0.2: Набори

Усі ви зробили деякі основні біти теорії наборів у школі. Множини, перетин, спілки, діаграми Венна тощо Теорія множин тепер з'являється настільки ретельно по всій математиці, що важко уявити, як математика могла існувати без неї. Це дійсно досить дивно, що теорія множин є набагато новішою частиною математики, ніж обчислення. Математично сувора теорія множин дійсно була розроблена лише в 19 столітті - насамперед Георгом Кантором ¹. Математики використовували множини до цього часу (звичайно), однак вони робили це, не визначаючи речі занадто строго і формально.

У математиці (і в інших місцях, включаючи «реальне життя») ми звикли мати справу з колекціями речей. Наприклад

• сім'я - це сукупність родичів.
• хокейна команда - це колекція хокеїстів.
• список покупок - це колекція предметів, які нам потрібно придбати.

Як правило, коли ми даємо математичні визначення, ми намагаємось зробити їх дуже офіційними та суворими, щоб вони були максимально чіткими. Нам потрібно зробити це, щоб, натрапивши на математичний об'єкт, ми могли з повною впевненістю вирішити, задовольняє він визначенню чи ні.

На жаль, це так, що надання абсолютно суворого визначення «набір» зайняло б набагато більше нашого часу, ніж ми дійсно хотіли б ².

Визначення 0.2.1. Не дуже формальне визначення множини.

«Набір» - це сукупність різних об'єктів. Об'єкти називаються «елементами» або «членами» множини.

Тепер — лише хвилинка, щоб описати деякі умовності. У математиці їх багато. Це не тверді математичні правила, а просто традиції. Це значно полегшує людям, які читають вашу роботу, зрозуміти, що ви намагаєтеся сказати.

• Використовуйте великі літери для позначення множин$A,B, C, X, Y$ і т.д.
• Використовуйте малі літери для позначення елементів множин$a,b,c,x,y\text{.}$

Отже, коли ви пишете домашнє завдання або просто описуєте, що ви робите, то якщо ви дотримуєтесь цих умовностей, люди, які читають вашу роботу (включаючи особу, яка відзначає ваші іспити), будуть знати - «О,$A$ це той набір, про який вони говорять» і «$a$є елементом цього набору». З іншого боку, якщо ви використовуєте будь-яку стару букву або символ, це правильно, але заплутано для читача. Подумайте, що це трохи схоже на орфографію - якщо ви не пишете слова правильно, люди зазвичай все ще можуть зрозуміти, що ви маєте на увазі, але набагато простіше, якщо ви пишете слова так само, як і всі інші.

Ми зіткнемося з більшою кількістю цих конвенцій, як ми йдемо - ще один хороший

• Букви$i,j,k,l,m,n$ зазвичай позначають цілі числа (like$1,2,3,-5,18,\dots>$).
• Букви$x,y,z,w$ зазвичай позначають дійсні числа (як$1.4323, \pi, \sqrt{2}, 6.0221415\times 10^{23}, \dots$ і так далі).

Отже, тепер, коли ми визначили набори, що ми можемо зробити з ними? Є єдине, що ми можемо попросити про набір

«Чи є цей предмет у множині?»

і набір відповість

«так» або «ні»

Наприклад, якщо$A$ є набір парних чисел, ми можемо запитати «Є 4 в$A\text{?}$» Ми отримуємо відповідь «так». Ми пишемо це як

\ begin {збирати*} 4\ in A\ end {збирати*}

Хоча якщо ми запитаємо «Є$3$ в$A\text{?}$», ми отримуємо відповідь «ні». Математично ми б написали це як

\ begin {збирати*} 3\ notIn A\ end {збирати*}

Таким чином, цей символ «$\in$» є математичним скороченням для «є елементом», тоді як той самий символ з обведенням через нього «$\notin$» є скороченням «не є елементом».

Зверніть увагу, що обидва ці твердження, хоча вони записані як короткі рядки з трьох символів, дійсно повні речення. Тобто, коли ми їх читаємо, ми маємо

\ begin {align*}\ text {``$4\ in A$ "} &&&\ text {читається як} &&\ text {``Чотири є елементом $A$."}\\ text {`3\ notin A$ "} &&\ text {`Three не є елементом $A$."} \ end {вирівнювати*}

Математичні символи, такі як «$+$», «$=$» та «$\in$», - це скорочення ³, а математичні твердження типу «$4+3=7$» - повні речення.

Це важливий момент — математичне письмо так само, як і будь-який інший вид письма. Це дуже легко покласти купу символів або слів вниз на сторінці, але якщо ми хотіли б, щоб це було легко читати і розуміти, то нам доведеться працювати трохи важче. Коли ви пишете математику, ви повинні мати на увазі, що хтось інший повинен вміти її читати і розуміти.

Легке читання - це чертовски жорстке письмо.

- Натаніель Хоторн, але, можливо, також кілька інших, як Річард Шерідан.

Ми натрапимо на досить багато різних наборів, займаючись математикою. З визначення повинно бути повністю зрозуміло, як відповісти на питання «Чи є цей об'єкт в безлічі чи ні?»

• «$A$Дозволяти бути набір парних цілих чисел між 1 і 13.» - приємно і ясно.
• «Нехай$B$ буде набір високих людей в цьому класі». — незрозуміло.

Більш загально, якщо є лише невелика кількість елементів у наборі, ми просто перерахуємо їх усі.

• «Нехай$C = \{1,2,3\}\text{.}$»

Коли ми виписуємо список, ми ставимо елементи всередину дужок «$\{ \cdot \}$». Зверніть увагу, що порядок, в якому ми пишемо речі, не має значення

\ почати {вирівнювати*} C & =\ {1,2,3\} =\ {2,1,3\} =\ {3,2,1\}\ end {align*}

тому що єдине, що ми можемо запитати, це «Чи є цей об'єкт елементом$C\text{?}$» Ми не можемо задавати більш складні питання на кшталт «Що таке третій елемент$C\text{?}$» - нам потрібні більш складні математичні об'єкти, щоб задавати такі питання ⁴. Аналогічно, не має значення, скільки разів ми записуємо один і той же об'єкт у списку.

\ begin {вирівнювати*} C &=\ {1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,1,2,1,3\} =\ {1,2,3\}\ end {align*}

тому що все, що ми просимо, це «Є$1 \in C\text{?}$». Чи не «скільки разів 1 в$C\text{?}$».

Тепер — якщо набір трохи більше, то ми могли б написати щось на зразок цього

• $C = \{1,2,3,\dots,40\}$множина всіх цілих чисел від 1 до 40 (включно).
• $A = \{1,4,9,16,\dots\}$набір всіх ідеальних квадратів ⁵

Значення «$\dots$» знову скорочено для відсутніх записів. Ви повинні бути обережними з цим, оскільки ви можете легко заплутати читача.

• $B = \{3,5,7,\dots\}$— це все непарні прості числа, або всі непарні числа більше 1 або?? Те, що написано, недостатньо для того, щоб ми мали тверде уявлення про те, що письменник мав намір.

Використовуйте це лише там, де це повністю зрозуміло за контекстом. Кілька зайвих слів можуть позбавити читача (і себе) багато плутанини.

Завжди думайте про читача.