2.1: Миттєві темпи змін - похідна

Загальний парк атракціонів їзди піднімає вершників на висоту, а потім дозволяє їм звільнитися на певну відстань, перш ніж безпечно зупинити їх. Припустимо, така їзда скидає вершників з висоти 150 футів. Студенти фізики можуть згадати, що висота (у футах) вершників,$t$ секунди після вільного падіння (і ігнорування опору повітря і т.д.) може бути точно змодельована$f(t) = -16t^2+150$.

Використовуючи цю формулу, легко переконатися, що без втручання вершники вдаряться об землю за$t=2.5\sqrt{1.5} \approx 3.06$ лічені секунди. Припустимо, конструктори їзди вирішують почати уповільнення падіння гонщиків через 2 секунди (що відповідає висоті 86 футів). Як швидко гонщики будуть подорожувати в той час?

Нам дали позиційну функцію, але те, що ми хочемо обчислити, це швидкість в певний момент часу, тобто ми хочемо миттєвої швидкості. Ми в даний час не знаємо, як це обчислити.

Однак із загального досвіду ми знаємо, як розрахувати середню швидкість. (Якщо ми проїжджаємо 60 миль за 2 години, ми знаємо, що у нас була середня швидкість 30 миль/год.) Ми розглянули цю концепцію в розділі 1.1, коли ми ввели коефіцієнт різниці. У нас є

$$\frac{\text{change in distance}}{\text{change in time}} = \frac{\text{"rise''}}{\text{run}} = \text{average velocity}.$$

Ми можемо наблизити миттєву швидкість на,$t=2$ враховуючи середню швидкість протягом деякого періоду часу, що містить$t=2$. Якщо ми зробимо часовий проміжок невеликим, то отримаємо хороше наближення. (Цей факт зазвичай використовується. Наприклад, високошвидкісні камери використовуються для відстеження швидкорухомих об'єктів. Відстані вимірюються на фіксованій кількості кадрів, щоб генерувати точне наближення швидкості.)

Враховуйте інтервал від$t=2$ до$t=3$ (безпосередньо перед тим, як гонщики вдаряться об землю). На цьому інтервалі середня швидкість дорівнює

$$\frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{f(3)-f(2)}{1} =-80\ \text{ft/s},$$

де знак мінус вказує на те, що гонщики рухаються вниз. Звужуючи розглянутий нами інтервал, ми, швидше за все, отримаємо краще наближення миттєвої швидкості. На$[2,2.5]$ нас є

$$\frac{f(2.5)-f(2)}{2.5-2} = \frac{f(2.5)-f(2)}{0.5} =-72\ \text{ft/s}.$$

Ми можемо зробити це протягом менших і менших інтервалів часу. Наприклад, протягом часового проміжку 1/10$^\text{th}$ секунди, тобто, на$[2,2.1]$, ми маємо

$$\frac{f(2.1)-f(2)}{2.1-2} = \frac{f(2.1)-f(2)}{0.1} =-65.6\ \text{ft/s}.$$

За часовий проміжок 1/100$^\text{th}$ секунди, на$[2,2.01]$, середня швидкість дорівнює

$$\frac{f(2.01)-f(2)}{2.01-2} = \frac{f(2.01)-f(2)}{0.01} =-64.16\ \text{ft/s}.$$

Те, що ми насправді обчислюємо, це середня швидкість на інтервалі$[2,2+h]$ для малих значень$h$. Тобто ми обчислюємо там, $$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$$ $h$ де мало.

Те, чого ми дійсно хочемо$h=0$, так це, але це, звичайно, повертає звичну$0/0$ "" невизначену форму. Таким чином, ми використовуємо обмеження, як ми зробили в розділі 1.1.

