1.11: Наукові позначення

повноваження десяти

Десяткові позначення засновані на$0.1$ повноваженнях$10$:$0.01$ is$\dfrac{1}{10^1}$$\dfrac{1}{10^2}$,$0.001$ is$\dfrac{1}{10^3}$, is і так далі.

Ми представляємо ці повноваження з негативними показниками:$\dfrac{1}{10^1}=10^{-1}$$\dfrac{1}{10^2}=10^{-2}$,$\dfrac{1}{10^3}=10^{-3}$, і т.д.

Негативні показники:$\dfrac{1}{10^n}=10^{-n}$

Примітка: Це вірно для будь-якої бази, не тільки$10$, але ми зупинимося тільки на$10$ цьому курсі.

За допомогою нашої базової системи$10$ числення будь-яка сила$10$ може бути записана як a$1$ в певному десятковому розряді.

$10^{4}$	$10^{3}$	$10^{2}$	$10^{1}$	$10^{0}$	$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-3}$	$10^{-4}$
$10,000$	$1,000$	$100$	$10$	$1$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$

Якщо ви ще не дивилися відео «Сили десяти» з 1977 року на YouTube, займіть десять хвилин прямо зараз і перевірте його. Ваш розум більше ніколи не буде колишнім.

Наукові позначення

Розглянемо, як ми могли б переписати деякі різні числа, використовуючи ці повноваження$10$.

Візьмемо$50,000$ як приклад. $50,000$дорівнює$5\times10,000$ або$5\times10^4$. ^[1]

Дивлячись в іншу сторону, десяткове число, наприклад,$0.0007$ дорівнює$7\times0.0001$ або$7\times10^{-4}$.

Ідея наукового позначення полягає в тому, що ми можемо представляти дуже великі або дуже малі числа в більш компактному форматі: число між$1$ і$10$, помножене на потужність$10$.

Число записується в науковому позначенні, якщо воно записано у вигляді$a\times10^n$, де$n$ є цілим числом і$a$ є будь-яким дійсним числом таким, що$1\leq{a}<10$.

Примітка: Ціле число без дробу або десяткової частини:...$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$...

Вправа$\PageIndex{1}$

1. Маса Землі становить приблизно$5,970,000,000,000,000,000,000,000$ кілограми. Маса Марса становить приблизно$639,000,000,000,000,000,000,000$ кілограми. Чи можете ви визначити, яка маса більше?

Відповідь

Зрозуміло, що важко відстежувати всі ці нулі. Давайте перепишемо ці величезні числа, використовуючи наукові позначення.

Маса Землі більша, тому що це$25$ цифрове число, а маса Марса$24$ - цифрове число, але може знадобитися багато роботи з підрахунком нулів, щоб бути впевненим.

Вправа$\PageIndex{2}$

2. Маса Землі становить приблизно$5.97\times10^{24}$ кілограми. Маса Марса становить приблизно$6.39\times10^{23}$ кілограми. Чи можете ви визначити, яка маса більше?

Відповідь

Маса Землі приблизно в десять разів більше, тому що потужність$1$ вище, ніж у Марса.$10$

Набагато простіше порівняти сили$10$ і визначити, що маса Землі більше, оскільки вона має більшу потужність$10$. Можливо, ви знайомі з терміном порядку; це просто стосується різниці в силах двох чисел.$10$ Маса Землі на порядок більше, тому$24$ що$1$ більше, ніж$23$.

Ми також можемо застосувати наукові позначення до дрібних десяткових знаків.

Вправа$\PageIndex{3}$

3. Радіус атома водню становить приблизно$0.000000000053$ метри. Радіус атома хлору становить приблизно$0.00000000018$ метри. Чи можете ви визначити, який радіус більше?

Відповідь

Радіус атома хлору більший, оскільки він має$9$ нулі перед початком значущих цифр, але радіус атома водню має$10$ нулі перед початком значущих цифр. Як і вище, підрахунок нулів - це біль в шиї.

Знову ж таки, відстеження всіх цих нулів - це робота. Давайте перепишемо ці десяткові числа, використовуючи наукові позначення.

Вправа$\PageIndex{4}$

4. Радіус атома водню становить приблизно$5.3\times10^{-11}$ метри. Радіус атома хлору становить приблизно$1.8\times10^{-10}$ метри. Чи можете ви визначити, який радіус більше?

Відповідь

Атом хлору має більший радіус, оскільки його потужність$10$$1$ вища, ніж у атома водню. (Пам'ятайте,$-10$ що більше, ніж$-11$ тому$-10$, що знаходиться далі праворуч на числовому рядку.)

Радіус атома хлору більше, оскільки він має більшу потужність$10$; цифри$1$ і$8$ для хлору починаються з десятого знака після коми, але цифри$5$ і$3$ для водню починаються з одинадцятого знака після коми.

Наукові позначення дуже корисні для дійсно великих чисел, таких як маса планети, або дійсно малих чисел, як радіус атома. Це дозволяє нам робити обчислення або порівнювати числа, не перехрещуючи очі підраховуючи всі ці нулі.

