1.7: Помилки при вимірюванні
- Page ID
- 24251
Наукові вимірювання не мають ніякої цінності (або, принаймні, вони насправді не наукові), якщо вони не даються з деяким твердженням помилок, які вони містять. Якщо опитування повідомляє, що один кандидат веде іншого на 5%, це може бути політично корисним для кандидату-переможця. Але всі респектабельні опитування є науковими, і повідомляють про помилки. Якщо похибка вимірювання плюс-мінус 10%, що вказує на що-небудь від кандидата, що веде на 15% до трейлінгу на 5%, опитування дійсно не достовірно говорить, хто лідирує. Якби в опитуванні була похибка 1%, провідний кандидат міг би зробити більш науковий випадок, ніж за те, що лідирує (від 4% до 6%, або 5% +/ -1%).
На щастя, у нас є простий метод вказівки похибки при вимірюванні, і він пропонується в результатах, які ми дали для експерименту із забрудненням повітря, в якому маса зібраного диму була вказана як 3,42 × 10 -2 г, а об'єм балона був вказаний як 1.021 926 4 × 10 7 см 3.
«Значні цифри»
Обсяг розраховувався з балона діаметром 106 дюймів. Хоча в другій кількості є щось дивне. Він містить число, яке було скопійовано безпосередньо з дисплея електронного калькулятора і має занадто багато цифр, щоб правильно відображати похибку вимірювання.
Надійність (точніше, випадкова похибка або точність) величини, отриманої в результаті вимірювання, зазвичай вказується кількістю значущих цифр (або значущих цифр), які вона містить. Наприклад, три значущі цифри в кількості 3,42 × 10 —2 г говорять нам про те, що був використаний баланс, на якому ми могли відрізнити 3,42 × 10 —2 г від 3,43 × 10 —2 або 3,41 × 10 —2 м Може виникнути питання про останню цифру, але ті, що знаходяться зліва від він приймається як повністю надійний. Інший спосіб вказати те ж саме - (3,42 ± 0,01) × 10 —2 г Наше вимірювання десь між 3,41 × 10 -2 і 3,43 × 10 —2 г.
Щоб проілюструвати, як кількість значущих цифр вказує на похибку, припустимо, що ми мали вимірювання, повідомлене як 3,42 м З вимірювання ми б припустимо похибку 0,01 г, а процентна похибка дорівнює
\[ \text{Percent Error } = \dfrac{\text{Error}}{\text{Value}} \times 100\%\label{1} \]
\[ \text{Percent Error} = \dfrac{0.01 \text{ g}}{3.42 \text{ g}} \times 100\% = 0.29\% \nonumber \]
Якби правильно записане вимірювання мало більше цифр, таких як 3,4275 г, саме вимірювання вказувало б на те, що для кращої точності використовувався більш дорогий баланс (менша похибка відсотків). При цьому похибка дорівнює 0,0001 г, а процентна похибка дорівнює:
\[ \text{Percent Error} = \dfrac{0.0001 \text{ g}}{3.4265 \text{ g}} \times 100\% = 0.0029\% \nonumber \]
Таким чином, ми записуємо вимірювання до належної кількості цифр як рудиментарний метод [1] для вказівки їх приблизної похибки.
Як ще один приклад вибору відповідної кількості значущих цифр, ознайомимося з обсягом рідини в градуйованому циліндрі.
Рішення:
Дно меніска лежить між градуюваннями, відповідними 38 і 39 см 3. Ми можемо оцінити, що це 38,5 см 3, але остання цифра може бути небагато - можливо, це виглядає як 38,4 або 38,6 см 3 для вас. Оскільки третя цифра знаходиться під питанням, слід використовувати три значущі цифри. Обсяг буде записаний як 38,5 см 3, що вказує на похибку 0,1 см 3. Лабораторне обладнання часто калібрується аналогічно цьому градуйованому циліндру - ви повинні оцінити до найближчої десятої найменшої градуювання.
Підрахунок значущих цифр
У деяких звичайних числах, наприклад, 0,001 23, нулі служать лише для знаходження десяткової крапки. Вони не вказують на надійність вимірювання і тому не є суттєвими. Ще однією перевагою наукового позначення є те, що можна вважати, що всі цифри значущі. Таким чином, якщо 0,001 23 записано як 1,23 × 10 —3, записуються тільки 1, 2 і 3, які вказують на достовірність вимірювання. Десяткова крапка розташовується степенем 10.
Якщо правило, виражене в попередньому пункті, застосовується до обсягу повітря, зібраного в нашому експерименті з забрудненням, 1.021 926 4 × 10 7 см 3, ми виявимо, що обсяг має вісім значущих цифр. Це означає, що було визначено ± 1 см 3 з приблизно 10 мільйонів см 3, надійність, яка відповідає розташуванню коника точно в певній точці вздовж дороги з Філадельфії до Нью-Йорка. Для експериментів, таких грубих, як наші, це навряд чи. Давайте подивимося, наскільки хорошим було вимірювання.
