1.6: Точність та GPE

Точність

Точність числа - це місце значення правої найзначнішої цифри. Наприклад,$100.45$ точно на соті місця, а$3,840$ точні до десятків.

Вправи$\PageIndex{1}$

Визначте точність (тобто значення місця найправішої значущої цифри) кожного числа.

1. $63,400$

2. $63,040$

3. $63,004$

4. $8,000$

5. $8,\overline{0}00$

6. $8,0\overline{0}0$

7. $8,00\overline{0}$

8. $0.085$

9. $0.0805$

10. $0.08050$

Відповідь

1. сотні

2. десятки

3. ті

4. тисячі

5. сотні

6. Десятки

7. ті

8. Тисячні

9. Десятисячні

10. сотень тисячних

Точність на основі округлення

У попередньому модулі про десяткові числа ми використовували округлення на основі точності, оскільки ми були округлення до вказаного значення місця; наприклад, округлення до найближчої десятої. Давайте практикуємо це за допомогою овербарів та кінцевих нулів.

Точне округлення на основі:

1. Знайдіть округлення цифру в тому місці, до якого ви здійснюєте округлення.
2. Подивіться на тестову цифру прямо праворуч від округлення цифри.
3. Якщо контрольна цифра дорівнює 5 або більше, збільште цифру округлення на 1 і опустіть всі цифри праворуч від неї. Якщо контрольна цифра менше 5, залиште округлення однаковою і опустіть всі цифри праворуч від неї.

Пам'ятайте, коли цифра округлення цілого числа є a$9$, яка округляється до a$0$, ми повинні написати перекриття над цим$0$.

Крім того, коли цифра округлення десяткового числа є a$9$, яка округляється до a$0$, ми повинні включити$0$ в цей десятковий розряд.

Вправи$\PageIndex{1}$

Округляйте кожне число до зазначеного значення місця. Обов'язково включіть кінцеві нулі або перекриття, якщо це необхідно.

11. $13,997$(тисячі)

12. $13,997$(сотні)

13. $13,997$(десятки)

14. $0.5996$(десятих)

15. $0.5996$(соті)

16. $0.5996$(тисячні)

Відповідь

11. $14,000$

12. $14,\overline{0}00$

13. $14,0\overline{0}0$

14. $0.6$

15. $0.60$

16. $0.600$

Точність при додаванні та відніманні

Припустимо, відвідуваність великого заходу оцінюється у$25,000$ людей, але тоді ви бачите, як$3$ люди йдуть. Це нова оцінка$24,997$? Ні, тому що первісна оцінка була точною лише до найближчої тисячі. Ми не можемо почати з неточного числа і закінчити з більш точним числом. Якби ми оцінили, що$1,000$ люди пішли, то ми могли б переглянути нашу оцінку відвідуваності,$24,000$ оскільки ця оцінка підтримує той самий рівень точності, що і наша початкова оцінка.

При додаванні або відніманні чисел з різним рівнем точності відповідь повинна бути округлена до тієї ж точності, що і найменш точні з вихідних чисел.

Не округляйте початкові числа; спочатку зробіть необхідні обчислення, а потім округліть відповідь як останній крок.

Вправи$\PageIndex{1}$

Додайте або відніміть, як зазначено. Округлити до відповідного рівня точності.

17. Знайдіть комбіновану вагу чотирьох упаковок з наступними вагами:$9.7$ lb,$13$ lb,$10.5$ lb,$6.1$ lb.

18. Знайдіть комбіновану вагу чотирьох упаковок з наступними вагами:$9.7$ lb,$13.0$ lb,$10.5$ lb,$6.1$ lb.

19. Купуючи страховку орендаря, Чандра оцінює вартість свого страхового майна в $$10,200$. Після продажу деяких предметів, що оцінюються в $$375$, якою буде переглянута оцінка?

20. Чандра знає, що вона має приблизно $ на$840$ своєму чековому рахунку. Після використання своєї дебетової картки для здійснення двох покупок на$25.95$ суму $ та $$16.38$, скільки вона залишила б на своєму рахунку?

Відповідь

17. $39$фунт

18. $39.3$фунт

19. $$9,800$

20. $$8\overline{0}0$

Якщо ви множаєте на точне число, ви можете вважати це повторним доповненням. Наприклад, припустимо, що ви вимірюєте вагу об'єкта, щоб бути$4.37$ унціями, і ви хочете знати вагу трьох з цих об'єктів; множення$4.37$ разів$3$ таке ж, як додавання$4.37 + 4.37 + 4.37 = 13.11$ унцій. Точність все ще до сотих місць. Питання про значні цифри не стосується точних цифр, тому було б неправильно розглядати$3$ як наявність лише одного sig рис. (Ставтеся до точних чисел, як роялті; їх точність ідеальна, і було б образа навіть поставити під сумнів.)