Ми можемо наблизити значення цієї межі чисельно з малими значеннями$h$, як показано на малюнку 2.1. Це виглядає так, ніби швидкість наближається$-64$ ft/s. обчислення межі безпосередньо дає

$$\begin{align*}\lim_{h\to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} &= \lim_{h\to 0}\frac{-16(2+h)^2+150 - (-16(2)^2+150)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{-64h-16h^2}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}-64 -16h \\ &=-64. \end{align*}$$

Малюнок 2.1: Наближення миттєвої швидкості з середніми швидкостями за невеликий проміжок часу$h$.

Графічно ми можемо переглянути середні швидкості, які ми обчислювали чисельно, як нахили січних ліній на графіку$f$ проходження точок$(2,f(2))$ і$(2+h,f(2+h))$. На малюнку 2.2 січна лінія,$h=1$ що відповідає, показана в трьох контекстах. На малюнку 2.2 (а) показана версія «зменшеного масштабу»$f$ з її січною лінією. У (b) ми збільшуємо масштаб навколо точок перетину між$f$ і січною лінією. Зверніть увагу, наскільки добре ця січна лінія наближається$f$ між цими двома точками - звичайна практика наближення функцій прямими лініями.

Оскільки$h\to 0$ ці січні лінії наближаються до дотичної лінії, лінії, яка проходить через точку$(2,f(2))$ зі спеціальним нахилом$-64$. У частинок (c) і (d) малюнка 2.2 збільшуємо масштаб навколо точки$(2,86)$. У (c) ми бачимо січну лінію, яка$f$ добре наближається, але не так добре дотичну лінію, показану в (d).

Малюнок 2.2: Частини (a), (b) та (c) показують січну лінію до$f(x)\text{ with }h=1$, збільшену в різних кількостях. Частина (d) показує дотичну лінію до$f \text{ at }x=2.$

Ми щойно ввели ряд важливих понять, які ми будемо більш детально продумувати в цьому розділі. Спочатку формально визначимо два з них.

Визначення 7: Похідна в точці

$f$Дозволяти бути безперервної функції на відкритому інтервалі$I$ і нехай$c$ бути в$I$. Похідна від$f$ at$c$, позначається$f^\prime (c)$, за $$\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h},$$ умови, що межа існує. Якщо межа існує, ми говоримо,$f$ що диференційовна на$c$}; якщо межа не існує, то$f$ не диференціюється на$c$}. Якщо$f$ диференціюється в кожній точці$I$, то$f$ диференціюється на$I$.

Визначення 8: Дотична лінія

$f$Дозволяти бути безперервним на відкритому інтервалі$I$ і$c$ диференційовані в, для деяких$c$ в$I$. Лінія з рівнянням$\ell(x) = f^\prime(c)(x-c)+f(c)$ є дотичною лінією до графіка$f$ at$c$; тобто це лінія, через нахил$(c,f(c))$ якої є похідною від$f$ at$c$.

Деякі приклади допоможуть нам розібратися в цих визначеннях.

Приклад 32: Пошук похідних та дотичних ліній

Нехай$f(x) = 3x^2+5x-7$. Знайти:

1. $f^\prime(1)$
2. Рівняння дотичної прямої до графіка$f$ at$x=1$.
3. $f^\prime(3)$
4. Рівняння дотичної прямої до графа$f$ в$x=3$.

Рішення

1. Ми обчислюємо це безпосередньо за допомогою визначення 7. $$\begin{align*} f^\prime(1) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{3(1+h)^2+5(1+h)-7 - (3(1)^2+5(1)-7)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{3h^2+11h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} 3h+11=11. \end{align*}$$
2. Дотична лінія в$x=1$ має нахил$f^\prime(1)$ і проходить через точку$(1,f(1)) = (1,1)$. Таким чином, дотична лінія має рівняння, у формі точки-нахилу,$y = 11(x-1) + 1$. У ухилі-перехоплення формі ми маємо$y = 11x-10$.
3. Знову ж таки, використовуючи визначення, $$\begin{align*} f^\prime(3) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{3(3+h)^2+5(3+h)-7 - (3(3)^2+5(3)-7)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{3h^2+23h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} 3h+23 \\ &= 23. \end{align*}$$
4. Дотична лінія в$x=3$ має нахил$23$ і проходить через точку$(3,f(3)) = (3,35)$. Таким чином, дотична лінія має рівняння$y=23(x-3)+35 = 23x-34$.
   
