11.4: Часткові дроби
- Page ID
- 59250
Розкласти\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), де
- \(Q(x)\)має тільки неповторювані лінійні фактори.
- \(Q(x)\)має повторювані лінійні фактори.
- \(Q(x)\)має неповторюваний нескорочуваний квадратичний коефіцієнт.
- \(Q(x)\)має повторюваний нескорочуваний квадратичний фактор.
Раніше в цьому розділі ми вивчали системи двох рівнянь у двох змінних, системи трьох рівнянь у трьох змінних та нелінійні системи. Тут ми вводимо ще один спосіб використання систем рівнянь - розкладання раціональних виразів. Дроби можуть бути складними; додавання змінної в знаменник робить їх ще більшими. Методи, вивчені в цьому розділі, допоможуть спростити поняття раціонального виразу.
Розкладання\(\frac{P(x)}{Q(x)}\), де\(Q(x)\) має лише неповторювані лінійні множники
Згадаймо алгебру щодо додавання і віднімання раціональних виразів. Ці операції залежать від пошуку спільного знаменника, щоб ми могли записати суму або різницю як єдиний спрощений раціональний вираз. У цьому розділі ми розглянемо декомпозицію часткового дробу, яка є скасуванням процедури додавання або віднімання раціональних виразів. Іншими словами, це повернення від єдиного спрощеного раціонального виразу до вихідних виразів, званих частковими дробами.
Наприклад, припустимо, що ми додаємо такі дроби:
\[\dfrac{2}{x−3}+\dfrac{−1}{x+2} \nonumber\]
Спочатку нам потрібно знайти спільний знаменник:\((x+2)(x−3)\).
Далі ми б написали кожен вираз з цим спільним знаменником і знаходимо суму термінів.
\[\begin{align*} \dfrac{2}{x-3}\left(\dfrac{x+2}{x+2}\right)+\dfrac{-1}{x+2}\left(\dfrac{x-3}{x-3}\right)&= \dfrac{2x+4-x+3}{(x+2)(x-3)}\\[4pt] &= \dfrac{x+7}{x^2-x-6} \end{align*}\]
Часткове розкладання фракцій є зворотним варіантом цієї процедури. Ми б почали з розв'язку і переписали (розкладали) його як суму двох дробів.
\[ \underbrace{\dfrac{x+7}{x^2-x-6}}_{\text{Simplified sum}} = \underbrace{\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{-1}{x+2}}_{\text{Partial fraction decomposition }} \nonumber\]
Будемо досліджувати раціональні вирази з лінійними факторами і квадратичними факторами в знаменнику, де ступінь чисельника менше ступеня знаменника. Незалежно від типу виразу, який ми розкладаємо, перше і найголовніше, що потрібно зробити, - це фактор знаменника.
Коли знаменник спрощеного виразу містить різні лінійні множники, цілком ймовірно, що кожне з оригінальних раціональних виразів, які були додані або віднімалися, мав в якості знаменника один з лінійних факторів. Іншими словами, на прикладі вище, фактори\(x^2−x−6\) є\((x−3)(x+2)\), знаменники розкладеного раціонального виразу. Так ми перепишемо спрощену форму як суму окремих дробів і використаємо змінну для кожного чисельника. Потім ми вирішимо для кожного чисельника одним з декількох методів, доступних для розкладання часткового дробу.
Часткова дробна декомпозиція\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) коли\(Q(x)\) має неповторювані лінійні фактори і ступінь менше, ніж ступінь\(Q(x)\) є\(P(x)\)
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
- Використовуйте змінну для початкових чисельників, як правило\(A\)\(B\), або\(C\), залежно від кількості факторів, розміщуючи кожну змінну над одним коефіцієнтом. З метою даного визначення ми використовуємо\(A_n\) для кожного чисельника
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\)
- Помножте обидві сторони рівняння на спільний знаменник для усунення дробів.
- Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.
- Встановіть коефіцієнти подібних членів з лівого боку рівняння, рівні тим, що знаходяться на правій стороні, щоб створити систему рівнянь для розв'язання чисельників.
Розкладіть заданий раціональний вираз з різними лінійними факторами.
