3.5: Супутні тарифи

Мотивуючі питання

• Якщо дві пов'язані величини, такі як радіус і об'єм сферичної кулі, змінюються як неявні функції часу, як пов'язані їх швидкості зміни? Тобто, як взаємозв'язок між значеннями величин впливає на взаємозв'язок між їх відповідними похідними щодо часу?

У більшості наших застосувань похідної до цих пір нас цікавила миттєва швидкість, з якою одна змінна, скажімо$y$, змінюється щодо іншої, скажімо$x$, приводячи нас до обчислення та інтерпретації$\frac{dy}{dx}$. Далі ми розглянемо ситуації, коли кілька змінних величин пов'язані, але де кожна величина неявно є функцією часу, яка буде представлена змінною$t$. Знаючи, як пов'язані величини, ми будемо зацікавлені у визначенні того, як пов'язані їхні відповідні темпи зміни щодо часу.

Наприклад, припустимо, що повітря закачується в сферичний балон так, що його обсяг збільшується з постійною швидкістю 20 кубічних дюймів в секунду. Оскільки об'єм та радіус повітряної кулі пов'язані між собою, знаючи, наскільки швидко змінюється гучність, ми повинні бути в змозі виявити, наскільки швидко змінюється радіус. Нас цікавлять такі питання, як: чи можемо ми визначити, наскільки швидко збільшується радіус повітряної кулі в той момент, коли діаметр повітряної кулі становить 12 дюймів?

Попередній перегляд активності 3.5.1

Сферична куля надувається з постійною швидкістю 20 кубічних дюймів в секунду. Як швидко радіус кулі змінюється в той момент, коли діаметр повітряної кулі становить 12 дюймів? Чи змінюється радіус швидше, коли$d = 12$ чи коли$d = 16\text{?}$ Чому?

1. Намалюйте кілька сфер з різними радіусами і спостерігайте, що при зміні об'єму радіус, діаметр та площа поверхні повітряної кулі також змінюються.
2. Нагадаємо, що обсяг сфери радіуса$r$ є добре$V = \frac{4}{3} \pi r^3\text{.}$ зауважте, що в постановці цієї задачі обидва$V$ і$r$ змінюються в міру$t$ зміни часу, і, таким чином, обидва$V$ і$r$ можуть розглядатися як неявні функції$t\text{,}$ з відповідних похідних$\frac{dV}{dt}$ і$\frac{dr}{dt}\text{.}$ Диференціювати обидві сторони рівняння$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ по відношенню до$t$ (використовуючи правило ланцюга праворуч), щоб знайти формулу для$\frac{dV}{dt}$ цього залежить від обох$r$ і$\frac{dr}{dt}\text{.}$
3. На даний момент проблеми, диференціюючи, ми «пов'язані швидкості» зміни$V$ і$r\text{.}$ Нагадаємо, що нам дано в проблемі, що повітряна куля надувається з постійною швидкістю 20 кубічних дюймів в секунду. Чи є ця ставка значенням$\frac{dr}{dt}$ або$\frac{dV}{dt}\text{?}$ чому?
4. З частини (c) ми знаємо значення$\frac{dV}{dt}$ при кожному значенні$t\text{.}$ Next, зауважте, що коли діаметр кулі дорівнює 12, ми знаємо значення радіуса. У рівнянні$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\text{,}$ підставляємо ці значення відповідними величинами і вирішуємо для залишилася невідомої величини, яка є$\frac{dr}{dt}\text{.}$ Наскільки швидко змінюється радіус в даний момент$d = 12\text{?}$
5. Чим відрізняється ситуація,$d = 16\text{?}$ коли радіус змінюється швидше, коли$d = 12$ або коли$d = 16\text{?}$

3.5.1 Проблеми з ставками

У проблемах, де дві або більше величини можуть бути пов'язані один з одним, і всі змінні, що беруть участь, є неявно функціями часу,$t\text{,}$ ми часто зацікавлені в тому, як їх ставки пов'язані між собою; ми називаємо ці пов'язані проблеми ставок. Після того, як у нас є рівняння, що встановлює зв'язок між змінними, ми неявно диференціюємо щодо часу, щоб знайти зв'язки між темпами змін.

Приклад 3.5.1

Пісок скидається конвеєрною стрічкою на купу так, щоб пісок утворював правильний круглий конус, як показано на малюнку 3.5.2. Як миттєві темпи зміни обсягу, висоти та радіуса піску пов'язані один з одним?

