4.E: Застосування похідних (вправи)

4.1: Метод Ньютона

Терміни та поняття

1. T/F: З огляду на функцію\(f(x)\), метод Ньютона виробляє точне рішення для\(f(x)=0\).

2. T/F: Для того, щоб отримати рішення з\(f(x) =0\) точністю до\(d\) знаків після десяткової коми, слід використовувати принаймні\(d+1\) ітерації методу Ньютона.

Проблеми

У вправах 3-7 коріння\(f(x)\) відомі або легко знаходять. Використовуйте 5 ітерацій методу Ньютона з заданим початковим наближенням для наближення кореня. Порівняйте його з відомим значенням кореня.

3. \(f(x) =\cos x,\, x_0 =1.5\)

4. \(f(x) =\sin x,\, x_0 =1\)

5. \(f(x) =x^2+x-2,\, x_0 =0\)

6. \(f(x) =x^2-2,\, x_0 =1.5\)

7. \(f(x) =\ln x,\, x_0 =2\)

У вправах 8-11 використовуйте метод Ньютона, щоб наблизити всі корені заданих функцій з точністю до 3 знаків після десяткової коми. Якщо задано інтервал, знайдіть тільки коріння, які лежать в цьому проміжку. Використовуйте технологію для отримання хороших початкових наближень.

8. \(f(x) =x^3+5x^2-x-1\)

9. \(f(x) =x^4+2x^3-7x^2-x+5\)

10. \(f(x) =x^{17}-2x^{13}-10x^8+10\text{ on }(-2,2)\)

11. \(f(x) =x^2\cos x +(x-1)\sin x \text{ on }(-3,3)\)

У вправах 12-15 використовуйте метод Ньютона для наближення, коли задані функції рівні, з точністю до 3 знаків після десяткової. Використовуйте технологію для отримання хороших початкових наближень.

12. \(f(x)=x^2,\,g(x)=\cos x\)

13. \(f(x)=x^2-1,\,g(x)=\sin x\)

14. \(f(x)=e^{x^2},\,g(x)=\cos x\)

15. \(f(x)=x,\,g(x)=\tan x\text{ on }[-6,6]\)

16. Чому метод Ньютона не вдається знайти корінь\(f(x)=x^3-3x^2+x+3\text{ when }x_0=1\)?

17. Чому метод Ньютона не вдається знайти корінь\(f(x)=-17x^4+130x^3-301x^2+156x+156\text{ when }x_0=1\)?

4.2: Супутні тарифи

Терміни та поняття

1. T/F: Неявна диференціація часто використовується при вирішенні проблем типу «пов'язаних ставок».

2. T/F: Дослідження відповідних ставок є частиною стандартної підготовки поліцейських.

Проблеми

3. Вода стікає на рівну поверхню зі швидкістю 5 см/с, утворюючи\(^3\) кругову калюжу глибиною 10 мм. Наскільки швидко зростає радіус, коли радіус:
(а) 1 см?
(б) 10 см?
(в) 100 см?

4. Круговий балон надувається повітрям, що протікає зі швидкістю 10см\(^3\) /с. наскільки швидко радіус кулі збільшується, коли радіус дорівнює:
(а) 1 см?
(б) 10 см?
(в) 100 см?

5. Розглянемо дорожню ситуацію, представлену в прикладі 100. Наскільки швидко їде «інший автомобіль», якщо офіцер та інша машина знаходяться на відстані 1/2 милі від перехрестя, інша машина їде на захід, офіцер їде на північ зі швидкістю 50 миль/год, а показання радара - 80 миль/год?

6. Розглянемо дорожню ситуацію, представлену в прикладі 100. Розрахуйте, наскільки швидко «інший автомобіль» їде в кожній з наступних ситуацій.
(а) Офіцер їде через північ зі швидкістю 50 миль/год і знаходиться в 1/2 милі від перехрестя, тоді як інший автомобіль знаходиться в 1 милі від перехрестя, що їде на захід, а показання радара - 80 миль/год?
(b) Офіцер їде через північ зі швидкістю 50 миль/год і знаходиться в 1 милі від перехрестя, тоді як інша машина знаходиться в 1/2 милі від перехрестя, що їде на захід, а показання радара - 80 миль/год?