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}\)
Рішення
Ми розділимо множники знаменника і дамо кожному чисельнику символічну мітку,\(A\) like\(B\), або\(C\).
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{A}{(x+2)}+\dfrac{B}{(x−1)}\)
Помножте обидві сторони рівняння на загальний знаменник, щоб виключити дроби:
\((x+2)(x−1)\left[ \dfrac{3x}{(x+2)(x−1)} \right]=(x+2)(x−1)\left[\dfrac{A}{(x+2)} \right]+(x+2)(x−1)\left[\dfrac{B}{(x−1)} \right]\)
Отримане рівняння
\(3x=A(x−1)+B(x+2)\)
Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.
\[\begin{align*} 3x&= Ax-A+Bx+2B\\[4pt] 3x&= (A+B)x-A+2B \end{align*}\]
Налаштуйте систему рівнянь, що пов'язують відповідні коефіцієнти.
\[\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] 0&= -A+2B \end{align*}\]
Додайте два рівняння і вирішіть для\(B\).
\[\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] \underline{0}&= \underline{-A+2B}\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}\]
\(B=1\)Підставляємо в одне з вихідних рівнянь в системі.
\[\begin{align*} 3&= A+1\\[4pt] 2&= A \end{align*}\]
Таким чином, розкладання часткової фракції
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}\)
Інший метод, який слід використовувати для розв'язання\(A\) або\(B\) є розглядом рівняння, яке виникло в результаті усунення дробів та підстановки значення для\(x\) цього зробить\(A-\) або\(B-\) термін рівним 0. Якщо ми дозволимо\(x=1\), то
\(A-\)термін стає 0, і ми можемо просто вирішити для\(B\).\[\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(1)&= A[(1)-1]+B[(1)+2]\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}\]
Далі, або\(B=1\) підставити в рівняння і вирішити для\(A\), або зробити\(B-\) термін,\(0\) підставивши\(x=−2\) в рівняння.
\[\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(-2)&= A[(-2)-1]+B[(-2)+2]\\[4pt] -6&= -3A+0\\[4pt] \dfrac{-6}{-3}&= A\\[4pt] 2&=A \end{align*}\]
Ми отримуємо однакові значення для\(A\) та\(B\) використання будь-якого методу, тому розклади однакові за допомогою будь-якого методу.
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}\)
Хоча цей метод не дуже часто зустрічається в підручниках, ми представляємо його тут як альтернативу, яка може полегшити деякі розклади часткових дробів. Він відомий як метод Хевісайда, названий на честь Чарльза Хевісайда, піонера у вивченні електроніки.
Знайдіть декомпозицію часткового дробу наступного виразу.
\(\dfrac{x}{(x−3)(x−2)}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3}{x−3}−\dfrac{2}{x−2}\)
Розкладання\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) там, де\(Q(x)\) має повторювані лінійні фактори
Деякі дроби, з якими ми можемо зіткнутися, - це особливі випадки, які ми можемо розкласти на часткові дроби з повторюваними лінійними факторами. Ми повинні пам'ятати, що ми враховуємо повторювані фактори, писуючи кожен фактор збільшення повноважень.
Часткова фракція розкладання\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), коли\(Q(x)\) має повторюваний лінійний коефіцієнт,\(P(x)\) що виникає n разів і ступінь менше ступеня\(Q(x)\), становить
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
Напишіть знаменник повноваження в порядку зростання.
- Використовуйте змінну\(A\) like\(B\), або\(C\) для чисельників і враховуйте збільшення степенів знаменників. \[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
- Помножте обидві сторони рівняння на спільний знаменник для усунення дробів.
- Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.
- Встановіть коефіцієнти подібних членів з лівого боку рівняння, рівні тим, що знаходяться на правій стороні, щоб створити систему рівнянь для розв'язання чисельників.
Розкладіть заданий раціональний вираз повторюваними лінійними факторами.
