0.5: Розбір формул

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60641

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо формулу

\ begin {вирівнювати*} f (x) &=\ розриву {1+x} {1+2x-x^2}\ end {вирівнювати*}

Це приклад простої раціональної функції — тобто відношення двох многочленів. Коли ми починаємо вивчати ці функції пізніше в тексті, важливо, щоб ми змогли зрозуміти, як оцінювати такі функції при різних значеннях\(x\text{.}\) Наприклад

\ begin {вирівнювати*} f (5) &=\ гідророзриву {1+5} {1+10-25} =\ розрив {6} {-14} = -\ гідророзриву {3} {7}\ end {align*}

Однак важливіше те, що ми розуміємо, як ми розкладаємо цю функцію на простіші шматки. Оскільки більша частина вашого курсу обчислення буде включати створення та вивчення складних функцій шляхом їх побудови з простих частин, важливо, що ви дійсно розумієте цей момент.

Тепер, щоб потрапити туди, ми проведемо невелику екскурсію в те, що називаються парс-деревами. Ви вже неявно використовуєте їх, коли ви оцінюєте функцію за певним значенням,\(x\text{,}\) але наша мета тут полягає в тому, щоб формалізувати цей процес трохи більше.

Ми можемо висловити кроки, які використовуються для оцінки наведеної вище формули як деревоподібну діаграму ¹. Ми можемо розкласти цю формулу як наступну деревоподібну діаграму

**Малюнок 0.5.1.** Дерево синтаксичного аналізу функції\(\frac{1+x}{1+2x-x^2}\text{.}\)

Давайте пояснимо шматки тут.

Картинка складається з коробок і стрілок, які називаються «вузли» і «ребра» відповідно.
Існує два типи ящиків, які містять числа та змінну\(x\text{,}\) та ті, що містять арифметичні операції «\(+\)», «\(-\)», «\(\times\)» та «\(/\)».
Якщо ми хочемо представити формулу,\(3+5\text{,}\) то ми можемо намалювати це як наступну вишневу конфігурацію

який говорить нам взяти цифри «\(3\)» і «\(5\)» і скласти їх разом, щоб отримати\(8\text{.}\)

оцінює до

Нанизуючи такі маленькі «вишеньки» разом можна описати більш складні формули. Наприклад, якщо ми обчислюємо «\((3+5)\times 2\)», ми спочатку обчислюємо «\((3+5)\)», а потім множимо результат на 2. Відповідними діаграмами є

оцінює, щоб оцінювати

Дерево, яке ми намалювали на малюнку 0.5.1 вище, що представляє нашу формулу має\(x\) в деяких коробках, і тому, коли ми хочемо обчислити функцію при певному значенні\(x\) - скажімо в\(x=5\) - тоді ми замінюємо ці «\(x\)» s в дереві на це значення, а потім обчислити резервне копіювання дерева. Дивіться приклад нижче

Старт\(\mapsto\)

\(\mapsto\)\(\mapsto\)

\(\mapsto\)і ми закінчили.

Це не єдине дерево синтаксичного аналізу, пов'язане з формулою, бо\(f(x)\text{;}\) ми також могли б розкласти його як

Ми можемо це зробити, тому що, коли ми обчислюємо знаменник,\(1+2x-x^2\text{,}\) ми можемо обчислити його як

\ begin {align*} 1+2x-x^2 &=\ текст {або} (1+2x) -x^2\ текст {або} = 1 + (2x-x^2). \ end {вирівнювати*}

Обидва ² є правильними, оскільки додавання є «асоціативним». А саме

\ почати {вирівнювати*} a+b+c &= (a+b) +c = a+ (b+c). \ end {вирівнювати*}

Множення також асоціативно:

\ begin {align*} a\ times b\ times c &= (a\ times b)\ times c = a\ times (b\ times c). \ end {вирівнювати*}

Приклад 0.5.2 розбору формули

Розглянемо формулу

\ begin {align*} g (t) &=\ лівий (\ frac {t+\ pi} {t-\ pi}\ праворуч)\ cdot\ sin\ ліворуч (\ frac {t+\ pi} {2}\ праворуч). \ end {вирівнювати*}

Це вводить нову ідею - ми повинні оцінити,\(\frac{t+\pi}{2}\) а потім обчислити синус цього числа. Відповідне дерево може бути записано як

Якщо ми хочемо оцінити це в\(t = \pi/2\) то ми отримуємо наступне...

Старт\(\mapsto\)

\(\mapsto\)\(\mapsto\)

\(\mapsto\)і ми закінчили.

Малоймовірно, що вам коли-небудь доведеться явно побудувати таке дерево для будь-якої проблеми в решті тексту. Основний сенс введення цих об'єктів і роботи над кількома прикладами полягає в тому, щоб зрозуміти, що всі функції, які ми розглянемо, побудовані з більш простих частин. Зокрема, ми побудували всі наведені вище приклади з простих «будівельних блоків».

константи - фіксовані числа, як\(1, \pi\) і так далі
змінні — зазвичай\(x\) або\(t\text{,}\), але іноді й інші символи
стандартні функції — як тригонометричні функції (синус, косинус і тангенс), експоненціальні та логарифми.

Ці прості будівельні блоки комбінуються за допомогою арифметики

додавання і віднімання —\(a + b\) і\(a-b\)
множення і ділення —\(a \cdot b\) і\(\frac{a}{b}\)
піднесення до влади —\(a^n\)
композиція — задано дві функції,\(f(x)\) і\(g(x)\) ми формуємо нову функцію,\(f(g(x))\) оцінюючи,\(y=g(x)\) а потім оцінюємо\(f(y) = f(g(x))\text{.}\)

Протягом решти курсу, коли ми дізнаємося, як обчислювати межі та похідні, наші обчислення вимагають від нас розуміння того, як ми будуємо функції, як ми щойно описали.

Тобто, щоб обчислити похідну ³ функції, ми повинні побачити, як побудувати функцію з цих будівельних блоків (тобто константи, змінні та стандартні функції) за допомогою арифметичних операцій. Потім ми побудуємо похідну, дотримуючись цих самих кроків. Будуть прості правила пошуку похідних від більш простих частин, а потім правила їх складання відповідно до арифметики, яка використовується для побудови функції.