Найбільша можлива похибка вимірювання (GPE)

Припустимо, ви зважуєте собаку шкалою, яка відображає вагу, округлену до найближчого фунта. Якщо шкала говорить, що сер Баркс-А-Лот важить$23$ фунти, він може важити в будь-якому місці від$22.5$ фунтів до майже$23.5$ фунтів. Справжня вага може бути стільки, скільки$0.5$ фунтів вище або нижче виміряної ваги, яку ми могли б написати як$23\pm0.5$.

Тепер припустимо, що ви зважуєте сера Баркса-А-Лот за допомогою шкали, яка відображає вагу, округлену до найближчої десятої частини фунта. Якщо шкала говорить, що сер Баркс-А-Лот важить$23.0$ фунти, ми тепер знаємо, що він може важити в будь-якому місці від$22.95$ фунтів до майже$23.05$ фунтів. Справжня вага може бути стільки, скільки$0.05$ фунтів вище або нижче виміряної ваги, яку ми могли б написати як$23.0\pm0.05$.

Зростаючи рівень точності вимірювання, ми зменшуємо найбільшу можливу похибку вимірювання або GPE. GPE завжди половина точності; якщо точність до найближчої десятої$0.1$, GPE становить половину однієї десятої, або п'яти сотих,$0.05$. GPE завжди буде a$5$ в місці праворуч від місця значення точності числа.

Інший спосіб думати про GPE полягає в тому, що він дає діапазон значень, які округляються до числа, про який йде мова. Повернутися до зважування сера Баркса-А-Лот:$23\pm0.5$ говорить нам нижнє значення та верхнє значення. $23-0.5=22.5$це найнижча вага, який буде округлити до$23$. Аналогічно,$23+0.5=23.5$ це найбільша вага, який буде округлити вниз до$23$. Так, можливо, ми повинні сказати$23.49$ або$23.499$, і т.д., для верхньої межі тут, але простіше просто сказати$23.5$ і погодитися, що$23.5$ це верхня межа, хоча вона буде округлити вгору, а не вниз. Використовуючи нерівності, ми могли б представити$23\pm0.5$ як діапазон значень$22.5\leq\text{weight}<23.5$ замість цього.

Коли вас попросять ідентифікувати GPE, це може допомогти подумати: «Які мінімальні та максимальні числа, які округляють до заданого числа?» Наприклад, припустимо, що відвідуваність матчу Портленд Торнс оцінюється як$14,000$ люди. Це число точно до найближчої тисячі. Мінімальне число, яке буде округлити до$14,000$ буде$13,500$ (тому що$13,449$ буде округлити вниз до$13,000$), а максимальне число, яке буде округлити вниз,$14,000$ буде трохи нижче$14,500$ (тому що$14,500$ буде округлити до$15,000$). Оскільки ці цифри знаходяться$500$ далеко від$14,000$, GPE є$500$. Якщо оцінка вірна до найближчої тисячі, ми знаємо, що фактична відвідуваність знаходиться в межах$\pm$ 500 від$14,000$.$14,000$

Вправи$\PageIndex{1}$

21. Пакет важить$3.76$ кілограми. Що таке ГПЕ?

22. Рулон пластикового покриття товщиною$0.00031$ дюймів. Що таке GPE в дюймах?

23. Пластикові листи товщиною$0.00031$ дюймів називають$0.31$ мил. Що таке ГПЕ в милах?

Відповідь

21. $\pm 0.005$фунт

22. $\pm 0.000005$в

23. $\pm 0.005$мил

Нагадаємо з попереднього модуля, що точність вимірювання - це кількість значущих цифр. Давайте об'єднаємо ідеї точності, точності та найбільшої можливої похибки вимірювання.

Вправи$\PageIndex{1}$

Карти Google зазначають, що відстань їзди від головного кампуса CCC до канадського кордону становить$300$ милі. (Примітка: це округлено до найближчої милі.)

24. Яка точність?

25. Що таке точність?

26. Що таке ГПЕ?

Очікується, що новий стадіон матиме навколо$23,000$ місць.

27. Яка точність?

28. Що таке точність?

29. Що таке ГПЕ?

Ємність бензобака автомобіля -$14.2$ галони.

30. Яка точність?

31. Що таке точність?

32. Що таке ГПЕ?

Відповідь

24. три значущі цифри

25. одне місце; найближча$1$ миля

26. $\pm 0.5$милі

27. дві значущі цифри

28. тисячі місць; найближчі$1,000$ місця

29. $\pm 500$сидіння

30. три значущі цифри

31. Десяте місце; найближчий$0.1$ галон

32. $\pm 0.05$галь

Ось короткий виклад важливих термінів з цих двох модулів. Їх легко змішати, але пам'ятаючи, що «точність» та «значення місця» обидва починаються з «p» може бути корисним.

Резюме термінів

Значущі цифри: цифри в числі, які ми довіряємо, щоб бути правильними

Точність: кількість значущих цифр

Точність: значення місця найправішої значущої цифри

Найбільша можлива похибка вимірювання (GPE): половина точності