7.5: Часткові дроби

Цілі навчання

Розкласти$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, де

• $Q(x)$має тільки неповторювані лінійні фактори.
• $Q(x)$має повторювані лінійні фактори.
• $Q(x)$має неповторюваний нескорочуваний квадратичний коефіцієнт.
• $Q(x)$має повторюваний нескорочуваний квадратичний фактор.

Раніше в цьому розділі ми вивчали системи двох рівнянь у двох змінних, системи трьох рівнянь у трьох змінних та нелінійні системи. Тут ми вводимо ще один спосіб використання систем рівнянь - розкладання раціональних виразів. Дроби можуть бути складними; додавання змінної в знаменник робить їх ще більшими. Методи, вивчені в цьому розділі, допоможуть спростити поняття раціонального виразу.

Розкладання$\frac{P(x)}{Q(x)}$, де$Q(x)$ має лише неповторювані лінійні множники

Згадаймо алгебру щодо додавання і віднімання раціональних виразів. Ці операції залежать від пошуку спільного знаменника, щоб ми могли записати суму або різницю як єдиний спрощений раціональний вираз. У цьому розділі ми розглянемо декомпозицію часткового дробу, яка є скасуванням процедури додавання або віднімання раціональних виразів. Іншими словами, це повернення від єдиного спрощеного раціонального виразу до вихідних виразів, званих частковими дробами.

Наприклад, припустимо, що ми додаємо такі дроби:

$$\dfrac{2}{x−3}+\dfrac{−1}{x+2} \nonumber$$

Спочатку нам потрібно знайти спільний знаменник:$(x+2)(x−3)$.

Далі ми б написали кожен вираз з цим спільним знаменником і знаходимо суму термінів.

$$\begin{align*} \dfrac{2}{x-3}\left(\dfrac{x+2}{x+2}\right)+\dfrac{-1}{x+2}\left(\dfrac{x-3}{x-3}\right)&= \dfrac{2x+4-x+3}{(x+2)(x-3)}\\[4pt] &= \dfrac{x+7}{x^2-x-6} \end{align*}$$

Часткове розкладання фракцій є зворотним варіантом цієї процедури. Ми б почали з розв'язку і переписали (розкладали) його як суму двох дробів.

$$\underbrace{\dfrac{x+7}{x^2-x-6}}_{\text{Simplified sum}} = \underbrace{\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{-1}{x+2}}_{\text{Partial fraction decomposition }} \nonumber$$

Будемо досліджувати раціональні вирази з лінійними факторами і квадратичними факторами в знаменнику, де ступінь чисельника менше ступеня знаменника. Незалежно від типу виразу, який ми розкладаємо, перше і найголовніше, що потрібно зробити, - це фактор знаменника.

Коли знаменник спрощеного виразу містить різні лінійні множники, цілком ймовірно, що кожне з оригінальних раціональних виразів, які були додані або віднімалися, мав в якості знаменника один з лінійних факторів. Іншими словами, на прикладі вище, фактори$x^2−x−6$ є$(x−3)(x+2)$, знаменники розкладеного раціонального виразу. Так ми перепишемо спрощену форму як суму окремих дробів і використаємо змінну для кожного чисельника. Потім ми вирішимо для кожного чисельника одним з декількох методів, доступних для розкладання часткового дробу.

ЧАСТКОВЕ РОЗКЛАДАННЯ ФРАКЦІЙ$\frac{P(x)}{Q(x)}$: $Q(x)$ HAS NONREPEATED LINEAR FACTORS

Часткова дробна декомпозиція$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ коли$Q(x)$ має неповторювані лінійні фактори і ступінь менше, ніж ступінь$Q(x)$ є$P(x)$

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$$

Як: З огляду на раціональний вираз з різними лінійними факторами в знаменнику, розкласти його

1. Використовуйте змінну для початкових чисельників, як правило$A$$B$, або$C$, залежно від кількості факторів, розміщуючи кожну змінну над одним коефіцієнтом. З метою даного визначення ми використовуємо$A_n$ для кожного чисельника

   $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$

2. Помножте обидві сторони рівняння на спільний знаменник для усунення дробів.
3. Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.
4. Встановіть коефіцієнти подібних членів з лівого боку рівняння, рівні тим, що знаходяться на правій стороні, щоб створити систему рівнянь для розв'язання чисельників.

Приклад$\PageIndex{1}$: Decomposing a Rational Function with Distinct Linear Factors

Розкладіть заданий раціональний вираз з різними лінійними факторами.

