5.1: Антипохідні та невизначена інтеграція

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60720

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми витратили значний час, розглядаючи похідні функції та їх застосування. У наступних розділах ми почнемо думати в «іншому напрямку». Тобто, з огляду на функцію$f(x)$, ми будемо розглядати функції$F(x)$ такі, що$F'(x) = f(x)$. Є безліч причин, чому це виявиться корисним: ці функції допоможуть нам обчислити площі, обсяги, масу, силу, тиск, роботу і багато іншого.

Враховуючи функцію$y=f(x)$, диференціальне рівняння - це те$y$$x$, що включає, і похідні$y$. Наприклад, просте диференціальне рівняння:

$ $ у '= 2х.\]

Розв'язування диференціального рівняння зводиться до знаходження функції$y$, яка задовольняє заданому рівнянню. Візьміть хвилинку і розгляньте це рівняння; ви можете знайти$y$ таку функцію, що$y' = 2x$?

Чи можете ви знайти іншого?

І ще один?

Сподіваємось, один зміг придумати хоча б одне рішення:$y = x^2$. «Пошук іншого», можливо, здавалося неможливим, поки людина не зрозуміє, що подібна функція$y=x^2+1$ також має похідну від$2x$. Після того, як це відкриття зроблено, знайти «ще одного» не важко; функція$y = x^2 + 123,456,789$ також має похідну від$2x$. Диференціальне рівняння$y' = 2x$ має безліч розв'язків. Це призводить нас до деяких визначень.

Визначення$\PageIndex{1}$: Antiderivatives and Indefinite Integrals

Нехай$f(x)$ задана функція. Антидериватив$f(x)$ - це функція$F(x)$ така, що$F'(x) = f(x)$.

Безліч всіх антипохідних$f(x)$ - це невизначений інтеграл$f$, що позначається

$\ int ф (х)\ дх.\]

Зробіть примітку щодо нашого визначення: ми маємо на увазі антипохідне$f$, на відміну від антипохідного$f$, оскільки їх завжди існує нескінченна кількість. Ми часто використовуємо великі літери для позначення антипохідних.

Знання одного антипохідного$f$ дозволяє знайти нескінченно більше, просто додаючи константу. Це не тільки дає нам більше антипохідних, але й дає нам усіх.

Теорема$\PageIndex{1}$: Antiderivative Forms

$G(x)$Дозволяти$F(x)$ і бути антипохідними$f(x)$. Тоді існує константа$C$ така, що

$ $ Г (х) = F (х) + C\]

З огляду на функцію$f$ та одне з її антипохідних$F$, ми знаємо, що всі антипохідні$f$ мають вигляд$F(x) + C$ деякої константи$C$. Використовуючи Definition$\PageIndex{1}$, можна сказати, що

$\ int f (x)\ dx = F (x) + C\]

Давайте розберемо це невизначене інтегральне позначення.

$альт$

Малюнок$\PageIndex{1}$: Розуміння невизначеного інтегрального позначення.

$\PageIndex{1}$На малюнку показані типові позначення невизначеного інтеграла. Символ інтеграції$\int$, насправді є «витягнутим S», що представляє «взяти суму». Пізніше ми побачимо, як пов'язані суми та антипохідні.

Функція, яку ми хочемо знайти антипохідну, називається integrand. Він містить диференціал змінної, яку ми інтегруємо щодо. $\int$Символ і диференціал не$dx$ є «bookends» з функцією, затиснутою між ними; скоріше, символ$\int$ означає «знайти всі антипохідні того, що слід», а функція$f(x)$ і$dx$ множаться разом;$dx$ не «просто сидіти там».

Давайте потренуємося використовувати ці позначення.

Приклад$\PageIndex{1}$: Evaluating indefinite integrals

Оцінити$\displaystyle \int \sin x\ dx.$

Рішення

Нас просять знайти всі функції$F(x)$ такі, що$F'(x) = \sin x$. Деяка думка приведе нас до одного рішення:$F(x) = -\cos x$, тому що$\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$.

