4.4: Диференціали
У розділі 2.2 ми досліджували значення та використання похідної. Цей розділ починається з перегляду деяких з цих ідей.
Нагадаємо, що похідна функціїf може бути використана для знаходження нахилів ліній, дотичних до графікаf. Вx=c, дотична лінія до графікаf має рівняння
$ $ у = ф '(c) (х-с) +f (c).\]
Дотична лінія може бути використана для пошуку хороших наближеньf(x) значеньx nearc.
Наприклад, ми можемо наблизитиsin1.1 за допомогою дотичної лінії до графікаf(x)=sinx вx=π/3≈1.05. Відкликатиsin(π/3)=√3/2≈0.866, що, іcos(π/3)=1/2. Таким чином, дотична лінія доf(x)=sinx atx=π/3 дорівнює:
$\ ell (x) =\ фрак12 (х-\ пі/3) +0,866.\]
Малюнок4.4.1: Графікf(x)=sinx і його дотична лініяx=π/3 в для оцінкиsin1.1.
На4.4.1a малюнку ми бачимоf(x)=sinx графічний графік разом з його дотичною лінією вx=π/3. Маленький прямокутник показує область, яка відображається на малюнку4.4.1b. На цьому малюнку ми бачимо, як ми наближаємосяsin1.1 з дотичною лінією, оцінюваної при1.1. Разом ці дві цифри показують, наскільки близькі ці значення.
Використовуючи цей рядок дляsin1.1 наближення, ми маємо:
ℓ(1.1)=12(1.1−π/3)+0.866=12(0.053)+0.866=0.8925.
(Ми залишаємо це читачеві, щоб побачити, наскільки це добре наближення.)
Ми зараз узагальнюємо це поняття. Заданоf(x) таx значення —valuec, дотична лінія дорівнюєℓ(x)=f′(c)(x−c)+f(c). Зрозуміло,f(c)=ℓ(c). ΔxДозволяти невелике число, що представляє собою невелику змінуx вартості. Ми стверджуємо, що:
$ $f (с+\ дельта х)\ приблизно\ ell (с+\ дельта х),\]
оскільки дотична лінія до функції добре наближається до значень цієї функції поблизуx=c.
У міру зміниx значення відc доc+Δxy значенняf змінюється відf(c) доf(c+Δx). Ми називаємо це зміноюy вартостіΔy. Тобто:
$$\ Дельта y = f (с+\ Дельта х) -f (c).\]
f(c+Δx)Замінюючи його дотичною лінією наближення, ми маємо
Δy≈ℓ(c+Δx)−f(c)=f′(c)((c+Δx)−c)+f(c)−f(c)=f′(c)Δx
Це остаточне рівняння є важливим; ми повернемося до нього в Key Idea 7.
Введемо дві нові змінні,dx причомуdy в контексті формального визначення.
Визначення: Диференціалиx and y.
Дозвольтеy=f(x) бути диференційованим. Диференціалx, позначаєтьсяdx, є будь-яким ненульовим дійсним числом (зазвичай прийнято мале число). Диференціалy, позначаєтьсяdy, є
dy=f′(x)dx.
Ми можемо вирішити дляf′(x) у наведеному вище рівнянні:f′(x)=dy/dx. Це стверджує, що похідна щодоx єf диференціаломy розділеного на диференціалx; це не альтернативне позначення для похідної,dydx. Це останнє позначення було обрано через дробові якості похідної, але знову ж таки, це один символ, а не дріб.
Корисно організувати наші нові концепції та позначення в одному місці.
Ключова ідея 7: Диференціальні позначення
y=f(x)Дозволяти диференційовану функцію.
- Δxявляє собою невелику ненульову змінуx значення.
- dxявляє собою невелику ненульову змінуx значення (тобтоΔx=dx).
- Δyце змінаy значення якx зміни наΔx; отже Deltay=f(x+ Deltax)−f(x).
- dy=f′(x)dxякий, за рівнянням4.4.7, є наближенням зміниy значення якx зміни наΔx;dy≈Δy.