Малюнок 3.5.2. Конічна купа піску.

Відповідь

У міру падіння піску з конвеєрної стрічки зміниться кілька особливостей піщаної палі: обсяг палі буде рости, висота збільшиться, і радіус теж стане більше. Всі ці величини пов'язані один з одним, і швидкість, з якою змінюється кожна, пов'язана зі швидкістю, з якою пісок падає з конвеєра.

Почнемо з визначення, які змінні змінюються і як вони пов'язані. У цій задачі ми спостерігаємо, що радіус і висота палі пов'язані з її об'ємом стандартним рівнянням для обсягу конуса,

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\text{.} \nonumber$$

Розглядаючи кожну з функцій$V\text{,}$$r\text{,}$ і$h$ як$t\text{,}$ ми неявно диференціюємо, щоб прийти до рівняння, яке пов'язує їх відповідні темпи змін. Беручи похідну кожної сторони рівняння по відношенню до,$t\text{,}$ знаходимо

$$\frac{d}{dt}[V] = \frac{d}{dt}\left[\frac{1}{3} \pi r^2 h\right]\text{.} \nonumber$$

Ліворуч,$\frac{d}{dt}[V]$ просто$\frac{dV}{dt}\text{.}$ Праворуч, ситуація складніша, оскільки обидва$r$ і$h$ є неявними функціями$t\text{.}$ Звідси нам потрібні правила продукту та ланцюга. Ми знаходимо, що

\ begin {align*}\ розрив {dV} {dt} &=\ розрив {d} {dt} {dt}\ лівий [\ frac {1} {3}\ пі r^2 h\ праворуч]\\ [4pt] &=\ frac {1} {3}\ пі r^2\ frac {d} {dt} [h] +\ frac {1} {3}\ pi r^2\ frac {d} {dt} [h] +\ frac {1} {3}\ пі h\ розрив {d} {dt} [r^2]\\ [4pt] &=\ розрив {1} {3}\ пі r^2\ frac {dh} {dt} +\ frac {1} {3}\ пі h 2r\ frac {dt} {dt}\ кінець {вирівня*}

(Зверніть увагу, зокрема, як ми використовуємо ідеї з розділу 2.7 про неявну диференціацію. Там ми виявили, що коли$y$ є неявною функцією$x\text{,}$$\frac{d}{dx}[y^2] = 2y \frac{dy}{dx}\text{.}$ Те ж принципи застосовуються тут, коли ми обчислюємо$\frac{d}{dt}[r^2] = 2r \frac{dr}{dt}\text{.}$)

рівняння

$$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi r^2 \frac{dh}{dt} + \frac{2}{3} \pi rh \frac{dr}{dt}\text{,} \nonumber$$

пов'язує$V\text{,}$$h\text{,}$ темпи зміни та$r\text{.}$

Якщо нам буде надана достатня додаткова інформація, ми можемо знайти значення однієї або декількох з цих темпів змін у певний момент часу.

Приклад 3.5.3

У налаштуванні Прикладу 3.5.1, припустимо, ми також знаємо наступне: (а) пісок падає з конвеєра таким чином, що висота палі завжди дорівнює половині радіуса, а (б) пісок падає з конвеєрної стрічки з постійною швидкістю 10 кубічних футів в хвилину. Як швидко змінюється висота піщаної палі на даний момент радіус 4 фути?

Відповідь

Інформація про те, що висота завжди дорівнює половині радіуса, говорить нам, що для всіх значень$t\text{,}$$h = \frac{1}{2}r\text{.}$ Диференціювання щодо$t\text{,}$ нього слід, що$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dr}{dt}\text{.}$ Ці відносини дозволяють нам ставитися лише$\frac{dV}{dt}$ до одного з$r$ або$h\text{.}$ Підставляючи вирази за участю$r$ і$\frac{dr}{dt}$ для,$h$ і$\frac{dh}{dt}\text{,}$ ми тепер маємо, що

$$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} \frac{dr}{dt} + \frac{2}{3} \pi r \cdot \frac{1}{2}r \cdot \frac{dr}{dt}\text{.}\label{vCG}\tag{3.5.1}$$

