3.3: Глобальна оптимізація

Мотивуючі питання

• Які відмінності між знаходженням відносних екстремальних значень і глобальних екстремальних значень функції?
• Чим процес знаходження глобального максимуму або мінімуму функції по всьому домену функції відрізняється від визначення глобального максимуму або мінімуму на обмеженому домені?
• Для функції, яка гарантовано матиме як глобальний максимум, так і глобальний мінімум на замкнутому обмеженому інтервалі, які можливі точки, в яких виникають ці екстремальні значення?

Ми бачили, що ми можемо використовувати першу похідну функції, щоб визначити, де функція збільшується або зменшується, а другу похідну, щоб знати, де функція увігнута вгору або увігнута вниз. Ця інформація допомагає нам визначити загальну форму і поведінку графіка, а також, чи має функція відносну крайність.

Запам'ятайте різницю між відносним максимумом і глобальним максимумом: існує відносний максимум\(f\) at\(x = p\) if\(f(p) \ge f(x)\) для всіх\(x\) поруч,\(p\text{,}\) тоді як існує глобальний максимум при\(p\) if\(f(p) \ge f(x)\) for all \(x\)в домені\(f\text{.}\)

Наприклад, на малюнку 3.3.1 ми бачимо функцію,\(f\) яка має глобальний максимум at\(x = c\) і відносний максимум в\(x = a\text{,}\) оскільки\(f(c)\) більше, ніж\(f(x)\) для кожного значення\(x\text{,}\) while\(f(a)\) тільки більше, ніж значення\(f(x)\) for\(x\) near\(a\text{.}\) Оскільки функція, здається, зменшується без обмежень, не\(f\) має глобального мінімуму, хоча явно\(f\) має відносний мінімум при\(x = b\text{.}\)

Малюнок 3.3.1. Функція\(f\) з глобальним максимумом, але без глобального мінімуму.

Наш акцент в цьому розділі робиться на пошуку глобальних екстремальних значень функції (якщо вони існують), або над усім її доменом, або на деякій обмеженій частині.

Попередній перегляд Діяльність 3.3.1

Нехай\(f(x) = 2 + \frac{3}{1+(x+1)^2}\text{.}\)

1. Визначте всі критичні числа\(f\text{.}\)
2. Побудуйте першу діаграму похідних знаків\(f\) і таким чином визначте всі інтервали, на яких\(f\) збільшується або зменшується.
3. Чи\(f\) є глобальний максимум? Якщо так, то навіщо, і яке його значення і де досягається максимум? Якщо ні, поясніть, чому.
4. Визначте\(\lim_{x \to \infty} f(x)\) і\(\lim_{x \to -\infty} f(x)\text{.}\)
5. Поясніть\(f(x) \gt 2\), чому для кожного значення\(x\text{.}\)
6. Чи\(f\) є глобальний мінімум? Якщо так, то чому, і яка його вартість і де досягається мінімум? Якщо ні, поясніть, чому.

3.3.1 Глобальна оптимізація

На малюнку 3.3.1 і Preview Activity 3.3.1 ми були зацікавлені у пошуку глобального мінімуму і глобального максимуму для\(f\) всього домену. В інший час ми можемо зосередитися на деякому обмеженні домену.

Наприклад, замість того, щоб розглядати\(f(x) = 2 + \frac{3}{1+(x+1)^2}\) для кожного значення,\(x\text{,}\) можливо, замість нас цікавлять тільки ті,\(x\) для яких\(0 \le x \le 4\text{,}\) і ми хотіли б знати, які значення\(x\) в інтервалі\([0,4]\) виробляють найбільші можливі і найменші можливі значення \(f\text{.}\)Ми звикли до критичних чисел, які відіграють ключову роль у визначенні розташування екстремальних значень функції; тепер, обмежуючи область інтервалом, має сенс, що кінцеві точки інтервалу також буде важливо враховувати, як ми бачимо в наступній діяльності. Обмежуючи себе певним інтервалом, ми часто будемо посилатися на абсолютне максимальне або мінімальне значення, а не глобальний максимум або мінімум.

