Середня швидкість на [a, b] може розглядатися геометрично як нахил прямої між точками (a, s (a)) і (b, s (b)) на графіку y=s (t). Миттєва швидкість рухомого об'єкта у фіксований час оцінюється шляхом розгляду середніх швидкостей на більш коротких і коротких часових інтервалах, які містять цікавить момент.
Обмеження дозволяють нам досліджувати тенденції поведінки функцій поблизу певної точки. Зокрема, прийняття ліміту в заданій точці запитує, чи значення функції поблизу, як правило, наближаються до певного фіксованого значення.
Ідея, яка лежить в основі числення, - це миттєва швидкість зміни функції. Ця швидкість зміни завжди враховується щодо зміни вхідної змінної, часто при певному фіксованому вхідному значенні. Це узагальнення поняття миттєвої швидкості і по суті дозволяє розглянути питання «як ми вимірюємо, наскільки швидко змінюється та чи інша функція в заданій точці?»
Граничне визначення похідної дає значення для кожного x, при якому визначається похідна, і це призводить до нової функції, формула якої y = f' (x). Звідси ми говоримо як про задану функцію f, так і її похідну f'. Особливо важливо відзначити, що взяття похідної - це процес, який починається з заданої функції (f) і виробляє нову пов'язану функцію (f').
Незалежно від контексту заданої функціїy=f(x), похідна завжди вимірює миттєву швидкість зміни вихідної змінної щодо вхідної змінної. Одиниці на похідній функціїy=f′(x) є одиницямиf на одиницюx. Знову ж таки, це вимірює, наскільки швидкоf змінюється вихід функції при зміні входу функції.
Диференційована функція f збільшується в точці або на інтервалі кожного разу, коли її перша похідна є позитивною, і зменшується, коли її перша похідна є негативною. Беручи похідну від похідної функції f', ми доходимо до другої похідної, f». Друга похідна вимірює миттєву швидкість зміни першої похідної, і таким чином знак другої похідної говорить нам про те, збільшується чи зменшується нахил дотичної лінії до f.
Функція f має обмеження як x → a тоді і лише тоді, коли f має ліву межу при x = a, має праву межу при x = a, а ліві та праві межі рівні. Функція f є неперервною при x = a щоразу, коли визначено f (a), f має межу як x → a, а значення межі та значення функції узгоджуються. Це гарантує, що на графіку f при x = a немає дірки або стрибка. Функція f диференційовна при x = a, коли існує f' (a).
Принцип локальної лінійності говорить нам, що якщо ми збільшимо точку, де функція y = f (x) диференційовна, функція повинна стати невідрізною від її дотичної лінії. Тобто диференційована функція виглядає лінійною, якщо дивитися впритул.