7. Літак F-22 летить зі швидкістю 500 км/год з висотою 10 000 футів на прямій лінії шляху, який буде приймати його безпосередньо над зенітною гарматою.

Як швидко гармата повинна бути в змозі повернути, щоб точно відстежувати літак, коли літак знаходиться:
(а) 1 миля?
(б) 1/5 милі?
(c) Безпосередньо накладні витрати?

8. Літак F-22 летить зі швидкістю 500 миль/год з висотою 100 футів на прямому шляху, який буде приймати його безпосередньо над зенітною гарматою, як у вправі 7 (зверніть увагу на нижню висоту тут).

Як швидко пістолет повинен бути в змозі повернути точно відстежувати літак, коли літак:
(а) 1000 футів?
(б) 100 футів?
(c) Безпосередньо накладні витрати?

9. 24ft. сходи притулився до будинку в той час як база відтягується з постійною швидкістю 1 фут/с.

З якою швидкістю верхня частина сходів ковзає вниз по стороні будинку, коли цоколь знаходиться:
(а) в 1 футі від будинку?
(б) 10 футів від будинку?
(в) 23 фути від будинку?
(г) 24 фути від будинку?

10. Човен витягується в док з постійною швидкістю 30 футів/хв лебідкою, розташованою на 10 футів над палубою човна.

З якою швидкістю човен наближається до причалу, коли човен є:
(а) 50 футів з?
(б) 15 футів?
(c) 1 фут від дока?
(d) Що відбувається, коли довжина мотузки тягне в човні менше 10 футів?

11. Перевернутий циліндричний конус, глибиною 20 футів і 10 футів у верхній частині, наповнюється водою зі швидкістю 10\(^3\) футів/хв. З якою швидкістю піднімається вода в резервуарі, коли глибина води становить:
(а) 1 фут?
(б) 10 футів?
(c) 19 футів?

Скільки часу займе резервуар для заповнення при запуску з порожнього?

12. Мотузка, прикріплена до ваги, йде вгору через шків біля стелі і назад вниз до робочого. Чоловік тримає мотузку на тій же висоті, що і точка з'єднання між мотузкою і вагою.

Припустимо, що людина стоїть безпосередньо поруч з вагою (тобто загальна довжина мотузки 60 футів) і починає ходити зі швидкістю 2ft/s. як швидко піднімається вага, коли людина пройшла:
(а) 10 футів?
(б) 40 футів?

Як далеко повинен йти чоловік, щоб підняти вагу аж до шківа?

13. Розглянемо ситуацію, описану у вправі 12. Припустимо, людина починає 40 футів від ваги і починає йти зі швидкістю 2ft/s.
(а) Скільки триває мотузка?
(б) Наскільки швидко піднімається вага після того, як чоловік пройшов 10 футів?
(c) Наскільки швидко піднімається вага після того, як чоловік пройшов 40 футів?
(d) Як далеко повинен йти чоловік, щоб підняти вагу аж до шківа?

14. Повітряна куля піднімається з землі, піднімаючись вертикально. Від 100 футів, 5' жінка відстежує шлях повітряної кулі. Коли її оглядова лінія з повітряною кулею робить кут 45 градусів з горизонталлю, вона зазначає, що кут збільшується приблизно на\(5^\circ\) /хв.

15. Компанія, яка виробляє ландшафтні матеріали, скидає пісок в конічну купу. Пісок заливається зі швидкістю 5\(^3\) футів/сек; фізичні властивості піску, у поєднанні з гравітацією, гарантують, що висота конуса становить приблизно 2/3 довжини діаметра круглої основи.
Як швидко піднімається конус, коли він має висоту 30 футів?

4.3: Оптимізація

Терміни та поняття

1. T/F: «Проблема оптимізації» - це, по суті, проблема «екстремальних значень» в налаштуванні «проблеми історії».

2. T/F: Цей розділ вчить знаходити екстремальні значення функції, які мають більше однієї змінної.

Проблеми

3. Знайти максимальний добуток двох чисел (необов'язково цілих чисел), які мають суму 100.

4. Знайдіть мінімальну суму двох чисел, добуток яких дорівнює 500.