Яке значення диференціалів? Як і багато математичні поняття, диференціали забезпечують як практичну, так і теоретичну користь. Ми досліджуємо обидва тут.
Приклад4.4.1: Finding and using differentials
Розглянемоf(x)=x2. Знаючиf(3)=9, приблизніf(3.1).
Рішення
xЗначення змінюється відx=3 доx=3.1; тому ми це бачимоdx=0.1. Якщо ми знаємо, наскільки змінюєтьсяy значення відf(3) доf(3.1) (тобто, якщо ми знаємоΔy), ми будемо точно знати, щоf(3.1) таке (оскільки ми вже знаємоf(3)). Ми можемо наблизити\ Delta y\ сdy.
Δy≈dy=f′(3)dx=2⋅3⋅0.1=0.6.
Ми очікуємо, щоy значення зміниться приблизно0.6, тому ми наближаємоf(3.1)≈9.6.
Ми залишаємо це читачеві, щоб перевірити це, але попереднє обговорення пов'язує диференціал з дотичною лінієюf(x) atx=3. Можна перевірити, що дотична лінія, оцінена наx=3.1, також даєy=9.6.
Звичайно, легко обчислити фактичну відповідь (вручну або за допомогою калькулятора):3.12=9.61. (Перш ніж ми станемо занадто цинічними і скажемо «Тоді навіщо морочитися?» , Зверніть увагу, наше наближення дійсно добре!)
Так навіщо морочитися?
У «більшості» реальних життєвих ситуацій ми не знаємо функції, яка описує ту чи іншу поведінку. Натомість ми можемо лише проводити вимірювання того, як все змінюється — вимірювання похідної.
Уявіть собі, що вода стікає по звивистому каналу. Легко виміряти швидкість і напрямок (тобто швидкість) води в будь-якому місці. Дуже важко створити функцію, яка описує загальний потік, тому важко передбачити, де опиниться плаваючий об'єкт, розміщений на початку каналу. Однак ми можемо наблизити шлях об'єкта за допомогою диференціалів. За невеликі проміжки часу шлях, прийнятий плаваючим об'єктом, по суті, лінійний. Диференціали дозволяють нам наблизити істинний шлях, об'єднавши багато коротких, лінійних шляхів. Ця методика називається методом Ейлера, вивчається на вступних курсах диференціальних рівнянь.
Ми використовуємо диференціали ще раз, щоб наблизити значення функції. Незважаючи на те, що калькулятори дуже доступні, це акуратно, щоб побачити, як ці методи іноді можуть бути використані, щоб легко обчислити щось, що виглядає досить важко.
Приклад4.4.2: Using differentials to approximate a function value
Приблизний√4.5.
Рішення
Ми очікуємо√4.5≈2, але можемо зробити краще. Нехайf(x)=√x, і нехайc=4. Таким чиномf(4)=2. Ми можемо обчислитиf′(x)=1/(2√x), такf′(4)=1/4.
Ми наближаємо різницю міжf(4.5) іf(4) використанням диференціалів, зdx=0.5:
$ $ f (4.5) -f (4) =\ Дельта у\ приблизно ди = f '(4)\ cdot x = 1/4\ cdot 1/2 = 1/8 = 0,125.\]
Приблизна змінаf відx=4 доx=4.5 є0.125, тому ми наближаємо√4.5≈2.125.
Диференціали важливі, коли ми обговорюємо інтеграцію. Коли ми вивчаємо цю тему, ми будемо використовувати такі позначення, як
$\ int ф (х)\ дх\]
досить часто. Хоча ми не обговорюємо тут, що все це означає позначення, зверніть увагу на існування диференціалаdx. Правильне поводження з інтегралами поставляється з правильною обробкою диференціалів.
Зважаючи на це, ми практикуємо пошук диференціалів загалом.
Приклад4.4.3: Finding differentials
У кожному з наступних знайдіть диференціалdy.
y=sinx2.y=ex(x2+2)3.y=√x2+3x−1
S рішення
- y=sinx: Якf(x)=sinx,f′(x)=cosx. Таким чином $ $ dy =\ cos (х) дх. $$
- y=ex(x2+2): Нехайf(x)=ex(x2+2). Нам потрібноf′(x), вимагаючи Правило продукту.
