0.6: Зворотні функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60636

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Є одна остання річ, яку ми повинні переглянути, перш ніж потрапити в основний матеріал курсу, і це зворотні функції. Як ми бачили вище функції насправді просто правила для прийняття вхідних даних (майже завжди число), обробки його якось (зазвичай за формулою), а потім повернення виведення (знову ж таки, майже завжди число).

\ begin {збирати*}\ текст {вхідне число}\;\; x\ quad\ mapsto\ quad f\;\;\ текст {робить ``матеріал» до}\;\; x\ quad\ mapsto\ quad\ text {номер повернення}\;\; y\ end {gather*}

У багатьох ситуаціях це виявиться дуже корисним, якщо ми зможемо скасувати все, що зробила наша функція. тобто

\ begin {gather*}\ text {взяти вихід}\;\; y\ quad\ mapsto\ quad\ text {зробити ``матеріал» до}\;\; y\ quad\ mapsto\ quad\ text {повернути оригінал}\;\; x\ end {gather*}

Коли вона існує, функція «яка$f(x)$ скасовує» функцію знаходить шляхом розв'язання$y=f(x)$ for$x$ як функції$y$ і називається оберненою функцією.$f\text{.}$ Виявляється, що не завжди можна вирішити$y=f(x)$ for$x$ як функцію$y\text{.}$ Евен коли це можливо, це може бути дуже важко зробити ¹ Дійсно багато шифрування експлуатує той факт, що ви можете знайти функції, які дуже швидко зробити, але дуже важко скасувати. Наприклад — дуже швидко помножити два великих простих числа разом, але дуже важко взяти цей результат і повернути його назад у вихідні два простих числа. Зацікавлений читач повинен шукати функції ловушки. .

Наприклад — положення частинки,$s\text{,}$ на час$t$ задається формулою$s(t) = 7t$ (накреслена нижче). З огляду на калькулятор, і будь-яке конкретне число$t\text{,}$ ви можете швидко відпрацювати відповідні позиції$s\text{.}$ Однак, якщо вам задають питання «Коли частка досягає$s=4\text{?}$», то для відповіді на неї нам потрібно вміти «скасувати»$s(t)=4$ ізолювати$t\text{.}$ В цьому випадку, тому що $s(t)$завжди збільшується, ми завжди можемо скасувати,$s(t)$ щоб отримати унікальну відповідь:

\ begin {align*} s (t) &= 7t = 4 &\ текст {якщо і тільки тоді} && t&=\ frac {4} {7}. \ end {вирівнювати*}

Однак це питання не завжди так просто. Розглянемо ескіз$y=\sin(x)$ нижче; коли є$y=\frac{1}{2}\text{?}$ Тобто, для яких значень$x$$\sin(x)=\frac{1}{2}\text{?}$ Перефразувати його ще раз, при яких значеннях$x$ робить крива$y=\sin x$ (яка намальована в правій половині малюнка 0.6.1) перетинати горизонтальну пряму лінію$y=\frac{1}{2}$ (яка також накидали на цьому ж малюнку)?

Ми бачимо, що буде нескінченна кількість$x$ -значень, які дають$y=\sin(x)=\frac{1}{2}\text{;}$ немає унікальної відповіді.

Нагадаємо (з визначення 0.4.1), що для будь-якого заданого вхідного сигналу функція повинна давати унікальний висновок. Так що, якщо ми хочемо, щоб знайти функцію, яка скасовує,$s(t)\text{,}$ то речі хороші - тому що кожен$s$ -value відповідає унікальному$t$ -значення. З іншого боку, ситуація з$y=\sin x$ проблематичною - будь-яке задане$y$ значення відображається багатьма різними$x$ -значеннями. Тому, коли ми шукаємо унікальну відповідь на питання «Коли є$\sin x = \frac{1}{2}\text{?}$», ми не можемо відповісти на нього.