$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}$

Рішення

Ми розділимо множники знаменника і дамо кожному чисельнику символічну мітку,$A$ like$B$, або$C$.

$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{A}{(x+2)}+\dfrac{B}{(x−1)}$

Помножте обидві сторони рівняння на загальний знаменник, щоб виключити дроби:

$(x+2)(x−1)\left[ \dfrac{3x}{(x+2)(x−1)} \right]=(x+2)(x−1)\left[\dfrac{A}{(x+2)} \right]+(x+2)(x−1)\left[\dfrac{B}{(x−1)} \right]$

Отримане рівняння

$3x=A(x−1)+B(x+2)$

Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.

$$\begin{align*} 3x&= Ax-A+Bx+2B\\[4pt] 3x&= (A+B)x-A+2B \end{align*}$$

Налаштуйте систему рівнянь, що пов'язують відповідні коефіцієнти.

$$\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] 0&= -A+2B \end{align*}$$

Додайте два рівняння і вирішіть для$B$.

$$\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] \underline{0}&= \underline{-A+2B}\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}$$

$B=1$Підставляємо в одне з вихідних рівнянь в системі.

$$\begin{align*} 3&= A+1\\[4pt] 2&= A \end{align*}$$

Таким чином, розкладання часткової фракції

$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}$

Інший метод, який слід використовувати для розв'язання$A$ або$B$ є розглядом рівняння, яке виникло в результаті усунення дробів та підстановки значення для$x$ цього зробить$A-$ або$B-$ термін рівним 0. Якщо ми дозволимо$x=1$, то

$A-$термін стає 0, і ми можемо просто вирішити для$B$.

$$\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(1)&= A[(1)-1]+B[(1)+2]\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}$$

Далі, або$B=1$ підставити в рівняння і вирішити для$A$, або зробити$B-$ термін,$0$ підставивши$x=−2$ в рівняння.

$$\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(-2)&= A[(-2)-1]+B[(-2)+2]\\[4pt] -6&= -3A+0\\[4pt] \dfrac{-6}{-3}&= A\\[4pt] 2&=A \end{align*}$$

Ми отримуємо однакові значення для$A$ та$B$ використання будь-якого методу, тому розклади однакові за допомогою будь-якого методу.

$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}$

Хоча цей метод не дуже часто зустрічається в підручниках, ми представляємо його тут як альтернативу, яка може полегшити деякі розклади часткових дробів. Він відомий як метод Хевісайда, названий на честь Чарльза Хевісайда, піонера у вивченні електроніки.

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть декомпозицію часткового дробу наступного виразу.

$\dfrac{x}{(x−3)(x−2)}$

Відповідь

$\dfrac{3}{x−3}−\dfrac{2}{x−2}$

Розкладання$\frac{P(x)}{Q(x)}$ там, де$Q(x)$ має повторювані лінійні фактори

Деякі дроби, з якими ми можемо зіткнутися, - це особливі випадки, які ми можемо розкласти на часткові дроби з повторюваними лінійними факторами. Ми повинні пам'ятати, що ми враховуємо повторювані фактори, писуючи кожен фактор збільшення повноважень.

ЧАСТКОВЕ РОЗКЛАДАННЯ ФРАКЦІЙ$\frac{P(x)}{Q(x)}$: $Q(x)$ HAS REPEATED LINEAR FACTORS

Часткова фракція розкладання$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, коли$Q(x)$ має повторюваний лінійний коефіцієнт,$P(x)$ що виникає n разів і ступінь менше ступеня$Q(x)$, становить

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$$

Напишіть знаменник повноваження в порядку зростання.

Як: розкласти раціональний вираз з повторюваними лінійними факторами

1. Використовуйте змінну$A$ like$B$, або$C$ для чисельників і враховуйте збільшення степенів знаменників. $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$$
2. Помножте обидві сторони рівняння на спільний знаменник для усунення дробів.
3. Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.
4. Встановіть коефіцієнти подібних членів з лівого боку рівняння, рівні тим, що знаходяться на правій стороні, щоб створити систему рівнянь для розв'язання чисельників.

Приклад$\PageIndex{2}$: Decomposing with Repeated Linear Factors

Розкладіть заданий раціональний вираз повторюваними лінійними факторами.

