0.1: Цифри

Перш ніж робити що-небудь інше, дуже важливо, щоб ми домовилися про визначення та назви деяких важливих колекцій чисел.

• Натуральні числа - Це «цілі числа» 1,2,3,... які ми дізнаємося спочатку приблизно в той же час, коли ми вивчаємо алфавіт. Ми позначимо цю сукупність чисел символом «$\mathbb{N}$». Символ$\mathbb{N}$ написаний шрифтом жирним шрифтом, який ми називаємо «чорна дошка жирним шрифтом» (і, безумовно, не той самий символ, що і$N$). Ви повинні звикнути писати кілька букв таким чином, оскільки він зазвичай використовується для позначення збірок важливих чисел. На жаль, часто виникає певна плутанина щодо того, чи слід включати нуль ¹. У цьому тексті натуральні числа не включають нуль.

  Зверніть увагу, що множина натуральних чисел закривається при додаванні і множенні. Це означає, що якщо взяти будь-які два натуральних числа і додати їх, ви отримаєте ще одне натуральне число. Аналогічно, якщо взяти будь-які два натуральних числа і помножити їх, ви отримаєте ще одне натуральне число. Однак множина не замкнута при відніманні або діленні; нам потрібні від'ємні числа та дроби, щоб зробити колекції чисел, закритими під час віднімання та ділення.

  Дві важливі підмножини натуральних чисел:

  • Прості числа — натуральне число є простим, коли єдиними натуральними числами, які поділяють його точно, є 1 і саме. Аналогічно, його не можна записати як добуток двох натуральних чисел, жоден з яких не є 1. Зверніть увагу, що 1 не є простим числом ².
  • Складені числа — натуральне число є складене число, коли воно не є простим.

  Звідси число$7$ є простим, але$6 = 3\times 2$ є складовим.

• Цілі числа — всі позитивні та від'ємні числа разом з числом нуль. Позначимо колекцію всіх цілих чисел символом «$\mathbb{Z}$». Знову ж таки, зауважте, що це не той самий символ, що і «$Z$», і ми повинні написати його тим же чорним шрифтом жирним шрифтом. $\mathbb{Z}$Розшифровується як німецький Zahlen, що означає числа ³. Зверніть увагу, що$\mathbb{Z}$ закривається під додавання, віднімання і множення, але не ділення.

  Дві важливі підмножини цілих чисел:

  • Парні числа — ціле число парне, якщо воно точно ділиться на$2\text{,}$ або еквівалентно, якщо його можна записати як добуток 2 та інше ціле число. Це означає, що$-14, 6$$0$ і всі рівні.
  • Непарні числа — ціле число непарне, коли воно не парне. Аналогічно це може бути записано як$2k+1$ де інше$k$ ціле число. Таким чином$11 = 2\times 5+1$ і$-7 = 2\times(-4)+1$ обидва непарні.
• Раціональні числа — це всі числа, які можна записати у вигляді співвідношення двох цілих чисел. Тобто будь-яке раціональне число$r$ можна записати як$p/q$ де$p,q$ цілі числа. Ми позначимо цю колекцію,$\mathbb{Q}$ стоячи за quoziente, що є італійським для частки або співвідношення. Тепер у нас нарешті є набір чисел, який закривається під додавання, віднімання, множення та ділення (звичайно, вам все одно потрібно бути обережним, щоб не ділити на нуль).
• Реальні числа - як правило, ми думаємо про ці числа як числа, які можуть бути записані як десяткові розширення, і ми позначаємо$\mathbb{R}\text{.}$ це за межами цього тексту, щоб вникнути в подробиці про те, як дати точне визначення дійсних чисел, і поняття, що дійсне число може бути записано як десяткове розширення буде достатнім.

  Математикам знадобилося досить багато часу, щоб зрозуміти, що існують числа, які не можна записати як співвідношення цілих чисел ⁴. Перші числа, які були показані не раціональними, є квадратними коренями простих чисел, як і$\sqrt{2}\text{.}$ Інші добре відомі приклади,$\pi$ і$e\text{.}$ Зазвичай той факт, що деякі числа не можуть бути представлені у вигляді співвідношення цілих чисел, є нешкідливим, оскільки ці числа можуть бути наближені раціональним числа з будь-якою потрібною точністю.