   Графік$f(x) = 3x^2+5x-7$ і його дотичні лінії в$x=1$ і$x=3$.

Малюнок 2.3: Графік$f(x)=3x^2+5x-7$ і його дотичні лінії в$x=1$ і$x=3$.

Ще одна важлива лінія, яку можна створити за допомогою інформації з похідної - нормальна лінія. Вона перпендикулярна дотичній лінії, отже її нахил протилежний нахилу дотичної лінії.

Визначення 9: Звичайна лінія

$f$Дозволяти бути безперервним на відкритому інтервалі$I$ і$c$ диференційовані в, для деяких$c$ в$I$. Нормальна лінія до графіка$f$ at$c$ - це лінія з рівнянням $$n(x) =\frac{-1}{f^\prime(c)}(x-c)+f(c),$$ де$f^\prime(c)\neq 0$. Коли$f^\prime(c)=0$, нормальна лінія є вертикальною лінією наскрізь$\big(c,f(c)\big)$; тобто,$x=c$.

Приклад 33: Пошук рівнянь нормальних ліній

Нехай$f(x) = 3x^2+5x-7$, як у прикладі 32. Знайдіть рівняння нормальних ліній на графіку$f$ at$x=1$ і$x=3$.

Малюнок 2.4: Графік$f(x)=3x^2+5x-7$, поряд з нормальною лінією в$x=1$.

Рішення

У прикладі 32 ми виявили, що$f^\prime(1)=11$. Значить при$x=1$, нормальна лінія буде мати нахил$-1/11$. Рівняння для нормальної лінії - $$n(x) = \frac{-1}{11}(x-1)+1.$$ Нормальна лінія побудована з на$y=f(x)$ малюнку 2.4. Зверніть увагу, як лінія виглядає перпендикулярно$f$. (Ключове слово тут - «дивиться». Математично ми говоримо, що нормальна лінія$f$ перпендикулярна на,$x=1$ оскільки нахил нормальної лінії протилежний нахилу дотичної лінії. Однак нормальні лінії не завжди можуть виглядати перпендикулярно. Велику роль в цьому відіграє співвідношення сторін картинки графіка.)

Ми також виявили$f^\prime(3) = 23$, що, так нормальна лінія до графіка$f$ в$x=3$ буде мати нахил$-1/23$. Рівняння для нормальної лінії дорівнює $$n(x) = \frac{-1}{23}(x-3)+35.$$

З лінійними функціями легко працювати, з багатьма функціями, що виникають в процесі вирішення реальних завдань, непросто працювати. Звичайною практикою розв'язання математичних задач є наближення складних функцій з не дуже складними функціями. Лінії - поширений вибір. Виходить, що в будь-якій заданій точці на графіку диференційовної функції$f$ найкращим лінійним наближенням до$f$ є її дотична лінія. Це одна з причин, чому ми витратимо значний час на пошук дотичних ліній до функцій.

Одним з типів функцій, який не виграє від наближення дотичної лінії, є лінія; досить просто розпізнати, що дотичною лінією до прямої є сама лінія. Ми розглянемо це в наступному прикладі.

Приклад 34: Пошук похідної від рядка

Розглянемо$f(x) = 3x+5$. Знайти рівняння дотичної прямої до$f$ at$x=1$ і$x=7$.

Рішення

Знаходимо нахил дотичної лінії за допомогою Definition 7.

$$\begin{align*} f^\prime(1) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{3(1+h)+5 - (3+5)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{3h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} 3\\ &= 3. \end{align*}$$

Ми щойно це виявили$f^\prime(1) = 3$. Тобто ми знайшли миттєву швидкість зміни$f(x) = 3x+5$ є$3$. Це не дивно; лінії характеризуються тим, що є єдиними функціями з постійною швидкістю зміни. Ця швидкість зміни називається нахилом лінії. Оскільки їх темпи зміни постійні, їх миттєві темпи зміни завжди однакові; всі вони є нахилом.