Таким чином$-\cos x$, невизначений інтеграл$\sin x$ є плюс константа інтеграції. Отже:

$\ int\ sin х\ dx = -\ cos х + С\]

Часто задається питання: «Що сталося з$dx$?» Неосвічена відповідь: «Не хвилюйтеся про це. Це просто йде». Повне розуміння включає в себе наступне.

Цей процес антидиференціації дійсно вирішує диференціальне питання. Інтегральна

$\ int\ гріх х\ dx\]

представляє нам диференціал,$dy = \sin x\ dx$. Він запитує: «Що таке$y$?» Ми знайшли багато рішень, всі форми$y = -\cos x+C$.

Здача$dy = \sin x\ dx$, рерайт

$\ int\ sin х\ dx\ quad\ текст {як}\ quad\ int dy.\]

Це питання: «Які функції мають диференціал виду$dy$?» Відповідь - «Функції форми$y+C$, де$C$ константа». Що таке$y$? У нас є багато варіантів, всі відрізняються постійною; найпростіший вибір - це$y = -\cos x$.

Розуміння всього цього важливіше пізніше, оскільки ми намагаємось знайти антипохідні більш складних функцій. У цьому розділі ми просто вивчимо правила невизначеної інтеграції, і зараз можна досягти успіху, відповівши «Що сталося з ним$dx$?» з «Він пішов».

Давайте ще раз попрактикуємося, перш ніж викладати правила інтеграції.

Приклад$\PageIndex{2}$: Evaluating indefinite integrals

Оцінити$\int (3x^2 + 4x+5)\ dx$.

Рішення

Ми шукаємо функцію, похідна$F(x)$ якої є$3x^2+4x+5$. Беручи похідні, ми можемо розглянути функції термін за терміном, так що ми, ймовірно, можемо зробити це тут.

Які функції мають похідні$3x^2$? $C_1$Деяка думка приведе нас до кубічного, конкретно$x^3+C_1$, де константа.

Які функції мають похідні$4x$? Тут$x$ термін піднімається до першої влади, тому ми, швидше за все, шукаємо квадратичну. Деяка думка повинна привести нас туди$2x^2+C_2$, де$C_2$ знаходиться константа.

Нарешті, які функції мають похідну$5$? Функції форми$5x+C_3$, де$C_3$ знаходиться константа.

Наша відповідь, здається,

$\ int (3x^2+4x+5)\ dx = x^3+C_1+2x^2+C_2+5x+C_3.\]

Нам не потрібні три окремі константи інтеграції; об'єднати їх як одну константу, даючи остаточну відповідь

$\ int (3x^2+4x+5)\ dx = Х ^3+2x^2+5x+C.\]

Легко перевірити нашу відповідь; візьміть похідну$x^3+2x^3+5x+C$ і побачите, що ми дійсно отримуємо$3x^2+4x+5$.

Цей останній крок «перевірки нашої відповіді» важливий як практично, так і теоретично. Загалом, приймати похідні простіше, ніж знайти антипохідні, тому перевірка нашої роботи є простою та життєво важливою, як ми дізнаємося.

Ми також бачимо, що прийняття похідної нашої відповіді повертає функцію в integrand. Таким чином, можна сказати, що:

$\ frac {d} {dx}\ ліворуч (\ int f (x)\ dx\ праворуч) = f (x).\]

Диференціація «скасовує» роботу, виконану антидиференціацією.

Теорема 27 дала список похідних загальних функцій, які ми дізналися на той момент. Ми повторюємо частину цього списку тут, щоб підкреслити взаємозв'язок між похідними та антипохідними. Цей список також буде корисний як глосарій загальних антипохідних, як ми дізнаємося.