Активність 3.3.2

Нехай\(g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x + 2\text{.}\)

1. Знайти всі критичні числа\(g\), які лежать в інтервалі\(-2 \le x \le 3\text{.}\)
2. Використовуйте утиліту графіків для побудови графіка\(g\) на інтервалі\(-2 \le x \le 3\text{.}\)
3. З графіка визначте\(x\) -значення, при яких абсолютний мінімум і абсолютний максимум\(g\) припадають на інтервал\([-2,3]\text{.}\)
4. Як змінюються ваші відповіді, якщо ми замість цього розглянемо інтервал?\(-2 \le x \le 2\text{?}\)
5. Що робити, якщо ми замість цього розглянемо інтервал\(-2 \le x \le 1\text{?}\)

У Діяльності 3.3.2 ми побачили, як абсолютний максимум і абсолютний мінімум функції на замкнутому обмеженому інтервалі\([a,b]\text{,}\) залежать не тільки від критичних чисел функції, але і від значень\(a\) і\(b\text{.}\) ці спостереження демонструють кілька важливих фактів, які містять більше загалом. По-перше, ми викладемо важливий результат, який називається теорема про екстремальні значення.

Теорема про екстремальні значення

Якщо\(f\) є безперервною функцією на замкнутому інтервалі,\([a,b]\text{,}\) то\(f\) досягає як абсолютного мінімуму, так і абсолютного максимуму на\([a,b]\text{.}\) Тобто, для деякого значення\(x_m\) таке, що\(a \le x_m \le b\text{,}\) випливає, що\(f(x_m) \le f(x)\) для всіх\(x\) в\([a,b]\text{.}\) Аналогічно, є значення \(x_M\)в\([a,b]\) такому, що\(f(x_M) \ge f(x)\) для всіх\(x\) в\([a,b]\text{.}\)\(m = f(x_m)\) Letting і\(M = f(x_M)\text{,}\) випливає, що\(m \le f(x) \le M\) для всіх\(x\) в\([a,b]\text{.}\)

Теорема про екстремальні значення говорить нам, що на будь-якому замкнутому інтервалі\([a,b]\text{,}\) безперервна функція повинна досягати як абсолютного мінімуму, так і абсолютного максимуму. Теорема не говорить нам, де відбуваються ці крайні значення, а лише про те, що вони повинні існувати. Як ми бачили в Activity 3.3.2, єдино можливі місця для відносних крайнощів знаходяться в кінцевих точках інтервалу або в критичному числі.

Примітка 3.3.2

Таким чином, ми маємо наступний підхід до знаходження абсолютного максимуму і мінімуму неперервної функції\(f\) на інтервалі\([a,b]\text{:}\)

• знайти всі критичні числа\(f\), які лежать в інтервалі;
• оцінювати функцію\(f\) при кожному критичному числі в інтервалі і в кожній кінцевій точці інтервалу;
• з числа цих значень функції найменшим є абсолютний мінімум\(f\) на інтервалі, тоді як найбільший - абсолютний максимум.

Активність 3.3.3

Знайти точний абсолютний максимум і мінімум кожної функції на заявленому інтервалі.

1. \(h(x) = xe^{-x}\text{,}\)\([0,3]\)
2. \(p(t) = \sin(t) + \cos(t)\text{,}\)\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
3. \(q(x) = \frac{x^2}{x-2}\text{,}\)\([3,7]\)
4. \(f(x) = 4 - e^{-(x-2)^2}\text{,}\)\((-\infty, \infty)\)
5. \(h(x) = xe^{-ax}\text{,}\)\([0, \frac{2}{a}]\)(\(a \gt 0\))
6. \(f(x) = b - e^{-(x-a)^2}\text{,}\)\((-\infty, \infty)\text{,}\)\(a, b \gt 0\)

Обраний нами інтервал має майже такий же вплив на екстремальні значення, як і розглянута функція. Розглянемо, наприклад, функцію, зображену на малюнку 3.3.3.