У нас єf′(x)=ex(x2+2)+2xex, так $dy =\ великий (е ^ х (х ^ 2+2) + 2xe ^ х\ великий) ДХ. $$ - y=√x2+3x−1: Нехайf(x)=√x2+3x−1; нам потрібноf′(x), вимагаючи Правило ланцюга.
У нас єΔsf′(x)=12(x2+3x−1)−12(2x+3)=2x+32√x2+3x−1. Таким чином $dy =\ розриву {(2x+3) х} {2\ sqrt {x^2+3x-1}} . $$
Знайти диференціалdyy=f(x) насправді не складніше, ніж знайти похіднуf; ми просто множимоf′(x) наdx. Важливо пам'ятати, що ми не просто додаємо символ "dx" в кінці.
Ми бачили практичне використання диференціалів, оскільки вони пропонують хороший метод прийняття певних наближень. Інше використання - поширення помилок. Припустимо, довжина вимірюється бутиx, хоча фактичне значення єx+Δx (де ми сподіваємося\ Delta x\ мало). Це вимірюванняx може бути використано для обчислення деякого іншого значення; ми можемо думати про це якf(x) для якоїсь функціїf. Як справжня довжинаx+Δx, один дійсно повинен був обчислитиf(x+Δx). Різниця міжf(x) іf(x+Δx) є поширеною помилкою.
Наскільки близькіf(x) іf(x+Δx)? Це різниця значень «y»;
$f (x+\ Дельта х) -f (x) =\ Дельта у\ приблизно день.\]
Ми можемо наблизити поширену помилку за допомогою диференціалів.
Приклад4.4.4: Using differentials to approximate propagated error
Сталевий кульковий підшипник повинен бути виготовлений діаметром 2 см. Процес виготовлення має допуск в±0.1 мм в діаметрі. З огляду на, що щільність стали становить близько 7,85 г/см3, оцініть поширену похибку в масі кульової опори.
Рішення
Масу кулькового підшипника знаходять за допомогою рівняння «маса = об'ємна× щільність». У цій ситуації масова функція є добутком радіуса кулькового підшипника, отже, вона єm=7.8543πr3. Диференціал маси дорівнює
$ дм = 31.4\ пі р^2 д-р.\]
Радіус повинен бути 1см; виробничий допуск в радіусі -±0.05 мм, або±0.005 см. Поширення помилки приблизно:
Δm≈dm=31.4π(1)2(±0.005)=±0.493g
Чи значна ця помилка? Це, безумовно, залежить від програми, але ми можемо отримати уявлення, обчисливши відносну помилку. Співвідношення між величиною похибки до загальної маси дорівнює
dmm=±0.4937.8543π=±0.49332.88=±0.015,
або±1.5.
Ми залишаємо це читачеві, щоб підтвердити це, але якщо діаметр кулі повинен був бути 10см, той же виробничий допуск дасть поширену похибку в масі±12.33 g, яка відповідає\ textit {percent error}±0.188\%. Хоча сума помилки набагато більша ($12.33> 0.493$), відсоток похибки набагато нижчий.
Вперше ми дізналися про похідну в контексті миттєвих швидкостей зміни та нахилів дотичних ліній. Ми сприяли нашому розумінню сили похідної, вивчивши, як вона пов'язана з графіком функції (що призводить до ідей збільшення/зменшення та увігнутості). Ця глава поставила похідну до ще більшого використання:
- Розв'язування рівнянь (метод Ньютона)
- Пов'язані тарифи (подальше використання похідної для пошуку миттєвих темпів зміни)
- Оптимізація (застосовані екстремальні значення), і
- Диференціали (корисні для різних наближень і для чогось, званого інтеграцією).
У наступних розділах ми розглянемо «зворотну» задачу до обчислення похідної: якщо задати функціюf, чи можна знайти функцію, похідна якої єf? Вміти зробити це відкриває неймовірний світ математики та додатків.