Теорема$\PageIndex{2}$: Derivatives and Antiderivatives

Загальні правила диференціації

Загальні правила безстрокової інтеграції

$\frac{d}{dx}\big(cf(x) \big) = c\cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx}\big(f(x)\pm g(x) \big) =f'(x)\pm g'(x)$
$\frac{d}{dx}\big(C \big) = 0$
$\frac{d}{dx}\big(x \big) = 1$
$\frac{d}{dx}\big(x^n \big) = n\cdot x^{n-1}$
$\frac{d}{dx}\big(\sin x \big) = \cos x$
$\frac{d}{dx}\big(\cos x \big) = -\sin x$
$\frac{d}{dx}\big(\tan x \big) = \sec^2 x$
$\frac{d}{dx}\big(\csc x \big) = -\csc x\cot x$
$\frac{d}{dx}\big(\sec x \big) = \sec x\tan x$
$\frac{d}{dx}\big(\cot x \big) = -\csc^2 x$
$\frac{d}{dx}\big(e^ x \big) = e^x$
$\frac{d}{dx}\big(a^x \big) = \ln a\cdot a^x$
$\frac{d}{dx}\big(\ln x \big) = \frac1 x$

$\int c\cdot f(x)\ dx = c\cdot \int f(x)\ dx$
$\int \big(f(x)\pm g(x)\big)\ dx =\int f(x)\ dx\pm \int g(x)\ dx$
$\int 0\ dx = C$
$\int 1\ dx = \int dx = x+C$
$\int x^n\ dx =\frac{1}{n+1}x^{n+1}+ C$
$\int \cos x\ dx = \sin x+C$
$\int \sin x\ dx = -\cos x+C$
$\int \sec^2 x\ dx = \tan x+C$
$\int \csc x\cot x\ dx = -\csc x+C$
$\int \sec x\tan x\ dx = \sec x+C$
$\int \csc^2 x\ dx = -\cot x+C$
$\int e^x\ dx = e^x+C$
$\int a^x\ dx = \frac{1}{\ln a}\cdot a^x+C$
$\int \frac{1}x\ dx = \ln |x|+C$

Виділимо кілька важливих моментів з теореми$\PageIndex{2}$:

Правило #1 зазначає$\int c\cdot f(x)\ dx = c\cdot \int f(x)\ dx$. Це постійне множинне правило: ми можемо тимчасово ігнорувати константи при знаходженні антипохідних, так само, як ми робили при обчисленні похідних (тобто так само легко обчислити,$\frac{d}{dx}\big(3x^2\big)$ як$\frac{d}{dx}\big(x^2\big)$). Приклад:

$\ int 5\ cos x\ dx = 5\ cdot\ int\ cos x\ dx = 5\ cdot (\ sin x+c) = 5\ sin x + C.$$
На останньому кроці ми можемо вважати константу також множиться на 5, але «5 разів константа» все ще є постійною, тому ми просто пишемо "$C$,».

Правило #2 є правилом сума/різниці: ми можемо розділити інтеграли один від одного, коли integrand містить умови, які додається/віднімаються, як ми це робили в прикладі$\PageIndex{2}$. Отже:

\[\begin{align} \int(3x^2+4x+5)\ dx &= \int 3x^2\ dx + \int 4x\ dx + \int 5\ dx \\ &= 3\int x^2\ dx + 4\int x\ dx + \int 5 \ dx\\ &= 3\cdot \frac13x^3 + 4\cdot \frac12x^2+5x+C\\ &= x^3+2x^2+5x+C \end{align}\]
На практиці ми взагалі не виписуємо всі ці кроки, а демонструємо їх тут для повноти.

Правило #5 - це Правило влади невизначеної інтеграції. Є дві важливі речі, про які слід пам'ятати:
1. Зверніть увагу на обмеження, що$n\neq -1$. Це важливо:$\int \frac{1}{x}\ dx \neq $ "$\frac{1}{0}x^0+C$«; скоріше, див. Правило #14.
2. Ми представляємо антидиференціювання як «обернену операцію» диференціювання. Ось корисна цитата, яку слід пам'ятати: «Зворотні операції роблять протилежні речі в протилежному порядку».
  Беручи похідну за допомогою Правила Сили, спочатку множимо на потужність, потім другий віднімаємо 1 від степені. Щоб знайти антидериватив, зробіть протилежні речі в протилежному порядку: спочатку додайте одну до влади, потім другу розділіть на владу.
Зверніть увагу, що Правило #14 містить абсолютне значення$x$. Вправи працюватимуть читача через те, чому це так; наразі знайте, що абсолютне значення важливо і його не можна ігнорувати.