5. Знайдіть максимальну суму двох чисел, добуток яких дорівнює 500.

6. Знайдіть максимальну суму двох чисел, кожне з яких знаходиться в [0,300], добуток яких дорівнює 500.

7. Знайти максимальну площу прямокутного трикутника з гіпотенузою довжини 1.

8. Ранчер має 1000 футів огорожі, в якій побудувати сусідні, однакового розміру прямокутні ручки. Які розміри повинні мати ці ручки, щоб максимально розширити закриту площу?

9. Стандартна банка соди має приблизно циліндричну форму і вміщує 355 см\(^3\) рідини. Якими габаритами повинен бути циліндр, щоб мінімізувати матеріал, необхідний для виготовлення банки? Виходячи з ваших розмірів, визначте, чи випускається стандартна банка, щоб мінімізувати матеріальні витрати.

10. Знайдіть розміри циліндричної банки об'ємом 206в\(^3\), що мінімізує площу поверхні.

«#10 може» - це стандартний розмір може використовуватися ресторанною індустрією, яка вміщує близько 206in\(^3\) діаметром 6 2/16in і висотою 7in. Чи здається, що ці розміри вибираються з урахуванням мінімізації?

11. Поштова служба США стягує більше за коробки, загальна довжина та обхват яких перевищує 108» («довжина» упаковки - довжина його найдовшої сторони; обхват - периметр поперечного перерізу, тобто 2w + 2h)

Який максимальний обсяг упаковки з квадратним перетином (w = h), який не перевищує стандарт 108»?

12. \(S\)Міцність дерев'яного бруса прямо пропорційна ширині його поперечного перерізу w і квадрату його висоти h; тобто\(S = kwh^2\) для деякої постійної\(k\).

З огляду на кругле колоду діаметром 12 дюймів, якого розміру брус можна вирізати з колоди з максимальною міцністю?

13. Лінія електропередач повинна бути прокладена до офшорного об'єкта способом, описаним у прикладі 104. Морський об'єкт знаходиться в 2 милі в морі та 5 милі вздовж берегової лінії від електростанції. Це коштує $50,000 за милю, щоб прокласти лінію електропередач під землею і $80,000 для запуску лінії під водою.

Скільки лінії електропередач повинна бути прокладена під землею, щоб мінімізувати загальні витрати?

14. Лінія електропередач повинна бути прокладена до офшорного об'єкта способом, описаним у прикладі 104. Морський об'єкт знаходиться в 5 милі в морі і 2 милі вздовж берегової лінії від електростанції. Це коштує $50,000 за милю, щоб прокласти лінію електропередач під землею і $80,000 для запуску лінії під водою.

Скільки лінії електропередач повинна бути прокладена під землею, щоб мінімізувати загальні витрати?

15. Жінка кидає палицю в озеро, щоб її собака могла принести; палиця знаходиться на 20 футах вниз по лінії берега і 15 футів у воду звідти. Собака може стрибати прямо у воду і плавати, або бігати по береговій лінії, щоб наблизитися до палиці перед купанням. Собака бігає близько 22 футів/с і плаває близько 1,5 футів/с.

Як далеко вздовж берега повинна бігти собака, щоб мінімізувати час, необхідний для того, щоб дістатися до палиці? (Підказка: цифра з Прикладу 104 може бути корисною.)

16. Жінка кидає палицю в озеро, щоб її собака могла принести; палиця 15 футів вниз по лінії берега і 30 футів у воду звідти. Собака може стрибати прямо у воду і плавати, або бігати по береговій лінії, щоб наблизитися до палиці перед купанням. Собака бігає близько 22 футів/с і плаває близько 1,5 футів/с.

Як далеко вздовж берега повинна бігти собака, щоб мінімізувати час, необхідний для того, щоб дістатися до палиці? (Google «Собака обчислення», щоб дізнатися більше про здатність собаки мінімізувати час.)

17. Які розміри прямокутника з найбільшою площею можна намалювати всередині одиничного кола?

4.4: Диференціали

Терміни та поняття

1. T/F: З огляду на диференційовну функцію\(y=f(x)\), ми, як правило, вільні вибирати значення для\(dx\), яке потім визначає значення\(dy\).

