0.4: Функції

Тепер, коли ми розглянули основні ідеї щодо наборів, ми можемо почати робити з ними більш цікаві речі — функції.

Коли нас знайомлять з функціями в математиці, це майже завжди як формули. Ми беремо число$x$ і робимо деякі речі з ним, щоб отримати новий номер$y\text{.}$ Наприклад,

\ почати {вирівнювати*} y = f (x) &= 3x-7\ end {вирівнювати*}

Тут ми беремо число,$x\text{,}$ множимо його на 3 і потім віднімаємо сім, щоб отримати результат.

Цей погляд на функції - функція є формулою - полягав у тому, як математики визначали їх аж до 19 століття. Оскільки основні ідеї наборів стали краще визначатися, люди переглядали ідеї оточуючих функцій. Більш сучасне визначення функції між двома множинами полягає в тому, що це правило, яке присвоює кожному елементу першого множини унікальний елемент другої множини.

Розглянемо набір днів тижня, і набір, що містить алфавіт

\ begin {align*} A &=\ left\ {\ text {неділя, понеділок},\ text {вівторок, середа},\ текст {четвер, п'ятниця},\ текст {неділя}\ праворуч\}\ B &=\ left\ {\ text {a, b, c, d, e},\ text {x, y, z}\ справа\}\ кінець вирівнювати*}

Ми можемо визначити функцію,$f$ яка займає день (тобто елемент$A$) і перетворює її в першу букву того дня (тобто елемент$B$). Це дійсна функція, хоча немає формули. Ми можемо намалювати картину функції як

Зрозуміло, що такі знімки будуть працювати для невеликих наборів, але будуть дуже безладними для великих. Коли ми повернемося до розмови про функції на дійсних числах, то перейдемо до використання графіків функцій на декартовій площині.

Цей приклад досить простий, але це служить для ілюстрації деяких важливих моментів. Якщо наша функція дає нам правило приймати елементи$A$ і перетворювати їх на елементи з того$B$ часу

• функція повинна бути визначена для всіх елементів$A$ — тобто незалежно від того, який елемент$A$ ми виберемо, функція повинна мати можливість дати нам відповідь. Кожна функція повинна мати цю властивість.
• з іншого боку, ми не повинні «вдарити» кожен елемент з$B\text{.}$ У наведеному вище прикладі, ми пропускаємо майже всі літери в функції, яка досягає кожного елемента$B$,$B\text{.}$ як кажуть, «surctive» або «onto».
• даний елемент$B$ може бути досягнутий більш ніж одним елементом$A\text{.}$ У наведеному вище прикладі дні «вівторок» і «четвер» обидва карти до листа$T$ і$S$ аналогічно літери відображаються як «неділя», так і «субота». Функція, яка цього не робить, тобто кожен елемент у$A$ картах на інший елемент$B$ називається «ін'єкційним» або «один до одного» - знову ми повернемося до цього пізніше, коли ми обговоримо зворотну функцію в розділі 0.6.

Підсумовуючи це більш формально, ми маємо

Визначення 0.4.1

$A, B$Дозволяти бути непорожніми множинами. Функція$f$ від$A$ до$B\text{,}$ - це правило або формула, яка приймає елементи$A$ як входи і повертає елементи$B$ як виходи. Ми пишемо це як

\ begin {збирати*} f: A\ to B\ end {збирати*}

і якщо$f$ приймає$a \in A$ як вхід і повертає,$b\in B$ то ми пишемо це як$f(a) = b\text{.}$ Кожна функція повинна задовольняти наступні дві умови

• Функція повинна бути визначена на кожному можливому вході з множини.$A\text{.}$ Тобто, незалежно від того, який елемент$a \in A$ ми виберемо, функція повинна повертати елемент$b \in B$ так, щоб$f(a)=b\text{.}$
• Функції дозволено повертати лише один результат для кожного входу ¹. Так що, якщо ми виявимо, що$f(a)=b_1$ а$f(a)=b_2$ потім єдиний спосіб, який$f$ може бути функція, якщо точно$b_1$ так само, як$b_2\text{.}$

Ми повинні включити вхідні та вихідні$A$ набори і$B$ в визначення функції. Це одна з причин того, що ми не повинні думати про функції як просто формули. Вхідні та вихідні набори мають власні математичні назви, які ми наведемо нижче:

Визначення 0.4.2

$f:A \to B$Дозволяти бути функцією. Тоді

• набір$A$ входів до нашої функції є «доменом»$f\text{,}$
• множина$B$, яка містить всі результати, називається codomain,
• Ми читаємо «$f(a) = b$» як «$f$з$a$ є$b$», але іноді ми можемо сказати «$f$карти$a$ до$b$» або «$b$це зображення$a$».
• Кодомен повинен містити всі можливі результати функції, але він також може містити кілька інших елементів. Підмножина$B$, що саме виходи$A$ називається «діапазоном»$f\text{.}$ Ми визначаємо його більш формально шляхом

  \ begin {align*}\ текст {діапазон} f &=\ ліворуч\ {b\ in B\; |\;\ текст {є деякий} a\ в A\ text {так, що} f (a) = b\ вправо\}\ &=\ left\ {f (a)\ в B\; |\; a\ в A\ праворуч\}\ end {align*}

  Єдині елементи, дозволені в цьому наборі, - це ті елементи$B$, які є зображеннями елементів у$A\text{.}$

Приклад 0.4.3 доменів і діапазонів

Повернемося до прикладу функції «дні тижня», над яким ми працювали вище, ми можемо визначити домен, кодомен та діапазон:

• Домен,$A\text{,}$ це набір днів тижня.
• Кодомен$B\text{,}$ - це 26 букв алфавіту.
• Діапазон є безліччю$\left \{ F,M,T,S,W\right \}$ — жодні інші елементи не$B$ є зображеннями входів з$A\text{.}$

Приклад 0.4.4 більше доменів і діапазонів

Більш числовий приклад — нехай$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ буде визначено за формулою$g(x) = x^2\text{.}$ Тоді

• домен і кодомен є сукупністю всіх дійсних чисел, але
• діапазон - це набір$[0, \infty)\text{.}$

Тепер — нехай$h:[0,\infty) \to [0,\infty)$ буде визначено за формулою$h(x) = \sqrt{x}\text{.}$ Тоді

• домен і codomain є як множиною$[0,\infty)\text{,}$, що є невід'ємними дійсними числами, і
• в даному випадку діапазон дорівнює кодомену, а саме$[0, \infty)\text{.}$

Приклад 0.4.5 кускової функції

Ще один числовий приклад.

\ begin {align*} V: [-1,1]\ to\ mathbb {R} &&\ текст {визначається} V (t) &=\ почати {випадки} 0 &\ текст {якщо} -1\ leq t\ lt 0\\ 120 &\ текст {якщо} 0\ leq t\ leq 1\ end {випадки}\ end {align*}

Це приклад «кускової» функції — тобто тієї, яка не визначається єдиною формулою, а натомість визначена поштучно. Ця функція має область$[-1,1]$ і її діапазон є$\left \{ 0,120\right \}\text{.}$ Ми могли б інтерпретувати цю функцію як вимірювання напруги на комутаторі, який перевертається в той час.$t=0\text{.}$

Майже всі функції, на які ми дивимося звідси, будуть формулами. Однак важливо зазначити, що ми повинні включати домен і codomain, коли ми описуємо функцію. Якщо домен і кодомен не вказані явно, ми повинні припустити, що обидва$\mathbb{R}\text{.}$