Проблеми початкового значення

У розділі 2.3 ми побачили, що похідна функції положення дає функцію швидкості, а похідна функції швидкості описує прискорення. Тепер ми можемо піти «іншим шляхом»: антипохідна функції прискорення дає функцію швидкості тощо Хоча існує лише одна похідна даної функції, існують нескінченні антипохідні. Тому ми не можемо запитати «Яка швидкість об'єкта, прискорення якого становить$-32$ ft/s$^2$?» , Так як є більш ніж одна відповідь.

Ми можемо знайти відповідь, якщо надамо більше інформації з питанням, як це робиться в наступному прикладі. Часто додаткова інформація надходить у вигляді початкового значення, значення функції, яке відомо заздалегідь.

Приклад$\PageIndex{3}$: Solving initial value problems

Прискорення за рахунок сили тяжіння падаючого об'єкта становить$-32$ ft/s$^2$. У той час$t=3$, що падає об'єкт мав швидкість$-10$ ft/s. знайти рівняння швидкості об'єкта.

Рішення

Ми хочемо знати функцію швидкості,$v(t)$. Ми знаємо дві речі:

Прискорення,$v'(t)= -32$ т. Е.
швидкість в конкретний час, т$v(3) = -10$. Е.

Використовуючи перший фрагмент інформації, ми знаємо, що$v(t)$ є антипохідним від$v'(t)=-32$. Отже, ми почнемо з знаходження невизначеного інтеграла$-32$:

$\ int (-32)\ dt = -32т+C = V (t).\]

Тепер скористаємося тим, що$v(3)=-10$ для пошуку$C$:

\[\begin{align} v(t) &= -32t+C \\ v(3) &= -10 \\ -32(3)+C &= -10\\ C &= 86 \end{align}\]

Таким чином$v(t)= -32t+86$. Ми можемо використовувати це рівняння$t=0$, щоб зрозуміти рух об'єкта: коли об'єкт мав швидкість $v (0) = 86$ ft/s. оскільки швидкість позитивна, об'єкт рухався вгору.

Коли об'єкт почав рухатися вниз? Відразу після$v(t) = 0$:

$-32t+86 = 0\ квад\ стрілка вправо\ квад t =\ frac {43} {16}\ приблизно 2.69\ текст {s}.\]

Визнайте, що ми можемо визначити зовсім небагато про шлях об'єкта, знаючи тільки його прискорення і його швидкість в один момент часу.

Приклад$\PageIndex{4}$: Solving initial value problems

Знайти$f(t)$, враховуючи$f''(t) = \cos t$, що,$f'(0) = 3$ і$f(0) = 5$.

Рішення

Почнемо з пошуку$f'(t)$, який є антипохідним від$f''(t)$:

$\ int f "(t)\ dt =\ int\ cos t\ dt =\ sin t + C = f' (t).\]

Таким чином,$f'(t) = \sin t+C$ для правильного значення$C$. Нам дано$f'(0) = 3$, що, так:

$f' (0) = 3\ квад\ стрілка вправо\ квад\ sin 0+C = 3\ квад\ стрілка вправо\ квад C = 3.\]

Використовуючи початкове значення, ми знайшли$f'(t) = \sin t+ 3.$

Тепер ми знаходимо$f(t)$, інтегруючи знову.

$ $ ф (т) =\ int f' (t)\ dt =\ int (\ sin t+3)\ dt = -\ cos t + 3t + C\]

Нам дано$f(0) = 5$, що, так

\[\begin{align} -\cos 0 + 3(0) + C &= 5 \\ -1 + C &= 5\\ C &= 6 \end{align}\]

Таким чином$f(t) = -\cos t + 3t + 6$.

У цей розділ введені антипохідні і невизначений інтеграл. Ми виявили, що вони потрібні при знаходженні функції, заданої інформації про її похідні. Наприклад, ми знайшли позиційну функцію, задану функцію швидкості.

У наступному розділі ми побачимо, як положення і швидкість несподівано пов'язані областями певних областей на графіку функції швидкості. Потім у розділі 5.4 ми побачимо, як області та антипохідні тісно пов'язані між собою.