\(\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}\)
Рішення
Знаменником факторів є\(x{(x−2)}^2\). Щоб дозволити повторюваний коефіцієнт\((x−2)\), розкладання буде включати три знаменники:\(x\),\((x−2)\), і\({(x−2)}^2\). Таким чином,
\(\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x−2)}+\dfrac{C}{{(x−2)}^2}\)
Далі множимо обидві сторони на загальний знаменник.
\[\begin{align*} x{(x-2)}^2\left[ \dfrac{-x^2+2x+4x}{{(x-2)}^2} \right]&= \left[ \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-2)}+\dfrac{C}{{(x-2)}^2} \right]x{(x-2)}^2\\[4pt] -x^2+2x+4&= A{(x-2)}^2+Bx(x-2)+Cx \end{align*}\]
У правій частині рівняння розгортаємо і збираємо подібні терміни.
\[\begin{align*} -x^2+2x+4&= A(x^2-4x+4)+B(x^2-2x)+Cx\\[4pt] &= Ax^2-4Ax+4A+Bx^2-2Bx+Cx\\[4pt] &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \end{align*}\]
Далі порівнюємо коефіцієнти обох сторін. Це дасть систему рівнянь в трьох змінних:
\[\begin{align} -x^2+2x+4 &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \\[4pt] A+B &= -1 \label{2.1} \\[4pt] -4A-2B+C &= 2 \label{2.2} \\[4pt] 4A&= 4 \label{2.3} \end{align}\]
Розв'язування для\(A\) в рівнянні\ ref {2.3}, ми маємо
\[\begin{align*} 4A&= 4\\[4pt] A&= 1 \end{align*}\]
Підставити\(A=1\) в рівняння\ ref {2.1}.
\[\begin{align*} A+B&= -1\\[4pt] (1)+B&= -1\\[4pt] B&= -2 \end{align*}\]
Потім, щоб вирішити for\(C\), підставити значення для\(A\) і\(B\) в Equation\ ref {2.2}.
\[\begin{align*} -4A-2B+C&= 2\\[4pt] -4(1)-2(-2)+C&= 2\\[4pt] -4+4+C&= 2\\[4pt] C&= 2 \end{align*}\]
Таким чином,
\(\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{1}{x}−\dfrac{2}{(x−2)}+\dfrac{2}{{(x−2)}^2}\)
Знайти частковий дріб розкладання виразу з повторюваними лінійними факторами.
\(\dfrac{6x−11}{{(x−1)}^2}\)
- Відповідь
-
\[\dfrac{6}{x−1}−\dfrac{5}{{(x−1)}^2} \nonumber\]
Розкладання\(\frac{P(x)}{Q(x)}\), де\(Q(x)\) має неповторюваний нескорочуваний квадратичний фактор
Поки що ми виконали декомпозицію часткового дробу з виразами, які мали лінійні множники в знаменнику, і ми застосували чисельники\(A\)\(B\), або\(C\) представляють константи. Зараз ми розглянемо приклад, де одним з факторів в знаменнику є квадратичний вираз, що не множник. Це називається нескорочуваним квадратичним фактором. У таких випадках ми використовуємо лінійний чисельник, такий як\(Ax+B\)\(Bx+C\), і т.д.
Розпад часткової фракції\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) такої, що\(Q(x)\) має неповторюваний нескорочуваний квадратичний коефіцієнт і ступінь менше ступеня\(Q(x)\) записується як\(P(x)\)
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}\]
Розкладання може містити більш раціональні вирази, якщо є лінійні фактори. Кожен лінійний множник матиме різний постійний чисельник:\(A\)\(B\)\(C\),, і так далі.
- Використовуйте змінні\(A\), такі як\(B\), або\(C\) для постійних чисельників над лінійними факторами\(A_1x+B_1\),\(A_2x+B_2\) та лінійні вирази, такі як тощо, для чисельників кожного квадратичного коефіцієнта у знаменнику.
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}\)
- Помножте обидві сторони рівняння на спільний знаменник для усунення дробів.
- Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.
- Встановіть коефіцієнти подібних членів з лівого боку рівняння, рівні тим, що знаходяться на правій стороні, щоб створити систему рівнянь для розв'язання чисельників.
Знайти частковий дріб розкладання даного виразу.