Малюнок 3.3.3. Функція, що\(g\) розглядається на трьох різних інтервалах.

Послідовно, зліва направо, розглянутий інтервал змінюється\([-2,3]\) з\([-2,2]\) на\([-2,1]\text{.}\)

• На проміжку\([-2,3]\text{,}\) є два критичних числа, з абсолютним мінімумом в одному критичному числі і абсолютним максимумом в правій кінцевій точці.
• На проміжку\([-2,2]\text{,}\) обидва критичних числа знаходяться в інтервалі, причому абсолютний мінімум і максимум - у двох критичних чисел.
• На проміжку\([-2,1]\text{,}\) всього одне критичне число лежить в інтервалі, причому абсолютний максимум на одному критичному числі і абсолютний мінімум в одній кінцевій точці.

Не забудьте розглянути тільки критичні числа, які лежать в інтервалі.

3.3.2 Перехід до додатків

Завершимо цей розділ прикладом прикладної задачі оптимізації. Він підкреслює роль, яку може зіграти замкнутий обмежений домен у пошуку абсолютних екстремумів.

Приклад 3.3.4

20-сантиметровий шматок дроту розрізаємо на дві частини. Один шматок використовується для формування квадрата, а інший - для формування рівностороннього трикутника. Як слід розрізати дріт, щоб максимально збільшити загальну площу, укладену квадратом і трикутником? мінімізувати площу?

Відповідь

Починаємо з ескізу картини, яка ілюструє ситуацію. Змінна в задачі полягає в тому, де ми вирішуємо перерізати провід. Маркуємо таким чином точку зрізу на відстані\(x\) від одного кінця дроту, і відзначаємо, що залишилася частина дроту тоді має довжину.\(20-x\)

Як показано на малюнку 3.3.5, ми бачимо, що\(x\) см дроту, який використовується для формування рівностороннього трикутника з трьома сторонами довжини.\(\frac{x}{3}\text{.}\) Для решти\(20-x\) см дроту квадрат, який отримає, матиме кожну сторону довжини\(\frac{20-x}{4}\text{.}\)

Малюнок 3.3.5. Шматок дроту розміром 20 см, розрізаний на дві частини, один з яких утворює рівносторонній трикутник, інший - квадрат.

На цьому етапі відзначимо, що існують явні обмеження на\(x\text{:}\) зокрема,\(0 \le x \le 20\text{.}\) в крайньому випадку, весь провід використовується для виготовлення всього однієї фігури. Наприклад, якщо\(x = 0\text{,}\) тоді всі 20 см дроту використовуються, щоб зробити квадрат, який\(5 \times 5\text{.}\)

Тепер наша загальна мета полягає в тому, щоб знайти мінімальну і максимальну площу, які можна закрити. Оскільки висота рівностороннього трикутника в\(\sqrt{3}\) рази половину довжини підстави, площа трикутника дорівнює

\[ A_{\Delta} = \frac{1}{2} bh = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{6}\text{.} \nonumber \]

Площа площі\(A_{\Box} = s^2 = \left( \frac{20-x}{4} \right)^2\text{.}\) Таким чином, загальна площа функція є

\[ A(x) = \frac{\sqrt{3}x^2}{36} + \left( \frac{20-x}{4} \right)^2\text{.} \nonumber \]

Пам'ятайте, що ми розглядаємо цю функцію тільки на обмеженому домені.\([0,20]\text{.}\)

Диференціюючи\(A(x)\text{,}\) ми маємо

\[ A'(x) = \frac{\sqrt{3}x}{18} + 2\left( \frac{20-x}{4} \right)\left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{18} x + \frac{1}{8}x - \frac{5}{2}\text{.} \nonumber \]

Коли ми встановлюємо,\(A'(x) = 0\text{,}\) ми знаходимо, що\(x = \frac{180}{4\sqrt{3}+9} \approx 11.3007\) це єдине критичне число\(A\) в інтервалі\([0,20]\text{.}\)