$\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}$

Рішення

Знаменником факторів є$x{(x−2)}^2$. Щоб дозволити повторюваний коефіцієнт$(x−2)$, розкладання буде включати три знаменники:$x$,$(x−2)$, і${(x−2)}^2$. Таким чином,

$\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x−2)}+\dfrac{C}{{(x−2)}^2}$

Далі множимо обидві сторони на загальний знаменник.

$$\begin{align*} x{(x-2)}^2\left[ \dfrac{-x^2+2x+4x}{{(x-2)}^2} \right]&= \left[ \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-2)}+\dfrac{C}{{(x-2)}^2} \right]x{(x-2)}^2\\[4pt] -x^2+2x+4&= A{(x-2)}^2+Bx(x-2)+Cx \end{align*}$$

У правій частині рівняння розгортаємо і збираємо подібні терміни.

$$\begin{align*} -x^2+2x+4&= A(x^2-4x+4)+B(x^2-2x)+Cx\\[4pt] &= Ax^2-4Ax+4A+Bx^2-2Bx+Cx\\[4pt] &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \end{align*}$$

Далі порівнюємо коефіцієнти обох сторін. Це дасть систему рівнянь в трьох змінних:

$$\begin{align} -x^2+2x+4 &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \\[4pt] A+B &= -1 \label{2.1} \\[4pt] -4A-2B+C &= 2 \label{2.2} \\[4pt] 4A&= 4 \label{2.3} \end{align}$$

Розв'язування для$A$ в рівнянні\ ref {2.3}, ми маємо

$$\begin{align*} 4A&= 4\\[4pt] A&= 1 \end{align*}$$

Підставити$A=1$ в рівняння\ ref {2.1}.

$$\begin{align*} A+B&= -1\\[4pt] (1)+B&= -1\\[4pt] B&= -2 \end{align*}$$

Потім, щоб вирішити for$C$, підставити значення для$A$ і$B$ в Equation\ ref {2.2}.

$$\begin{align*} -4A-2B+C&= 2\\[4pt] -4(1)-2(-2)+C&= 2\\[4pt] -4+4+C&= 2\\[4pt] C&= 2 \end{align*}$$

Таким чином,

$\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{1}{x}−\dfrac{2}{(x−2)}+\dfrac{2}{{(x−2)}^2}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Знайти частковий дріб розкладання виразу з повторюваними лінійними факторами.

$\dfrac{6x−11}{{(x−1)}^2}$

Відповідь

$$\dfrac{6}{x−1}−\dfrac{5}{{(x−1)}^2} \nonumber$$

Розкладання$\frac{P(x)}{Q(x)}$, де$Q(x)$ має неповторюваний нескорочуваний квадратичний фактор

Поки що ми виконали декомпозицію часткового дробу з виразами, які мали лінійні множники в знаменнику, і ми застосували чисельники$A$$B$, або$C$ представляють константи. Зараз ми розглянемо приклад, де одним з факторів в знаменнику є квадратичний вираз, що не множник. Це називається нескорочуваним квадратичним фактором. У таких випадках ми використовуємо лінійний чисельник, такий як$Ax+B$$Bx+C$, і т.д.

РОЗКЛАДАННЯ$\frac{P(x)}{Q(x)}$: $Q(x)$ HAS A NONREPEATED IRREDUCIBLE QUADRATIC FACTOR

Розпад часткової фракції$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ такої, що$Q(x)$ має неповторюваний нескорочуваний квадратичний коефіцієнт і ступінь менше ступеня$Q(x)$ записується як$P(x)$

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}$$

Розкладання може містити більш раціональні вирази, якщо є лінійні фактори. Кожен лінійний коефіцієнт матиме різний постійний чисельник:$A$$B$,$C$, і так далі.

Howto: розкласти раціональний вираз, де фактори знаменника є чіткими, незведеними квадратичними факторами

1. Використовуйте змінні$A$, такі як$B$, або$C$ для постійних чисельників над лінійними факторами$A_1x+B_1$,$A_2x+B_2$ та лінійні вирази, такі як тощо, для чисельників кожного квадратичного коефіцієнта у знаменнику.

   $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}$

2. Помножте обидві сторони рівняння на спільний знаменник для усунення дробів.
3. Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.
4. Встановіть коефіцієнти подібних членів з лівого боку рівняння, рівні тим, що знаходяться на правій стороні, щоб створити систему рівнянь для розв'язання чисельників.

Приклад$\PageIndex{3}$: Decomposing $\frac{P(x)}{Q(x)}$ When $Q(x)$ Contains a Nonrepeated Irreducible Quadratic Factor

Знайти частковий дріб розкладання даного виразу.

