеграл вище знаходить площу половини кола радіусом 1,5, таким чином, перший інтеграл оцінюється до6240⋅π⋅1.52/2=22,054. Таким чином, загальна сила рідини на вертикально орієнтованому ілюмінаторі становить22,054 фунт.
Знайти силу на горизонтально орієнтованому ілюмінаторі простіше: F= textPressure times textArea=62.4 cdot50 times pi cdot1.52=22,054 textlb. Що ці дві сили рівні не випадково; виявляється, що сила рідини, прикладена до вертикально орієнтованої окружності, центр якої знаходиться на глибиніd така ж, як сила, прикладена до горизонтально орієнтованого кола на глибиніd.
Ми закінчуємо цю главу нагадуванням про справжні навички, які мають бути розроблені тут. Ми насправді не стурбовані здатністю знаходити сили рідини або обсяги твердих тіл обертання. Робота, виконана змінною силою, важлива, хоча вимірювання роботи, виконаної при натягуванні мотузки вгору скелі, ймовірно, не є.
Те, що ми насправді стурбовані, - це здатність вирішувати певні проблеми, спочатку наближаючи рішення, потім уточнюючи наближення, а потім визнання, якщо/коли цей процес уточнення призводить до певного інтегралу через межу. Знання формул, знайдених всередині спеціальних полів у цій главі, корисно, оскільки це допомагає вирішувати проблеми, знайдені у вправах, а інші математичні навички зміцнюються правильним застосуванням цих формул. Однак, що ще важливіше, зрозуміти, як була побудована кожна з цих формул. Кожен є результатом підсумовування наближень; кожне підсумовування було сумою Рімана, що дозволяє нам взяти межу і знайти точну відповідь через певний інтеграл.
Наступна глава стосується зовсім іншої теми: послідовності та серії. Коротше кажучи, послідовність - це список чисел, де ряд - це підсумовування списку чисел. Ці, здавалося б, прості ідеї призводять до дуже потужної математики.