  Причиною того, що ми можемо наблизити дійсні числа таким чином, є дивовижний факт, що між будь-якими двома дійсними числами завжди можна знайти раціональне число. Так що якщо нас цікавить конкретне дійсне число, ми завжди можемо знайти раціональне число, яке є надзвичайно близьким. Математики посилаються на цю властивість, кажучи,$\mathbb{Q}$ що щільно в$\mathbb{R}\text{.}$

Отже, підсумовуємо

Визначення 0.1.1. Набори чисел.

Це насправді не визначення, але ви повинні знати ці символи

• $\mathbb{N} =$натуральні числа,
• $\mathbb{Z} =$цілих чисел,
• $\mathbb{Q} =$обґрунтування, і
• $\mathbb{R} =$реалів.

Детальніше про реальні числа

У попередніх параграфах ми говорили про десяткові розширення дійсних чисел, і є лише ще один момент, який ми хочемо торкнутися. Десяткові розширення раціональних чисел завжди періодичні, тобто розширення з часом починає повторюватися. Наприклад

\ begin {вирівнювати*}\ гідророзриву {2} {15} &= 0.133333333\ точки\\ розриву {5} {17} &= 0. \ підкреслення {2941176470588235} 2941176470588235\ підкреслення {2941176470588235} 294117647058823\ точки\ кінець {вирівнювати*}

де ми підкреслили деякі з останніх прикладів, щоб зробити період більш зрозумілим. З іншого боку, ірраціональні числа, такі як$\sqrt{2}$ і$\pi\text{,}$ мають розширення, які ніколи не повторюються.

Якщо ми хочемо думати про дійсні числа як їх десяткових розширень, то нам потрібні ці розширення, щоб бути унікальними. Тобто, ми не хочемо мати можливість записати два різних розширення, кожне з яких дає одне і те ж реальне число. На жаль, існує нескінченний набір чисел, які не мають унікальних розширень. Розглянемо цифру 1. Зазвичай ми просто пишемо «1», але як десяткове розширення

\ begin {збирати*} 1.00000000000\ точки\ кінець {збирати*}

тобто одиночний 1, за яким слідує нескінченний рядок 0. Тепер розглянемо наступне число

\ begin {збирати*} 0.99999999999\ точки\ кінець {збирати*}

Це друге десяткове розширення насправді являє собою одне і те ж число - число$1\text{.}$ Доведемо це. Спочатку зателефонуйте дійсне число, яке це представляє,$q\text{,}$ потім

\ begin {вирівнювати*} q &=0.99999999999\ точки\ кінець {вирівнювати*}

Давайте використаємо невелику хитрість, щоб позбутися від довгого рядка trailing 9's.$10q\text{:}$

\ begin {вирівнювати*} q &=0.99999999999\ точки\ 10q &=9.99999999999\ точки\ кінець {вирівнювати*}

Якщо ми тепер віднімаємо одне від іншого, ми отримаємо

\ begin {вирівнювати*} 9q &= 9.00000000000\ точки\ кінець {вирівнювати*}

і тому ми залишилися з$q=1.0000000\dots\text{.}$ Таким чином обидва розширення представляють одне і те ж дійсне число.

На щастя, такого роду речі трапляються лише з раціональними числами певної форми - тими, знаменниками яких є продукти 2s та 5s. Наприклад

\ почати {вирівнювати*}\ розрив {3} {25} &= 1.200000\ точок = 1.19999999\ точки\ -\ розриву {7} {32} &= -0.2187500000\ точки = -0.2187499999\ точки\\\ розриву {9} {20} &= 0.450000000\ точок = 0.4499999\ точки\ кінець {align*}

Ми можемо формалізувати цей результат у наступній теоремі (яку ми взагалі не довели, але це виходить за рамки тексту):

Теорема 0.1.2.

$x$Дозволяти бути дійсним числом. Потім$x$ повинні потрапити в одну з наступних двох категорій,

• $x$має унікальне десяткове розширення, або
• $x$є раціональним числом виду,$\frac{a}{2^k 5^\ell}$ де$a\in \mathbb{Z}$ і$k,l$ є невід'ємними цілими числами.

У другому випадку$x$ має рівно два розширення, одне, яке закінчується нескінченним рядком 9, а інше закінчується нескінченним рядком 0.

Коли у нас є вибір з двох розширень, зазвичай, щоб уникнути того, що закінчується в нескінченному рядку 9 і записувати інший замість (опускаючи нескінченний кінцевий рядок 0).