$\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}$

Рішення

У нас є один лінійний множник і один нескорочуваний квадратичний множник в знаменнику, тому один чисельник буде постійною, а інший чисельник - лінійним виразом. Таким чином,

$\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}$

Виконуємо ті ж дії, що і в попередніх проблемах. Спочатку очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на загальний знаменник.

$$\begin{align*} (x+3)(x^2+x+2)\left[\dfrac{8x^2+12x-20}{(x+3)(x^2+x+2)}\right]&= \left[\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}\right](x+3)(x^2+x+2)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3) \end{align*}$$

Зверніть увагу, що ми могли б легко вирішити,$A$ вибравши значення для$x$ цього зробить$Bx+C$ термін рівним$0$. Нехай$x=−3$ і підставляємо його в рівняння.

$$\begin{align*} 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8{(-3)}^2+12(-3)-20&= A({(-3)}^2+(-3)+2)+(B(-3)+C)((-3)+3)\\[4pt] 16&= 8A\\[4pt] A&= 2 \end{align*}$$

Тепер, коли ми знаємо значення$A$, підставляємо його назад в рівняння. Потім розгорніть праву сторону і зберіть подібні терміни.

$$\begin{align*} 8x^2+12x-20&= 2(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= 2x^2+2x+4+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (2+B)x^2+(2+3B+C)x+(4+3C) \end{align*}$$

Встановлення коефіцієнтів членів з правого боку рівних коефіцієнтів членів з лівого боку дає систему рівнянь.

$$\begin{align} 2+B&= 8 \label{3.1} \\[4pt] 2+3B+C&= 12 \label{3.2} \\[4pt] 4+3C&= -20 \label{3.3} \end{align}$$

Вирішити для$B$ використання рівняння\ ref {3.1}

\ [\ begin {вирівнювати*} 2+B & = 8\ мітка {1}\\ [4pt] B & = 6\ кінець {вирівнювати*}

і вирішити для$C$ використання Рівняння\ ref {3.3}.

$$\begin{align*} 4+3C &= -20 \label{3} \\[4pt] 3C&= -24\\[4pt] C&= -8 \end{align*}$$

Таким чином, часткова дробна декомпозиція виразу

$$\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{2}{(x+3)}+\dfrac{6x−8}{(x^2+x+2)} \nonumber$$

Питання і відповіді: Чи могли б ми просто створити систему рівнянь для вирішення наведеного вище прикладу?

Так, ми могли б вирішити це, встановивши систему рівнянь без вирішення для$A$ першого. Розширення праворуч буде:

$$\begin{align*} 8x^2+12x-20&= Ax^2+Ax+2A+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (A+B)x^2+(A+3B+C)x+(2A+3C) \end{align*}$$

Отже, система рівнянь буде такою:

$$\begin{align*} A+B&= 8\\[4pt] A+3B+C&= 12\\[4pt] 2A+3C&= -20 \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайти розкладання часткового дробу виразу з неповторюваним нескорочуваним квадратичним фактором.

$$\dfrac{5x^2−6x+7}{(x−1)(x^2+1)} \nonumber$$

Відповідь

$\dfrac{3}{x−1}+\dfrac{2x−4}{x^2+1}$

Розкладання$\frac{P(x)}{Q(x)}$ при$Q(x)$ повторюваному нескорочуваному квадратичному факторі

Тепер, коли ми можемо розкласти спрощений раціональний вираз з незведеним квадратичним фактором, ми навчимося робити розкладання часткового дробу, коли спрощений раціональний вираз має повторювані нескорочувані квадратичні фактори. Розкладання буде складатися з часткових дробів з лінійними чисельниками над кожним незведеним квадратичним фактором, представленим у зростаючих ступенях.

РОЗКЛАДАННЯ$\frac{P(x)}{Q(x)}$ WHEN $Q(X)$ HAS A REPEATED IRREDUCIBLE QUADRATIC FACTOR

Часткова фракція розкладання$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, коли$Q(x)$ має повторний нескорочуваний квадратичний коефіцієнт і ступінь менше ступеня$Q(x)$, становить$P(x)$

$$\dfrac{P(x)}{{(ax^2+bx+c)}^n}=\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+\dfrac{A_3x+B_3}{{(ax^2+bx+c)}^3}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}$$

Напишіть знаменники в зростаючих повноваженнях.

Як: розкласти раціональний вираз, що має повторюваний незвідний фактор

1. Використовуйте змінні$A$, такі як$B$, або$C$ для постійних чисельників над лінійними факторами, і лінійні вирази$A_1x+B_1$$A_2x+B_2$, такі як, і т.д., для чисельників кожного квадратичного фактора в знаменнику, написаного у зростаючих степенях, таких як

   $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}$

2. Помножте обидві сторони рівняння на спільний знаменник для усунення дробів.
3. Розгорніть праву частину рівняння і зберіть подібні терміни.
4. Встановіть коефіцієнти подібних членів з лівого боку рівняння, рівні тим, що знаходяться на правій стороні, щоб створити систему рівнянь для розв'язання чисельників.