\(\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}\)
Рішення
У нас є один лінійний множник і один нескорочуваний квадратичний множник в знаменнику, тому один чисельник буде постійною, а інший чисельник - лінійним виразом. Таким чином,
\(\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}\)
Виконуємо ті ж дії, що і в попередніх проблемах. Спочатку очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на загальний знаменник.
\[\begin{align*} (x+3)(x^2+x+2)\left[\dfrac{8x^2+12x-20}{(x+3)(x^2+x+2)}\right]&= \left[\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}\right](x+3)(x^2+x+2)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3) \end{align*}\]
Зверніть увагу, що ми могли б легко вирішити,\(A\) вибравши значення для\(x\) цього зробить\(Bx+C\) термін рівним\(0\). Нехай\(x=−3\) і підставляємо його в рівняння.
\[\begin{align*} 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8{(-3)}^2+12(-3)-20&= A({(-3)}^2+(-3)+2)+(B(-3)+C)((-3)+3)\\[4pt] 16&= 8A\\[4pt] A&= 2 \end{align*}\]
Тепер, коли ми знаємо значення\(A\), підставляємо його назад в рівняння. Потім розгорніть праву сторону і зберіть подібні терміни.
\[\begin{align*} 8x^2+12x-20&= 2(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= 2x^2+2x+4+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (2+B)x^2+(2+3B+C)x+(4+3C) \end{align*}\]
Встановлення коефіцієнтів членів з правого боку рівних коефіцієнтів членів з лівого боку дає систему рівнянь.
\[\begin{align} 2+B&= 8 \label{3.1} \\[4pt] 2+3B+C&= 12 \label{3.2} \\[4pt] 4+3C&= -20 \label{3.3} \end{align}\]
Вирішити для\(B\) використання рівняння\ ref {3.1}
\ [\ begin {вирівнювати*} 2+B & = 8\ мітка {1}\\ [4pt] B & = 6\ кінець {вирівнювати*}
і вирішити для\(C\) використання Рівняння\ ref {3.3}.
\[\begin{align*} 4+3C &= -20 \label{3} \\[4pt] 3C&= -24\\[4pt] C&= -8 \end{align*}\]
Таким чином, часткова дробна декомпозиція виразу
\[\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{2}{(x+3)}+\dfrac{6x−8}{(x^2+x+2)} \nonumber\]
Так, ми могли б вирішити це, встановивши систему рівнянь без вирішення для\(A\) першого. Розширення праворуч буде:
\[\begin{align*} 8x^2+12x-20&= Ax^2+Ax+2A+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (A+B)x^2+(A+3B+C)x+(2A+3C) \end{align*}\]
Отже, система рівнянь буде такою:
\[\begin{align*} A+B&= 8\\[4pt] A+3B+C&= 12\\[4pt] 2A+3C&= -20 \end{align*}\]
Знайти розкладання часткового дробу виразу з неповторюваним нескорочуваним квадратичним фактором.
\[\dfrac{5x^2−6x+7}{(x−1)(x^2+1)} \nonumber\]
- Відповідь
-
\(\dfrac{3}{x−1}+\dfrac{2x−4}{x^2+1}\)
Розкладання\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) при\(Q(x)\) повторюваному нескорочуваному квадратичному факторі
Тепер, коли ми можемо розкласти спрощений раціональний вираз з незведеним квадратичним фактором, ми навчимося робити розкладання часткового дробу, коли спрощений раціональний вираз має повторювані нескорочувані квадратичні фактори. Розкладання буде складатися з часткових дробів з лінійними чисельниками над кожним незведеним квадратичним фактором, представленим у зростаючих ступенях.
Часткова фракція розкладання\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), коли\(Q(x)\) має повторний нескорочуваний квадратичний коефіцієнт і ступінь менше ступеня\(Q(x)\), становить\(P(x)\)
\[\dfrac{P(x)}{{(ax^2+bx+c)}^n}=\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+\dfrac{A_3x+B_3}{{(ax^2+bx+c)}^3}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}\]
Напишіть знаменники в зростаючих повноваженнях.
- Використовуйте змінні\(A\), такі як\(B\), або\(C\) для постійних чисельників над лінійними факторами, і лінійні вирази\(A_1x+B_1\)\(A_2x+B_2\), такі як, і т.д., для чисельників кожного квадратичного фактора в знаменнику, написаного у зростаючих степенях, таких як
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}\)
- Помножте обидві сторони рівняння на спільний знаменник для усунення дробів.
- Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.
- Встановіть коефіцієнти подібних членів з лівого боку рівняння, рівні тим, що знаходяться на правій стороні, щоб створити систему рівнянь для розв'язання чисельників.
Розкладіть заданий вираз, що має повторюваний нескорочуваний коефіцієнт в знаменнику.
\(\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}\)
Рішення
Факторами знаменника є\(x\)\((x^2+1)\), і\({(x^2+1)}^2\). Нагадаємо, що, коли множник в знаменнику - квадратик, що включає в себе не менше двох членів, чисельник повинен бути лінійної форми\(Ax+B\). Отже, приступимо до розкладання.
\(\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+1)}+\dfrac{Dx+E}{{(x^2+1)}^2}\)
Ліквідуємо знаменники множенням кожного члена на\(x{(x^2+1)}^2\). Таким чином,
\[\begin{align*} x^4+x^3+x^2-x+1&= A{(x^2+1)}^2+(Bx+C)(x)(x^2+1)+(Dx+E)(x)\\[4pt] x^4+x^3+x^2-x+1&= A(x^4+2x^2+1)+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex\qquad \text{Expand the right side.}\\[4pt] &= Ax^4+2Ax^2+A+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex \end{align*}\]
Зараз ми будемо збирати подібні терміни.
\(x^4+x^3+x^2−x+1=(A+B)x^4+(C)x^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A\)
Налаштуйте систему рівнянь, що відповідають відповідним коефіцієнтам з кожного боку знака рівності.
\[\begin{align*} A+B&= 1\\[4pt] C&= 1\\[4pt] 2A+B+D&= 1\\[4pt] C+E&= -1\\[4pt] A&= 1 \end{align*}\]
Ми можемо використовувати підміну з цього моменту. \(A=1\)Підставляємо в перше рівняння.
\[\begin{align*} 1+B&= 1\\[4pt] B&= 0 \end{align*}\]
\(B=0\)Підставляємо\(A=1\) і в третє рівняння.
\[\begin{align*} 2(1)+0+D&= 1\\[4pt] D&= -1 \end{align*}\]
\(C=1\)Підставляємо в четверте рівняння.
\[\begin{align*} 1+E&= -1\\[4pt] E&= -2 \end{align*}\]
Тепер ми вирішили для всіх невідомих на правій стороні знака рівності. У нас є\(A=1\)\(B=0\),,\(C=1\),\(D=−1\), і\(E=−2\). Ми можемо написати розкладання наступним чином:
\(\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{(x^2+1)}−\dfrac{x+2}{{(x^2+1)}^2}\)
Знайти частковий дріб розкладання виразу з повторюваним нескорочуваним квадратичним фактором.
\[\dfrac{x^3−4x^2+9x−5}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber\]
- Відповідь
-
\[\dfrac{x−2}{x^2−2x+3}+\dfrac{2x+1}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber\]
Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткової інструкції та практики з частковими дробами.
Ключові концепції
- Розкладіть,\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) записуючи часткові дроби як\[\dfrac{A}{a_1x+b_1}+\dfrac{B}{a_2x+b_2}. \nonumber\] Розв'яжіть шляхом очищення дробів, розширення правої частини, збору подібних членів та встановлення відповідних коефіцієнтів, рівних один одному, потім встановлюючи та вирішуючи систему рівнянь (див. Приклад\(\PageIndex{1}\)).
- Розкладання\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) з повторюваними лінійними факторами має враховувати фактори знаменника в зростаючих ступенях (див. Приклад\(\PageIndex{2}\)).
- Для розкладання\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) з неповторюваним нескорочуваним квадратичним коефіцієнтом потрібен лінійний чисельник над квадратичним коефіцієнтом, як у\(\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)}\) (див. Приклад\(\PageIndex{3}\)).
- При розкладанні\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), де\(Q(x)\) має повторюваний нескорочуваний квадратичний коефіцієнт, коли нескорочувані квадратичні фактори повторюються, степені факторів знаменника повинні бути представлені в зростаючих ступенях, як\[\dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n} \nonumber\] Див\(\PageIndex{4}\). Приклад.