3.4: Прикладна оптимізація

Мотивуючі питання

• У обстановці, де описана ситуація, для якої шукаються оптимальні параметри, як ми розробляємо функцію, яка моделює ситуацію та використовує обчислення для пошуку бажаного максимуму чи мінімуму?

Близько висновку розділу 3.3 ми розглянули дві задачі оптимізації, де визначення функції, яку потрібно оптимізувати, було частиною проблеми. У прикладі 3.3.4 ми прагнули використовувати один шматок дроту для побудови рівностороннього трикутника і квадрата, щоб максимізувати загальну об'єднану площу. У наступному Діяльності 3.3.4 ми досліджували, як обсяг коробки, побудованої з шматка картону шляхом видалення квадратів з кожного кута і складання сторін залежить від розміру зніманих квадратів.

У жодній з цих проблем не була функція оптимізації явно передбачена. Швидше, ми спочатку намагалися зрозуміти проблему, намалювавши фігуру та вводячи змінні, а потім прагнули розробити формулу для функції, яка моделювала величину, яку потрібно оптимізувати. Після того, як функція була встановлена, ми потім розглянули, який домен підходить. У той момент ми нарешті були готові застосувати ідеї числення для визначення абсолютного мінімуму або максимуму.

Протягом усього, що випливає в поточному розділі, основний акцент робиться на рішенні проблем читача. Спочатку надаються деякі істотні вказівки, при цьому проблеми прогресують, щоб вимагати більшої незалежності, коли ми рухаємося далі.

Попередній перегляд активності 3.4.1

Згідно поштових правил США, обхват плюс довжина відправленої поштою посилки не може перевищувати 108 дюймів, де під «обхватом» ми маємо на увазі периметр найменшого кінця. Який максимально можливий обсяг прямокутної посилки з квадратним кінцем, який можна відправити поштою? Які розміри упаковки найбільшого обсягу?

а$x$ Дозволяти представляти довжину однієї сторони квадратного$y$ кінця і довжину довшої сторони. Позначте ці величини відповідним чином на зображенні, показаному на малюнку 3.4.1.

Малюнок 3.4.1. Прямокутна ділянка з квадратним кінцем.

б Яку кількість потрібно оптимізувати в цій проблемі? Знайти формулу для цієї величини в перерахунку$x$ і$y\text{.}$

c Постановка проблеми говорить нам, що обхват посилки плюс довжина не може перевищувати 108 дюймів. Для того щоб максимально збільшити обсяг, ми припускаємо, що нам насправді знадобиться обхват плюс довжина дорівнює 108 дюймам. Яке рівняння це виробляє за участю$x$ і$y\text{?}$

d Вирішити рівняння, яке ви знайшли в (c) для одного з$x$ або$y$ (залежно від того, що простіше).

e Тепер використовуйте свою роботу в (b) і (d), щоб визначити формулу обсягу посилки, щоб ця формула була функцією однієї змінної.

f Над яким доменом слід розглядати цю функцію? Зверніть увагу, що обидва$x$ і$y$ повинні бути позитивними; як обмеження, що обхват плюс довжина 108 дюймів виробляють інтервали можливих значень для$x$ і$y\text{?}$

g Знайдіть абсолютний максимум обсягу посилки на домені, який ви встановили в (f) і, отже, також визначте розміри коробки найбільшого обсягу. Обґрунтуйте, що ви знайшли максимум за допомогою обчислення.

3.4.1 Інші прикладні проблеми оптимізації

Багато кроків у попередньому перегляді активності 3.4.1 - це ті, які ми виконуватимемо в будь-якій прикладній проблемі оптимізації. Ми коротко підсумовуємо їх тут, щоб надати огляд нашого підходу в наступних питаннях.

Примітка 3.4.2

• Намалюйте картинку і введіть змінні. Важливо спочатку зрозуміти, які величини дозволяється варіювати в задачі, а потім представляти ці значення змінними. Побудова фігури з позначеними змінними майже завжди є важливим першим кроком. Іноді малювання декількох діаграм може бути особливо корисним, щоб отримати уявлення про ситуацію. Приємний приклад цього можна побачити на http://gvsu.edu/s/99, де вибір місця зігнути шматок дроту у форму прямокутника визначає як форму прямокутника, так і площу.
• Визначте кількість, яку потрібно оптимізувати, а також будь-які ключові відносини між змінними величинами. По суті, цей крок передбачає написання рівнянь, які включають змінні, які були введені: один для представлення кількості, мінімум або максимум якої шукається, і, можливо, інші, які показують, як кілька змінних у задачі можуть бути взаємопов'язані.
• Визначте функцію однієї змінної, яка моделює кількість, яку потрібно оптимізувати; це може включати використання інших зв'язків між змінними для усунення однієї або декількох змінних у формулі функції. Наприклад, в Preview Activity 3.4.1 ми спочатку виявили, що$V = x^2 y\text{,}$ але потім додаткове співвідношення, яке$4x + y = 108$ (обхват плюс довжина дорівнює 108 дюймів) дозволяє нам співвідносити$x$$y$ і, таким чином, спостерігати еквівалентно,$y = 108-4x\text{.}$ що Заміна$y$ в рівнянні гучності дає$V(x) = x^2(108-4x)\text{,}$ і таким чином ми записали обсяг як функцію єдиної змінної$x\text{.}$
• Визначте домен, на якому слід враховувати оптимізовану функцію. Часто фізичні обмеження проблеми обмежують можливі значення, які може приймати незалежна змінна. Думаючи про діаграму, що описує загальну ситуацію і будь-які зв'язки між змінними в задачі, часто допомагає виявити найменші і найбільші значення вхідної змінної.
• Використовуйте обчислення для визначення абсолютного максимуму та/або мінімуму оптимізованої кількості. Це завжди передбачає пошук критичних чисел функції в першу чергу. Потім, залежно від області, ми або будуємо першу діаграму похідних знаків (для відкритого або необмеженого інтервалу) або оцінюємо функцію в кінцевих точках і критичних чисел (для замкнутого обмеженого інтервалу), використовуючи ідеї, які ми вивчали досі в розділі 3.
• Нарешті, ми переконуємось, що відповіли на запитання: чи шукає питання абсолютний максимум величини або значення змінних, які виробляють максимум? Тобто знаходження абсолютного максимального обсягу посилки відрізняється від знаходження розмірів посилки, які виробляють максимум.