Приклад$\PageIndex{4}$: Decomposing a Rational Function with a Repeated Irreducible Quadratic Factor in the Denominator

Розкладіть заданий вираз, що має повторюваний нескорочуваний коефіцієнт в знаменнику.

$\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}$

Рішення

Факторами знаменника є$x$$(x^2+1)$, і${(x^2+1)}^2$. Нагадаємо, що, коли множник в знаменнику - квадратик, що включає в себе не менше двох членів, чисельник повинен бути лінійної форми$Ax+B$. Отже, приступимо до розкладання.

$\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+1)}+\dfrac{Dx+E}{{(x^2+1)}^2}$

Ліквідуємо знаменники множенням кожного члена на$x{(x^2+1)}^2$. Таким чином,

$$\begin{align*} x^4+x^3+x^2-x+1&= A{(x^2+1)}^2+(Bx+C)(x)(x^2+1)+(Dx+E)(x)\\[4pt] x^4+x^3+x^2-x+1&= A(x^4+2x^2+1)+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex\qquad \text{Expand the right side.}\\[4pt] &= Ax^4+2Ax^2+A+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex \end{align*}$$

Зараз ми будемо збирати подібні терміни.

$x^4+x^3+x^2−x+1=(A+B)x^4+(C)x^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A$

Налаштуйте систему рівнянь, що відповідають відповідним коефіцієнтам з кожного боку знака рівності.

$$\begin{align*} A+B&= 1\\[4pt] C&= 1\\[4pt] 2A+B+D&= 1\\[4pt] C+E&= -1\\[4pt] A&= 1 \end{align*}$$

Ми можемо використовувати підміну з цього моменту. $A=1$Підставляємо в перше рівняння.

$$\begin{align*} 1+B&= 1\\[4pt] B&= 0 \end{align*}$$

$B=0$Підставляємо$A=1$ і в третє рівняння.

$$\begin{align*} 2(1)+0+D&= 1\\[4pt] D&= -1 \end{align*}$$

$C=1$Підставляємо в четверте рівняння.

$$\begin{align*} 1+E&= -1\\[4pt] E&= -2 \end{align*}$$

Тепер ми вирішили для всіх невідомих на правій стороні знака рівності. У нас є$A=1$$B=0$,,$C=1$,$D=−1$, і$E=−2$. Ми можемо написати розкладання наступним чином:

$\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{(x^2+1)}−\dfrac{x+2}{{(x^2+1)}^2}$

Вправа$\PageIndex{4}$

Знайти частковий дріб розкладання виразу з повторюваним нескорочуваним квадратичним фактором.

$$\dfrac{x^3−4x^2+9x−5}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber$$

Відповідь

$$\dfrac{x−2}{x^2−2x+3}+\dfrac{2x+1}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber$$

Медіа

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткової інструкції та практики з частковими дробами.

• Розкладання часткового дробу
• Розпад часткових дробів з повторюваними лінійними факторами
• Розкладання часткових дробів з лінійними та квадратичними факторами

Ключові концепції

• Розкладіть,$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ записуючи часткові дроби як $$\dfrac{A}{a_1x+b_1}+\dfrac{B}{a_2x+b_2}. \nonumber$$ Розв'яжіть шляхом очищення дробів, розширення правої частини, збору подібних членів та встановлення відповідних коефіцієнтів, рівних один одному, потім встановлюючи та вирішуючи систему рівнянь (див. Приклад$\PageIndex{1}$).
• Розкладання$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ з повторюваними лінійними факторами має враховувати фактори знаменника в зростаючих ступенях (див. Приклад$\PageIndex{2}$).
• Для розкладання$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ з неповторюваним нескорочуваним квадратичним коефіцієнтом потрібен лінійний чисельник над квадратичним коефіцієнтом, як у$\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)}$ (див. Приклад$\PageIndex{3}$).
• При розкладанні$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, де$Q(x)$ має повторюваний нескорочуваний квадратичний коефіцієнт, коли нескорочувані квадратичні фактори повторюються, степені факторів знаменника повинні бути представлені в зростаючих ступенях, як $$\dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n} \nonumber$$ Див$\PageIndex{4}$. Приклад.