Ця умова «унікальності» можна зробити більш точним:

Визначення 0.6.2

Функція$f$ є один до одного (ін'єкційна), коли вона ніколи не приймає одне і те ж$y$ значення більше одного разу. Тобто

\ begin {збирати*}\ mbox {якщо} x_1\ neq x_2\ mbox {потім} f (x_1)\ neq f (x_2)\ end {збирати*}

Існує простий спосіб перевірити це, коли у вас є сюжет функції - тест горизонтальної лінії.

Визначення 0.6.3 Тест горизонтальної лінії

Функція є один до одного тоді і лише тоді, коли жодна горизонтальна лінія не$y=c$ перетинає графік$y=f(x)$ більше одного разу.

тобто кожна горизонтальна лінія перетинає графік або нуль, або один раз. Ніколи двічі і більше. Цей тест говорить нам, що$y=x^3$ це один до одного, але$y=x^2$ це не так. Однак зауважте, що якщо ми обмежимо область$y=x^2$ до,$x \geq 0$ то тест горизонтальної лінії буде пройдено. Це одна з причин, чому ми повинні бути обережними, щоб розглянути область функції.

Коли функція один до одного, то вона має зворотну функцію.

Визначення 0.6.4

$f$Дозволяти функція один-на-один з доменом$A$ і діапазоном$B\text{.}$ Тоді його зворотна функція позначається$f^{-1}$$B$ і має область і діапазон$A\text{.}$ Він визначається

\ begin {align*} f^ {-1} (y) &= x &\ text {всякий раз} && f (x) &= y\ end {align*}

для будь-якого$y \in B\text{.}$

Так що, якщо$f$ карти$x$$y\text{,}$ потім$f^{-1}$ карти$y$ назад до$x\text{.}$ Це$f^{-1}$ «скасовує»$f\text{.}$ Через це у нас є

\ begin {align*} f^ {-1} (f (x)) &= x &\ mbox {для будь-якого $ x\ in A$}\\ f (f^ {-1} (y)) &=y &\ mbox {для будь-якого $y\ in B$}\ end {align*}

Ми повинні бути обережними, щоб не сплутати$f^{-1}(x)$ з$\displaystyle \frac{1}{f(x)}\text{.}$ «$-1$» не є показником.

Приклад 0.6.5 Зворотний$x^5+3$

Нехай$f(x)=x^5+3$ на домен$\mathbb{R}\text{.}$ Щоб знайти його зворотний, робимо наступне:

Напишіть$y=f(x)\text{;}$, що є$y=x^5+3\text{.}$
Вирішити для$x$ з точки зору$y$ (це не завжди легко) —$x^5=y-3\text{,}$ так$x=(y-3)^{1/5}\text{.}$
Рішення є$f^{-1}(y) = (y-3)^{1/5}\text{.}$
Нагадаємо, що «$y$» in$f^{-1}(y)$ - це фіктивна змінна. Тобто$f^{-1}(y) = (y-3)^{1/5}$ означає, що якщо ви подаєте номер$y$ у функцію,$f^{-1}$ він виводить число$(y-3)^{1/5}\text{.}$ Ви можете викликати вхідну змінну все, що завгодно. Так що, якщо ви хочете, щоб викликати вхідну змінну «$x$$y$» замість «», то просто замінити кожен$y$$f^{-1}(y)$ з$x\text{.}$
Тобто$f^{-1}(x) = (x-3)^{1/5}\text{.}$

Приклад 0.6.6 Зворотний$\sqrt{x-1}$

Нехай$g(x) = \sqrt{x-1}$ на домені$x \geq 1\text{.}$ ми можемо знайти зворотне таким же чином:

\ begin {align*} y &=\ sqrt {x-1}\\ y^2 &= x-1\ x &= y^2+1 = f^ {-1} (y) &\ text {або, записуючи вхідну змінну як ``$x$»:}\\ f^ {-1} (x) &= x^2+1. \ end {вирівнювати*}

Давайте тепер перейдемо до пошуку зворотного$\sin(x)$ — це трохи складніше, і нам доведеться ретельно подумати про домени.