2. T/F: символи\("dx"\) і\("\Delta x"\) представляють одне і те ж поняття.

3. T/F: символи\("dy"\) і\("\Delta y"\) представляють одне і те ж поняття.

4. T/F: Диференціали мають важливе значення при вивченні інтеграції.

5. Як пов'язані диференціали та дотичні лінії?

Проблеми

У вправах 6-17 використовуйте диференціали, щоб наблизити задане значення вручну.

6. \(2.05^2\)

7. \(5.93^2\)

8. \(5.1^3\)

9. \(6.8^3\)

10. \(\sqrt{16.5}\)

11. \(\sqrt{24}\)

12. \(\sqrt[3]{63}\)

13. \(\sqrt[3]{8.5}\)

14. \(\sin 3\)

15. \(\cos 1.5\)

16. \(e^{0.1}\)

У вправах 17-29 обчислити диференціал\(dy\).

17. \(y=x^2+3x-5\)

18. \(y=x^7-x^5\)

19. \(y=\frac{1}{4x^2}\)

20. \(y=(2x+\sin x)^2\)

21. \(y=x^2e^{3x}\)

22. \(y=\frac{4}{x^4}\)

23. \(y=\frac{2x}{\tan x+1}\)

24. \(y=\ln (5x)\)

25. \(y=e^x\sin x\)

26. \(y=\cos (\sin x)\)

27. \(y = \frac{x+1}{x+2}\)

28. \(y=3^x\ln x\)

29. \(y=x\ln x -x\)

30. Набір пластикових сфер повинен бути виготовлений діаметром 1см. Якщо процес виготовлення з точністю до 1 мм, яка поширена похибка в обсязі сфер?

31. Відстань, в ногах, камінні краплі в\(t\) секундах дається\(d(t) = 16t^2\). Глибина отвору повинна бути наближена, скидаючи скелю і слухаючи, щоб вона потрапила на дно. Яка поширена помилка, якщо вимірювання часу є точним до 2/10 секунди, а виміряний час становить:
(а) 2 секунди?
(б) 5 секунд?

32. Яка поширена похибка при вимірюванні площі поперечного перерізу круглого колоди, якщо діаметр вимірюється на рівні 15 ′ ′, з точністю до 1/4 ′′ ′?

33. Стіна повинна бути пофарбована, яка є висотою 8 ′ і вимірюється, щоб бути 10 ′, 7 ′ 'довжиною. Знайдіть поширену похибку при вимірюванні площі поверхні стіни, якщо вимірювання є точним до 1/2 ′ ′.

Вправи 34-38 досліджують деякі питання, пов'язані з геодезичними зйомками, в яких відстані наближаються за допомогою інших виміряних відстаней і виміряних кутів. (Підказка: Перетворіть всі кути в радіани перед обчисленням.)

34. Довжина\(l\) довгої стіни повинна бути наближена. Кут\(\theta\), як показано на схемі (не в масштабі), вимірюється, щоб бути\(85.2^\circ\), точним до\(1^\circ\). Припустимо, що утворився трикутник є прямокутним трикутником.

(а) Яка вимірювана\(l\) довжина стіни?
(b) Що таке поширена помилка?
(c) Що таке процентна похибка?

35. Відповідь на питання до вправи 34, але з виміряним кутом\(71.5^\circ\), з\(1^\circ\) точністю до, вимірюється з точкою 100' від стіни.

36. Довжину\(l\) довгої стіни потрібно обчислити шляхом вимірювання кута,\(\theta\) показаного на схемі (не в масштабі). Припустимо, що утворився трикутник є рівнобедреним трикутником. Виміряний кут є\(143^\circ\) точним до\(1^\circ\).

(а) Яка вимірювана довжина стіни?
(б) що таке поширена помилка?
(c) Що таке процентна похибка?

37. Довжина стін у вправі 34-36 по суті однакова. Яка настройка дає найбільш точний результат?

38. розглянемо налаштування в Вправи 36. Цього разу, припустимо, що вимірювання кута\(143^\circ\) є точним, але виміряний\(50^\circ\) від стіни є точним до\(6"\). Що таке приблизна похибка відсотків?