Оскільки пісок падає з конвеєра з постійною швидкістю 10 кубічних футів в хвилину, то величина швидкості, з якою змінюється обсяг піщаної палі, становить$\frac{dV}{dt} = 10$$^3$ фут/хв.$\frac{dV}{dt}\text{,}$ Нас цікавить, як швидко змінюється висота палі в той момент, коли$r = 4\text{,}$ так ми підставляємо$r = 4$ і$\frac{dV}{dt} = 10$ в Рівняння (3.5.1), щоб знайти

$$10 = \frac{1}{3} \pi 4^2 \cdot \frac{1}{2} \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} + \frac{2}{3} \pi 4 \cdot \frac{1}{2}4 \cdot \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} = \frac{8}{3}\pi \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} + \frac{16}{3} \pi \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.} \nonumber$$

Тільки значення$\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}$ залишається невідомим. Ми об'єднуємо подібні терміни в правій частині рівняння вище, щоб отримати$10 = 8 \pi \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{,}$ і$\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}$ вирішити для пошуку

$$\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} = \frac{10}{8\pi} \approx 0.39789 \nonumber$$

футів в секунду. Тому що нас цікавило, як швидко змінювалася висота палі в цей момент, ми хочемо знати,$\frac{dh}{dt}$ коли$r = 4\text{.}$ так як$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dr}{dt}$ для всіх значень$t\text{,}$ цього слід

$$\left. \frac{dh}{dt} \right|_{r=4} = \frac{5}{8\pi} \approx 0.19894 \ \text{ft/min}\text{.} \nonumber$$

Зверніть увагу на різницю між позначеннями$\frac{dr}{dt}$ і$\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.}$ Перша являє собою швидкість зміни$r$ по відношенню до$t$ при довільному значенні в$t\text{,}$ той час як остання швидкість зміни$r$ відносно в конкретний$t$ момент, момент, коли $r = 4\text{.}$

Якби ми знали, що$h = \frac{1}{2}r$ на початку Прикладу 3.5.1, ми могли б негайно спростити нашу роботу, написавши$V$ виключно з$r$ точки зору

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{1}{2}h\right) = \frac{1}{6} \pi r^3\text{.} \nonumber$$

З цього останнього рівняння, диференціювання щодо$t$ передбачає

$$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{2} \pi r^2 \frac{dr}{dt}\text{,} \nonumber$$

з якого можна зробити ті ж висновки.

Наша робота з проблемою піщаної палі вище багато в чому схожа на наш підхід в Preview Activity 3.5.1, і ці кроки характерні для більшості пов'язаних проблем зі ставками. Певним чином вони також нагадують роботу, яку ми виконуємо в прикладних задачах оптимізації, і тут ми узагальнюємо основний підхід до розгляду в наступних задачах.

Примітка 3.5.4

• Визначте величини в задачі, які змінюються, і виберіть для них чітко визначені імена змінних. Намалюйте одну або кілька фігур, які чітко представляють ситуацію.
• Визначте всі темпи змін, які відомі або дані, і визначити швидкість (и) зміни, які потрібно знайти.
• Знайдіть рівняння, яке пов'язує змінні, швидкість зміни яких відомі з тими змінними, швидкості зміни яких слід знайти.
• Диференціювати неявно щодо$t$ співвідносити темпи зміни задіяних величин.
• Оцініть похідні та змінні за інформацією, що стосується того моменту, коли шукається певна швидкість зміни. Використовуйте належні позначення, щоб визначити, коли похідна оцінюється в певний момент, наприклад$\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.}$

При виявленні змінних і малюванні малюнка важливо подумати про динамічні способи, за допомогою яких змінюються величини. Іноді послідовність зображень може бути корисною; для деяких зображень, які можна легко змінити як аплети, побудовані в Geogebra, див. наступні посилання, ¹ які представляють

• як зростає площа кругового масляного пляма зі збільшенням її радіуса http://gvsu.edu/s/9n;
• як змінюється розташування підстави сходів і її висота уздовж стіни в міру ковзання сходів http://gvsu.edu/s/9o;
• як змінюється рівень води в конічному резервуарі при наповненні водою з постійною швидкістю http://gvsu.edu/s/9p (порівняйте задачу в Діяльності 3.5.2);
• як змінюється тінь скейтбордиста, коли він рухається повз ліхтарного стовпа http://gvsu.edu/s/9q.

Ми знову посилаємося на роботу професора Марка Рено з Шиппенсбурзького університету, знайдену за адресою http://gvsu.edu/s/5p.