Оцінюючи\(A\) за критичним числом і кінцевими точками, ми бачимо, що

\(\displaystyle A\left(\frac{180}{4\sqrt{3}+9}\right) = \frac{\sqrt{3}(\frac{180}{4\sqrt{3}+9})^2}{4} + \left( \frac{20-\frac{180}{4\sqrt{3}+9}}{4} \right)^2 \approx 10.8741\)\(\displaystyle A(0) = 25\)\(\displaystyle A(20) = \frac{\sqrt{3}}{36}(400) = \frac{100}{9} \sqrt{3} \approx 19.2450\)

Таким чином, абсолютний мінімум настає, коли\(x \approx 11.3007\) і призводить до мінімальної площі приблизно\(10.8741\) квадратних сантиметрів. Абсолютний максимум виникає, коли ми вкладаємо весь провід в квадрат (і жоден в трикутник), в результаті чого 25 квадратних сантиметрів площі. Ці результати підтверджуються графіком\(y = A(x)\) на інтервалі,\([0,20]\text{,}\) як показано на малюнку 3.3.6.

Малюнок 3.3.6. Графік функції площі з Прикладу 3.3.4.

Активність 3.3.4

Шматок картону, який є\(10 \times 15\) (кожен вимірюється в дюймах) робиться в коробку без верху. Для цього з кожного кута коробки вирізаються квадрати і інші сторони складають вгору. Якщо коробка повинна бути глибиною принаймні 1 дюйм і глибиною не більше 3 дюймів, який максимально можливий обсяг коробки? який мінімальний обсяг? Обґрунтуйте свої відповіді за допомогою обчислення.

1. Намалюйте позначену діаграму, яка показує задану інформацію. Яку змінну ми повинні ввести, щоб представити вибір, який ми робимо при створенні коробки? Позначте діаграму відповідним чином зі змінною та напишіть речення, щоб вказати, що представляє змінна.
2. Визначте формулу для функції\(V\) (яка залежить від змінної в (a)), яка повідомляє нам обсяг коробки.
3. Що таке область функції\(V\text{?}\) Тобто, які значення мають\(x\) сенс для введення? Чи передбачені в проблемі додаткові обмеження?
4. Визначте всі критичні числа функції\(V\text{.}\)
5. Оцінюйте\(V\) в кожній з кінцевих точок домену і в будь-яких критичних цифрах, які лежать в домені.
6. Який максимально можливий обсяг коробки? мінімум?

Приклад 3.3.4 та Діяльність 3.3.4 ілюструють стандартні кроки, які ми робимо майже в кожній прикладній задачі оптимізації: ми малюємо картинку, щоб продемонструвати ситуацію, вводимо одну або кілька змінних для представлення величин, які змінюються, знаходимо функцію, яка моделює кількість, яку потрібно оптимізувати, а потім визначитися з відповідним доменом для цієї функції. Як тільки це буде зроблено, ми знаходимося в знайомій ситуації знаходження абсолютного мінімуму і максимуму функції над певною областю, тому ми застосовуємо ідеї обчислення, які ми вивчали до цього моменту в главі 3.

3.3.3 Резюме

• Щоб знайти відносні екстремальні значення функції, ми використовуємо діаграму першої похідної знаків і класифікуємо всі критичні числа функції. Якщо замість цього нас цікавлять абсолютні екстремальні значення, ми спочатку вирішуємо, чи розглядаємо ми всю область функції або певний інтервал.
• У разі знаходження глобальних крайнощів над усім доменом функції, ми знову використовуємо першу або другу діаграму похідних знаків. Якщо ми працюємо над тим, щоб знайти абсолютні крайності на обмеженому інтервалі, то спочатку виділяємо всі критичні числа функції, які лежать в інтервалі.
• Для неперервної функції на замкнутому обмеженому інтервалі єдиними можливими точками, в яких виникають абсолютні екстремальні значення, є критичні числа та кінцеві точки. Таким чином, ми просто оцінюємо функцію в кожній кінцевій точці і кожне критичне число в інтервалі, і порівняємо результати, щоб вирішити, яка найбільша (абсолютний максимум), а яка найменша (абсолютний мінімум).