Активність 3.4.2

Супова банка у формі правильного круглого циліндра повинна бути виготовлена з двох матеріалів. Матеріал для бічної сторони банки коштує 0,015 доларів за квадратний дюйм, а матеріал для кришок коштує $$0.027$ за квадратний дюйм. Припустимо, що ми хочемо побудувати банку, яка має обсяг 16 кубічних дюймів. Які розміри мінімізують вартість банки?

1. Намалюйте малюнок банки і позначте її розміри відповідними змінними.
2. Використовуйте змінні для визначення виразів для обсягу, площі поверхні та вартості банки.
3. Визначте загальну функцію витрат як функцію однієї змінної. Що таке домен, на якому слід розглянути цю функцію?
4. Знайдіть абсолютну мінімальну вартість і розміри, які виробляють цю величину.

Знайомство із загальними геометричними формулами особливо корисно в таких проблемах, як у Діяльності 3.4.2. Іноді вони включають периметр, площа, обсяг або площа поверхні. В інший час обмеження задачі вводять прямокутні трикутники (де застосовується теорема Піфагора) або інші функції, формули яких забезпечують співвідношення між змінними.

Активність 3.4.3

Мандрівний, починаючи з точки$P$ на прямій дорозі, йде на схід до точки$Q\text{,}$, яка знаходиться на дорозі і 3 кілометрах від точки.$P\text{.}$

У двох кілометрах на північ від точки$Q$ знаходиться кабіна. Мандрівний буде йти по дорозі деякий час, в темпі 8 кілометрів на годину. У якийсь момент$Z$ між$P$ і$Q\text{,}$ мандрівний залишає дорогу і робить пряму лінію до кабіни через ліс, піші прогулянки зі швидкістю 3 км/год, як показано на малюнку 3.4.3. Для того щоб мінімізувати час на перехід від$P$$Z$ до салону, де мандрівний повинен перетворитися в ліс?

Малюнок 3.4.3. Мандрівний ходить від$P$$Z$ до салону, як на фото.

У більш геометричних задачах ми часто використовуємо криві або функції для забезпечення природних обмежень. Наприклад, ми могли б дослідити, який рівнобедрений трикутник, який обмежує одиничне коло, має найменшу площу, яку ви можете дослідити самостійно за адресою http://gvsu.edu/s/9b. Або аналогічно, для області, обмеженої параболою, ми можемо шукати прямокутник найбільшої площі, який підходить під кривою, як показано на http://gvsu.edu/s/9c. Наступна діяльність схожа з останньою проблемою.

Активність 3.4.4

Розглянемо область в$x$ -$y$ площині, яка обмежена$x$ -віссю і функцією$f(x) = 25-x^2\text{.}$ Побудувати прямокутник, основа якого лежить на$x$ -осі і зосереджена на початку, і чиї сторони простягаються вертикально, поки вони не перетинають криву$y = 25-x^2\text{.}$ Яка така прямокутник має максимально можливу площу? Який такий прямокутник має найбільший периметр? Який має найбільший об'єднаний периметр і площа? (Виклик: відповісти на ті ж питання з точки зору позитивних параметрів$a$ і$b$ для функції$f(x) = b-ax^2\text{.}$)

Активність 3.4.5

Корито будується шляхом згинання$4 \times 24$ (вимірюється в футах) прямокутний шматок листового металу.

Дві симетричні складки в 2 фути один від одного будуть зроблені паралельно найдовшій стороні прямокутника так, щоб жолоб мав поперечні перерізи у формі трапеції, як показано на малюнку 3.4.4. Під яким кутом слід робити складки, щоб вийшло жолоб максимального обсягу?

Малюнок 3.4.4. Поперечний переріз жолоба, утворене складанням під кутом$\theta\text{.}$

3.4.2 Резюме

• Хоча немає єдиного алгоритму, який би працював у кожній ситуації, коли використовується оптимізація, у більшості проблем, які ми розглядаємо, корисні наступні кроки: намалювати картину та ввести змінні; визначити кількість, яку потрібно оптимізувати, та знайти зв'язки між змінними; визначити функцію a єдина змінна, яка моделює кількість, яку потрібно оптимізувати; вирішити область, на якій слід враховувати оптимізовану функцію; використовувати обчислення для визначення абсолютного максимуму та/або мінімуму оптимізованої кількості.