Малювання добре позначені діаграми та уявлення про те, як змінюються різні частини фігури, є ключовою частиною розуміння пов'язаних проблем ставок та успішного їх вирішення.

Активність 3.5.2

Резервуар для води має форму перевернутого кругового конуса (точка вниз) з основою радіусом 6 футів і глибиною 8 футів. Припустимо, що вода закачується в бак з постійною миттєвою швидкістю 4 кубічних футів в хвилину.

1. Намалюйте малюнок конічного бака, включаючи ескіз рівня води в той момент часу, коли бак ще не заповнений. Введіть змінні, які вимірюють радіус поверхні води та глибину води в резервуарі, і позначте їх на вашій фігурі.
2. Скажіть, що$r$ це радіус і$h$ глибина води в даний момент часу,$t\text{.}$ Яке рівняння пов'язує радіус і висоту води, і чому?
3. Визначте рівняння, яке пов'язує обсяг води в резервуарі$t$ в той час$h$ з глибиною залягання води в той час.
4. За допомогою диференціації знайти рівняння, яке пов'язує миттєву швидкість зміни об'єму води по відношенню до часу з миттєвою швидкістю зміни глибини води в часі$t\text{.}$
5. Знайдіть миттєву швидкість, з якою рівень води піднімається, коли вода в резервуарі глибиною 3 фути.
6. Коли вода піднімається найбільш швидко: при$h = 3\text{,}$$h = 4\text{,}$ або$h = 5\text{?}$

Визнання того, які геометричні зв'язки є актуальними в даній задачі, часто є ключем до пошуку функції для оптимізації. Наприклад, хоча проблема в Activity 3.5.2 стосується конічного резервуара, найважливішим фактом є те, що є два аналогічних правильних трикутника. В іншому випадку ми могли б використовувати теорему Піфагора, щоб зв'язати ноги трикутника. Але в конічному резервуарі важливим співвідношенням виявляється те, що вода заповнює бак так, що відношення радіуса до глибини постійне. В інших ситуаціях, коли задіяний мінливий кут, тригонометричні функції можуть забезпечити засоби для пошуку взаємозв'язків між різними частинами трикутника.

Активність 3.5.3

Телевізійна камера розташована на відстані 4000 футів від підстави ракетного майданчика. Кут піднесення камери повинен змінюватися з правильною швидкістю, щоб тримати ракету в поле зору. Крім того, автофокус камери повинен враховувати зростаючу відстань між камерою та ракетою. Припускаємо, що ракета піднімається вертикально. (Подібна проблема обговорюється і зображується динамічно на http://gvsu.edu/s/9t. Вивчення аплету за посиланням буде корисним для вас у відповіді на наступні запитання.)

1. Намалюйте фігуру, яка підсумовує дану ситуацію. Які частини картинки змінюються? Які частини постійні? Ввести відповідні змінні для представлення величин, які змінюються.
2. Знайдіть рівняння, яке пов'язує кут піднесення камери з висотою ракети, а потім знайдіть рівняння, яке пов'язує миттєву швидкість зміни кута підйому камери з миттєвою швидкістю зміни висоти ракети (де всі темпи зміни припадають на час).
3. Знайти рівняння, яке пов'язує відстань від камери до ракети з висотою ракети, а також рівняння, яке пов'язує миттєву швидкість зміни відстані від камери до ракети з миттєвою швидкістю зміни висоти ракети (де всі темпи зміни припадають на час).
4. Припустимо, що швидкість ракети становить 600 футів/сек в той момент, коли вона піднялася на 3000 футів. Як швидко змінюється відстань від телевізійної камери до ракети в цей момент? Якщо камера стежить за ракетою, наскільки швидко змінюється кут висоти камери в той самий момент?
5. Якщо з висоти 3000 футів вперед ракета продовжує підніматися на 600 футів/сек, чи буде швидкість зміни відстані щодо часу більшою, коли висота 4000 футів, ніж на 3000 футів, або менше? Чому?