Таким чином, дана лінія$f(x) = ax+b$, похідна в будь-якій точці$x$ буде$a$; тобто,$f^\prime(x) = a$.

Тепер легко побачити, що дотична лінія до графіка$f$ at$x=1$ є просто$f$, з тим самим істинним для$x=7$.

Ми часто хочемо знайти дотичну лінію до графіка функції, не знаючи фактичної похідної функції. У цих випадках найкраще, що ми можемо зробити, - це приблизна дотична лінія. Ми демонструємо це в наступному прикладі.

Приклад 35: Числове наближення дотичної прямої

Наблизимо рівняння дотичної прямої до графіка$f(x)=\sin x$ at$x=0$.

Малюнок 2.5: на$f(x)=\sin x$ графіку з наближенням до його дотичної лінії в$x=0$.

Рішення

Для того щоб знайти рівняння дотичної лінії, нам знадобиться нахил і точка. Справа дана нам:$(0,\sin 0) = (0,0)$. Для обчислення нахилу нам знадобиться похідна. Саме тут ми зробимо наближення. Нагадаємо, що $$f^\prime(0) \approx \frac{\sin(0+h)- \sin 0}{h}$$ за невелике значення$h$. Вибираємо (кілька довільно) пускати$h=0.1$. $$f^\prime(0) \approx \frac{\sin(0.1)-\sin 0}{0.1} \approx 0.9983.$$ Таким чином, наше наближення рівняння дотичної прямої є$y = 0.9983(x-0) +0 = 0.9983x$; воно зображено на малюнку 2.5. Графік, здається, означає, що наближення досить гарне.

Нагадаємо з розділу 1.3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x =1$, що означає значення$x$ близько 0,$\sin x \approx x$. Так як нахил лінії$y=x$ дорівнює 1 в$x=0$, то має здатися розумним, що «нахил$f(x)=\sin x$» знаходиться близько 1 в$x=0$. Насправді, так як ми наближені значення нахилу бути$0.9983$, ми можемо здогадатися фактичне значення 1. Ми повернемося до цього пізніше.

Розглянемо ще раз приклад 32. Щоб знайти похідну від$f$ at$x=1$, нам потрібно було оцінити межу. Щоб знайти похідну від$f$ at$x=3$, нам потрібно було знову оцінити межу. У нас є цей процес:

Цей процес описує функцію; задавши один вхід (значення$c$), ми повертаємо рівно один вихід (значення$f^\prime(c)$). Поле «зробити щось» - це те, де відбувається нудна робота (беручи межі) цієї функції.

Замість того, щоб застосовувати цю функцію повторно для різних значень$c$, давайте застосуємо її лише один раз до змінної$x$. Потім ми беремо ліміт всього один раз. Тепер процес виглядає так:

Виходом є «похідна функція»$f^\prime(x)$. $f^\prime(x)$Функція прийме число$c$ як вхід і поверне похідну від$f$ at$c$. Це вимагає визначення.

Визначення 10: Похідна функція

$f$Дозволяти диференційовану функцію на відкритому інтервалі$I$. Функція $$f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ є похідною від$f$.

Позначення:

Нехай$y = f(x)$. Наступні позначення представляють похідну:

$$f^\prime(x)\ =\ y^\prime\ =\ \frac{dy}{dx}\ =\ \frac{df}{dx}\ =\ \frac{d}{dx}(f)\ =\ \frac{d}{dx}(y).$$

Важливо: позначення$\frac{dy}{dx}$ є одним символом; це не дріб "$dy/dx$». Позначення, хоча спочатку дещо заплутане, було підібрано з обережністю. Символ, що виглядає на дріб, був обраний, оскільки похідна має багато властивостей, подібних до дробу. Серед інших місць ми бачимо ці властивості на роботі, коли ми говоримо про одиниці похідної, коли ми обговорюємо Правило ланцюга та коли дізнаємося про інтеграцію (теми, які з'являються в наступних розділах та главах).