Вправи$\PageIndex{5}$

Запишіть кожне з наступних чисел в науковому позначенні.

5. $1,234$

6. $10,200,000$

7. $0.00087$

8. $0.0732$

Перетворіть наступні числа з наукового позначення в стандартні десяткові.

9. $3.5\times10^4$

10. $9.012\times10^7$

11. $8.25\times10^{-3}$

12. $1.4\times10^{-5}$

Відповідь

5. $1.234 \times 10^3$

6. $1.02 \times 10^7$

7. $8.7 \times 10^{-4}$

8. $7.32 \times 10^{-2}$

9. $35,000$

10. $90,120,000$

11. $0.00825$

12. $0.000014$

Можливо, вам знайомий ярлик для множення чисел з нулями на кінці; наприклад, щоб помножити$300\times4,000$, ми можемо помножити значущі цифри$3\times4=12$ і підрахувати загальну кількість нулів, яка дорівнює п'яти, і записати п'ять нулів на зворотному кінці$12$:$1,200,000$. Цей ярлик може бути застосований до чисел у наукових позначеннях.

Щоб помножити степені$10$, додайте показники:$10^m\cdot10^n=10^{m+n}$

Вправи$\PageIndex{6}$

Помножте кожне з наступних і запишіть відповідь в науковому позначенні.

13. $(2\times10^3)(4\times10^4)$

14. $(5\times10^4)(7\times10^8)$

15. $(3\times10^{-2})(2\times10^{-3})$

16. $(8\times10^{-5})(6\times10^9)$

Відповідь

13. $8 \times 10^7$

14. $3.5 \times 10^{13}$

15. $6 \times 10^{-5}$

16. $4.8 \times 10^5$

Коли цифри стають брудними, це, мабуть, гарна ідея використовувати калькулятор. Якщо ви ділите числа в наукових позначеннях за допомогою калькулятора, вам може знадобитися обережно використовувати дужки.

Вправи$\PageIndex{7}$

Маса протона -$1.67\times10^{-27}$ кг. Маса електрона -$9.11\times10^{-31}$ кг.

17. Розділіть ці числа за допомогою калькулятора, щоб приблизно визначити, у скільки разів більша маса протона, ніж маса електрона.

18. Яка приблизна маса мільйона протонів? (Примітка: мільйон - це$10^6$.)

19. Яка приблизна маса мільярда протонів? (Примітка: один мільярд - це$10^9$.)

Відповідь

17. маса протона приблизно$1,830$ або в$1.83 \times 10^3$ рази більше

18. $1.67 \times 10^{-21}$кг

19. $1.67 \times 10^{-18}$кг

Інженерні позначення

Тісно пов'язане з науковими позначеннями інженерне позначення, яке використовує лише кратні$1,000$. Так часто повідомляється про великі цифри в новині; якщо приблизно$37,000$ люди живуть в Орегон-Сіті, ми говоримо «тридцять сім тисяч», і ми можемо бачити, що це написано як «37 тисяч»; було б незвично думати про це як$3.7\times10,000$ і повідомляти про це як «три точки сім десять тисяч».

Тисяча =$10^3$, один мільйон =$10^6$, один мільярд =$10^9$, один трильйон =$10^{12}$ і так далі.

У інженерних позначеннях$10$ сила завжди кратна$3$, а інша частина числа повинна бути між$1$ і$1,000$.

Число записується в інженерному позначенні, якщо воно пишеться у формі$a\times10^n$, де$n$ кратне$3$ і$a$ є будь-яким дійсним числом таким, що$1\leq{a}<1,000$.

Примітка: Префікси для великих чисел, таких як кілограм, мега, гіга та тера, по суті, є інженерними позначеннями, як і префікси для невеликих чисел, таких як мікро, нано та піко. Ми побачимо їх в іншому модулі.

Вправи$\PageIndex{8}$

Запишіть кожне число в інженерних позначеннях, потім в наукових позначеннях.

20. Населення США становить близько$330.2$ мільйона чоловік. ^[2]

21. Населення світу становить близько$7.68$ мільярда чоловік. ^[3]

22. Державний борг США становить близько$26.6$ трильйонів доларів. ^[4]

Відповідь

20. $330.2 \times 10^6$;$3.302 \times 10^8$

21. $7.68 \times 10^9$;$7.68 \times 10^9$\

22. (26,6\ раз 10^ {12}\);$2.66 \times 10^{13}$

---

1. Чомусь, хоча ми, як правило, намагаємося уникати використання символу множення у формі «х», він часто використовується з науковими позначеннями. ←
2. 27 серпня 2020 року кошторис від [1]https://www.census.gov/popclock/
3. 27 серпня 2020 року кошторис від [2]https://www.census.gov/popclock/
4. 27 серпня 2020 року дані з fiscaldata.treasury.gov/набори дати/борг до копійки/борг до копійки