Окрім пошуку миттєвих темпів змін у певні моменти часу, ми часто можемо робити більш загальні спостереження щодо того, як конкретні ставки самі змінюватимуться з часом. Наприклад, коли конічний резервуар наповнюється водою з постійною швидкістю, здається очевидним, що глибина води з часом повинна збільшуватися повільніше. Зверніть увагу, як ретельно ми повинні формулювати відносини: ми маємо на увазі сказати,$h\text{,}$ що в той час як глибина, води збільшується, її швидкість зміни$\frac{dh}{dt}\text{,}$ зменшується (як функція, так$t$ і як функція$h$). Ми робимо це спостереження, вирішуючи рівняння, яке пов'язує різні ставки для однієї конкретної ставки, не підставляючи будь-які конкретні значення для відомих змінних або ставок. Наприклад, у задачі конічного резервуара в Діяльність 3.5.2 ми встановили, що

$$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{16} \pi h^2 \frac{dh}{dt}\text{,} \nonumber$$

і, отже,

$$\frac{dh}{dt} = \frac{16}{\pi h^2} \frac{dV}{dt}\text{.} \nonumber$$

За умови, що$\frac{dV}{dt}$ це постійне, відразу видно, що, як$h$ стає більше,$\frac{dh}{dt}$ буде менше, але залишиться позитивним. Значить, глибина залягання води збільшується зі зменшенням швидкості.

Активність 3.5.4

Як на фото в аплеті http://gvsu.edu/s/9q, скейтбордист, який 6 футів у висоту їде під 15 футів високий ліхтарний стовп з постійною швидкістю 3 футів в секунду. Нам цікаво зрозуміти, як швидко змінюється його тінь в різні моменти часу.

1. Намалюйте відповідний прямокутний трикутник, який представляє знімок у часі скейтбордиста, ліхтарного стовпа і його тіні. Нехай$x$ позначимо горизонтальну відстань від основи ліхтарного стовпа до скейтбордиста і$s$ представляємо довжину його тіні. Позначте ці величини, а також висоту скейтбордиста і висоту ліхтарного стовпа на схемі.
2. Зверніть увагу, що скейтбордист і ліхтарний стовп представляють на схемі паралельні відрізки лінії, і, таким чином, присутні схожі трикутники. Використовуйте подібні трикутники, щоб встановити рівняння, яке пов'язує$x$ і$s\text{.}$
3. Використовуйте свою роботу в (b), щоб знайти рівняння, яке пов'язує$\frac{dx}{dt}$ і$\frac{ds}{dt}\text{.}$
4. З якою швидкістю довжина тіні скейтбордиста збільшується в той момент, коли скейтбордист знаходиться в 8 футах від ліхтарного стовпа?
5. Зі збільшенням відстані скейтбордиста від ліхтарного стовпа довжина його тіні збільшується зі зростаючою швидкістю, збільшуючись зі зменшенням, або збільшуючись з постійною швидкістю?
6. Що рухається швидше: скейтбордист або кінчик його тіні? Поясніть, і виправдайте свою відповідь.

У перших трьох заходах цього розділу ми надали інструкцію з побудови рішення поетапно. Для завершальної діяльності і наступних вправ велика частина докладної роботи залишається читачеві.

Активність 3.5.5

Бейсбольний діамант$90'$ квадратний. Тісто потрапляє в м'яч уздовж третьої базової лінії і біжить до першої бази. З якою швидкістю змінюється відстань між м'ячем і першою базою, коли м'яч знаходиться на півдорозі до третьої бази, якщо в цей момент м'яч рухається$100$ фути/сек? З якою швидкістю змінюється відстань між м'ячем і бігуном в ту ж мить, якщо в ту ж мить бігун проходить$1/8$ шлях до першої бази, що біжить зі швидкістю$30$ футів/сек?

3.5.2 Резюме

• Коли дві або більше пов'язаних величин змінюються як неявні функції часу, їх темпи зміни можуть бути пов'язані шляхом неявної диференціації рівняння, яке пов'язує самі величини. Наприклад, якщо сторони прямокутного трикутника змінюються як функції часу, скажімо, що мають довжини,$x\text{,}$$y\text{,}$ а$z\text{,}$ потім ці величини пов'язані теоремою Піфагора:$x^2 + y^2 = z^2\text{.}$ Це випливає, неявно диференціюючи щодо$t$ того, що їх швидкості є пов'язані рівнянням
  $$2x \frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z \frac{dz}{dt}\text{,} \nonumber$$

  так що якщо ми знаємо значення$x\text{,}$$y\text{,}$ і$z$ в конкретний час, а також дві з трьох ставок, ми можемо вивести значення третьої.