Приклади допоможуть нам розібратися в цьому визначенні.

Приклад 36: Пошук похідної функції

Нехай$f(x) = 3x^2+5x-7$ як у прикладі 32. Знайти$f^\prime(x)$.}

Рішення: Застосовуємо визначення 10.

$$\begin{align*} f^\prime(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{3(x+h)^2+5(x+h)-7-(3x^2+5x-7)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{3h^2 +6xh+5h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} 3h+6x+5\\ &= 6x+5 \end{align*}$$

Отже$f^\prime(x) = 6x+5$. Нагадаємо, раніше ми з'ясували, що$f^\prime(1) = 11$ і$f^\prime(3) = 23$. Зверніть увагу на наші нові обчислення$f^\prime(x)$ підтверджують ці факти.

Приклад 37: Пошук похідної функції

Нехай$f(x) = \frac{1}{x+1}$. Знайти$f^\prime(x)$.

Рішення: Застосовуємо визначення 10.

$$f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ = \lim_{h\to 0} \frac{\frac{1}{x+h+1}-\frac{1}{x+1}}{h}$$
Тепер знайдіть спільний знаменник, потім відніміть;$1/h$ витягніть спереду, щоб полегшити читання.
$$\begin{align*} &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\cdot\left(\frac{x+1}{(x+1)(x+h+1)} - \frac{x+h+1}{(x+1)(x+h+1)}\right)\\ &= \lim_{h\to 0} \frac 1h\cdot\left(\frac{x+1-(x+h+1)}{(x+1)(x+h+1)}\right)\\ &= \lim_{h\to 0} \frac1h\cdot\left(\frac{-h}{(x+1)(x+h+1)}\right)\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-1}{(x+1)(x+h+1)} \\ &= \frac{-1}{(x+1)(x+1)}\\ &= \frac{-1}{(x+1)^2} \end{align*}$$

Отже$f^\prime(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$. Щоб практикувати використання наших позначень, ми також могли б констатувати $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right) = \frac{-1}{(x+1)^2}.$$

Приклад 38: Пошук похідної функції

Знайти похідну від$f(x) = \sin x$.}

Рішення

Перш ніж застосовувати Definition 10, зауважте, що як тільки це буде знайдено, ми можемо знайти фактичну дотичну лінію до$f(x) = \sin x$ at$x=0$, тоді як ми вирішили наближення в прикладі 35.

Ми виявили, що коли$f(x) = \sin x$,$f^\prime(x) = \cos x$. Це повинно бути дещо дивним; результат виснажливого граничного процесу та синусоїдальної функції є приємною функцією. Тоді знову ж таки, можливо, це не зовсім дивно. Функція синуса періодична — вона повторюється через рівні проміжки часу. Тому його швидкість зміни також повторюється на тих же регулярних інтервалах. Ми повинні були знати, що похідна буде періодичною; тепер ми точно знаємо, яка періодична функція це.

Повернувшись до Прикладу 35, ми можемо знайти нахил дотичної лінії до$f(x)=\sin x$ at,$x=0$ використовуючи нашу похідну. Ми наблизили нахил як$0.9983$; тепер ми знаємо, що нахил точно$\cos 0 =1$.

Приклад 39: Пошук похідної від кусково визначеної функції

Знайти похідну від функції абсолютного значення, $$f(x) = |x| = \left\{\begin{array}{cc} -x & x<0 \\ x & x\geq 0\end{array}.\right.$$

Див. Малюнок 2.6.

Рішення

Ми повинні оцінити$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$ Як$f$ це кусково - визначено, ми повинні окремо розглянути межі, коли$x<0$ і коли$x>0$.

Малюнок 2.6: Функція абсолютного значення,$f(x)=|x|$. Зверніть увагу, як нахил ліній (а отже, і дотичних ліній) різко змінюється на$x=0$.