Приклад 0.6.7 Зворотний$\sin(x)$

Ми бачили (назад на рис. 0.6.1), що$\sin(x)$ приймає кожне значення$y$ між$-1$ і$+1$ для нескінченно багатьох різних значень$x$ (див. Лівий графік на малюнку нижче). Отже,$\sin(x)\text{,}$ з доменом$-\infty \lt x \lt \infty$ не має зворотної функції.

Але зверніть увагу, що як$x$ працює від$-\frac{\pi}{2}$$-1$ до$+\frac{\pi}{2}\text{,}$$\sin(x)$ збільшується від до$+1\text{.}$ (Див середній графік на малюнку вище.) Зокрема,$\sin(x)$ приймає кожне значення рівно$-1 \le y\le 1$ для одного$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}\text{.}$ Так що якщо ми обмежимо$\sin x$ мати домен,$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}\text{,}$ він має зворотну функцію, яка традиційно називається arcsine (див. Додаток A.9).

Тобто, за визначенням, для кожного$-1\le y\le 1\text{,}$$\arcsin(y)$ є унікальним$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}$ підкоряється$\sin(x)=y\text{.}$ еквівалентно, обмін фіктивними змінними x і y протягом останнього речення дає, що для кожного$-1\le x\le 1\text{,}$$\arcsin(x)$ є унікальним$-\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}$ підкоряючись$\sin(y)=x\text{.}$

Побудувати графік оберненої функції з графіка вихідної функції нескладно. Потрібно лише пам'ятати, що

\[ Y=f^{-1}(X) \iff f(Y)=X \nonumber \]

який$y=f(x)$$x$ перейменований$Y$ і$y$ перейменований на$X\text{.}$

Почніть з малювання графіка$f\text{,}$ маркування$y$ осей$x$ - і —та маркування кривої$y=f(x)\text{.}$

Тепер замініть$x$ кожне$y$ на$X$ і замініть отриману мітку$X=f(Y)$ на кривій на еквівалент$Y$$Y=f^{-1}(X)\text{.}$

Нарешті, нам просто потрібно перемалювати ескіз з$Y$ віссю, що йде вертикально (зі$Y$ збільшенням вгору) і$X$ віссю, що йде горизонтально (зі$X$ збільшенням вправо). Для цього зробіть вигляд, що ескіз знаходиться на прозорості або на дуже тонкому аркуші паперу, який ви можете бачити наскрізь. Підніміть ескіз вгору і переверніть його так, щоб$Y$ вісь проходила вертикально, а$X$ вісь проходила горизонтально. Якщо ви хочете, ви також можете перетворити верхній регістр$X$ у нижній регістр,$x$ а верхній -$Y$ у нижній регістр$y\text{.}$

Інший спосіб сказати «перевернути ескіз так, щоб обміняти$x$$y$ - і —осі» - це «відображати в рядку$y=x$». На малюнку нижче синій «горизонтальний» еліптичний диск, який відцентрований по центру,$(a,b)$ був відображений у лінії,$y=x$ щоб отримати червоний «вертикальний» еліптичний диск, зосереджений на$(b,a)\text{.}$

Приклад 0.6.8 Замальовування, обернене$y=x^2$

Як приклад, нехай$f(x) = x^2$ з доменом$0\le x \lt \infty\text{.}$

Коли$x=0\text{,}$$f(x)=0^2=0\text{.}$
Зі$x$ збільшенням$x^2$ стає все більше і більше.
Коли$x$ дуже великий і позитивний, також$x^2$ дуже великий і позитивний. (Наприклад, подумайте$x=100\text{.}$)

Графік$y=f(x)=x^2$ - це синя крива нижче. За визначенням,$Y=f^{-1}(X)$ якщо$X=f(Y)=Y^2\text{.}$ Це, якщо$Y=\sqrt{X}\text{.}$ (Пам'ятайте, що, щоб бути в області$f\text{,}$ ми повинні мати$Y\ge 0\text{.}$) Таким чином, обернена функція «квадрат» є «квадратний корінь». Графік$f^{-1}$ - це червона крива нижче. Червона крива - це відображення синьої кривої в лінії$y=x\text{.}$