Коли$x<0$:

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\big(-x\big) &= \lim_{h\to 0}\frac{-(x+h) - (-x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}-1 \\ &= -1. \end{align*}$$

Коли$x>0$, подібне обчислення показує, що$\frac{d}{dx}(x) = 1$.

Нам також потрібно знайти похідну при$x=0$. За визначенням похідної в точці, ми маємо $$f^\prime(0) = \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.$$ Оскільки$x=0$ це точка, де визначення нашої функції перемикається від одного шматочка до іншого, ми повинні розглянути ліву та праву межі. Розглянемо наступне, де обчислюємо ліву і праву межі пліч-о-пліч.

Останні рядки кожного стовпця розповідають історію: ліві та праві межі не рівні. Тому межа не існує при 0 і$f$ не диференційована при 0. Таким чином$x=0$, $$f^\prime(x) = \left\{\begin{array}{cc} -1 & x<0 \\ 1 & x>0\end{array}.\right.$$ у нас є At,$f^\prime(x)$ не існує; є стрибок розриву на 0; див. Рис. Так$f(x) = |x|$ диференціюється скрізь, крім 0.

Малюнок 2.7: Графік похідної від$f(x)=|x|$.

Точка недиференційованості прийшла тоді, коли кусково визначена функція переключалася з однієї частини на іншу. Наступний наш приклад показує, що це не завжди доставляє неприємності.

Приклад 40: Пошук похідної від кусково визначеної функції

Знайдіть похідну від$f(x)$, де$f(x) = \left\{\begin{array}{cc} \sin x & x\leq \pi/2 \\ 1 & x>\pi/2 \end{array}.\right.$ див. Рис. 2.8.

Малюнок 2.8: Графік$f(x)$, як визначено в прикладі 40.

Рішення

Використовуючи приклад 38, ми знаємо, що коли$x<\pi/2$,$f^\prime(x) = \cos x$. Це легко перевірити, коли$x>\pi/2$,$f^\prime(x) = 0$; врахуйте:

$$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{1-1}{h} = \lim_{h\to0}0 =0.$$

Поки що ми маємо $$f^\prime(x) = \left\{\begin{array}{cc} \cos x & x<\pi/2\\ 0 & x>\pi/2\end{array}.\right.$$ Нам ще потрібно знайти$f^\prime(\pi/2)$. Зверніть увагу на$x=\pi/2$ те, що$f^\prime$ обидва шматки 0, тобто ми можемо стверджувати, що$f^\prime(\pi/2)=0$.

Будучи більш суворими, ми можемо знову оцінити межу коефіцієнта різниці на$x=\pi/2$, використовуючи знову ліві та праві обмеження:

Оскільки обмеження лівої та правої руки дорівнюють 0 at$x=\pi/2$, межа існує і$f^\prime(\pi/2)$ існує (і дорівнює 0). Тому ми можемо повністю написати$f^\prime$ як $$f^\prime(x) = \left\{\begin{array}{cc} \cos x & x\leq\pi/2\\ 0 & x>\pi/2\end{array}.\right.$$ Див. Рис. 2.9 для графіка цієї функції.

Малюнок 2.9: Графік$f^\prime (x)$ у прикладі 40.

Нагадаємо, ми псевдо-визначили безперервну функцію як таку, в якій ми могли б намалювати її графік, не піднімаючи наш олівець. Ми також можемо дати псевдовизначення диференційованості: це неперервна функція, яка не має жодних «гострих кутів». Один такий гострий кут зображений на малюнку 2.6. Незважаючи на те, що функція$f$ в прикладі 40 кусково визначена, перехід є «плавним», отже, він диференційовний. Зверніть увагу, як на$f$ графіку на малюнку 2.8 важко сказати, коли$f$ перемикається з однієї частини на іншу; немає «кута».

Цей розділ визначив похідну; в деякому сенсі він відповідає на питання «Що таке похідна?» У наступному розділі розглядається питання «Що означає похідна?»

Автори та атрибуція

• Template:ContribApexCalc