Ви нагадаєте, що обсяг ми розрахували з діаметра балона, 106 дюймів. Три значні цифри означають, що це могло бути настільки ж великим, як 107 дюймів або як малі, як 105 дюймів. Ми можемо повторити розрахунок з кожною з цих величин, щоб побачити, наскільки далеко буде обсяг:
\(\begin{align} & \text{ }r\text{ = }\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\text{ }\times \text{ 107 in = 53}\text{.5 in }\times \text{ }\dfrac{\text{1 cm}}{\text{0}\text{.3937 in}}\text{ } \\ & \text{ = 135}\text{.890 27 cm} \\ & \text{ }V\text{ = }\dfrac{\text{4}}{\text{3}}\text{ }\times \text{ 3}\text{.141 59 }\times \text{ (135}\text{.890 27 cm)}^{\text{3}}\text{ } \\ & \text{ = 10 511 225 cm}^{\text{3}}\text{ = 1}\text{.051 122 5 }\times \text{ 10}^{\text{7}}\text{ cm}^{\text{3}} \\ & \text{or }V\text{ = }\dfrac{\text{4}}{\text{3}}\text{ }\times \text{ 3}\text{.141 59 }\times \text{ }\left( \dfrac{\text{1}}{\text{2}}\text{ }\times \text{ 105 in }\times \text{ }\dfrac{\text{1 cm}}{\text{0}\text{.3937 in}} \right)^{\text{3}}\text{ } \\ & \text{ = 9 932 759 cm}^{\text{3}}\text{ = 0}\text{.993 275 9 }\times \text{ 10}^{\text{7}}\text{ cm}^{\text{3}} \\ \end{align}\)
Тобто обсяг становить від 0,99 × 10 7 до 1,05 × 10 7 см 3 або (1,02 ± 0,03) × 10 7 см 3. Ми повинні округлити наш результат до трьох значущих цифр, наприклад, 1,02 см³, тому що остання цифра, а саме 2, знаходиться під питанням.
Отже, висновок простий: розрахований результат не може бути точнішим, ніж вимір, з якого він був зроблений. Щоб показати це альтернативним способом, помилка в 106 в буде приблизно 1 дюйм, тому відсоток похибки
\[ \text{Percent Error} = \dfrac{1 \text{ in}}{106 \text{ in}} \times 100\% = 0.9\% \nonumber \]
Якщо результат повідомляється як 10 219 264 см 3, мається на увазі похибка становить 1 частина в 10 219 264, а процентна похибка дорівнює:
\[ \text{Percent Error} = \dfrac{1 \text{ cm}^{\text{3}}}{10219264 \text{ cm}^\text{3}} \times 100\% = 0.000009\% \nonumber \]
Зрозуміло, що ми не повинні бути в змозі підвищити точність наших даних, просто маніпулюючи даними математично, тому нам потрібні прості правила округлення чисел у розрахункових кількостях.
Якщо результат повідомляється належним чином як 1,02 × 10 7 см 3, процентна похибка дорівнює
-
- \[ \text{Percent Error} = \dfrac{0.01 \text{ cm}^{\text{3}}}{1.02 \text{ cm}^\text{3}} \times 100\% = 1\% \nonumber \],
приблизно такий же, як і вихідне вимірювання.
- Всі цифри, що підлягають округленню, видаляються разом, а не по одній.
- Якщо крайня ліва цифра, яку потрібно видалити, менше п'яти, остання збережена цифра не змінюється.
- Якщо крайня ліва цифра, яку потрібно видалити, більше п'яти, остання збережена цифра збільшується на одиницю.
- Якщо крайня ліва цифра, яку потрібно видалити, дорівнює п'яти і принаймні одна з інших цифр, які потрібно видалити, не є нульовою. Остання збережена цифра збільшується на одиницю.
- Якщо крайня ліва цифра до нього видалена п'ять і всі інші цифри, які він видаляє, нуль, остання збережена цифра не змінюється, якщо вона парна, а збільшується на одиницю, якщо вона непарна.
Застосування Правил округлення чисел можна проілюструвати на прикладі.
Округліть кожне з чисел нижче до трьох значущих цифр.
- 34.7449
- 34.864
- 34.754
- 34.250
- 34.35
Рішення
а) Застосовуйте правила 1 і 2:
(Зверніть увагу, що інший результат буде отриманий, якщо цифри були неправильно округлені по одному праворуч.)
б) Застосовувати правила 1 і 3:34.8 64 → 34.9в) Застосовувати правила 1 і 4:34.7 54 → 34.8
г) Застосовувати правила 1 і 5:34.2 50 → 34.2
д) Застосовувати правило 5:34.3 5 → 34.4
До скількох значущих цифр ми повинні округлити результати забруднення повітря? Ми вже зробили розрахунок, що включає множення і ділення для отримання обсягу нашого газозбірного балона. У ньому беруть участь такі величини і цифри:
| \( 106 \text{ in}\) | Виміряна величина з трьома значущими цифрами |
|---|---|
| \ (106\ text {in}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\( 0.3937 \text{ in/cm}\) | Коефіцієнт перетворення, заданий чотирма значущими цифрами (1) |
| \ (106\ text {in}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(3.141 59\) | π використовується з шістьма значними цифрами (ми могли б отримати більше, якщо хочемо) |
| \ (106\ text {in}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(\tfrac{\text{4}}{\text{3}} \text{ and } \tfrac{\text{1}}{\text{2}}\) | Числа (2) з нескінченною кількістю значущих цифр, оскільки цілі числа в цих дробах точні за визначенням |
- деякі коефіцієнти перетворення на кшталт 1 мг = 0,001 г точні, і мають нескінченну кількість значущих цифр).
- Зверніть увагу, що чисті числа не є вимірами або величинами, і тому вони необмежені в кількості значущих цифр (цифри мають нульову похибку).
Результат розрахунку містив три значущі цифри — такі ж, як і найменш достовірне число. Це ілюструє загальне правило, що для множення і ділення кількість значущих цифр в результаті таке ж, як і при найменш достовірному вимірі. Визначені числа, такі як π, ½ або 100 см/1м, вважаються нескінченною кількістю значущих цифр.
У разі додавання і віднімання застосовується інше правило. Припустимо, наприклад, що ми зважували фільтр димозбірника на відносно неточному балансі, який можна було зчитувати тільки до найближчого 0,01 м Після збору проби фільтр був переважений на однокамерному балансі для визначення маси частинок диму.
- Кінцева маса: 2,374 5 г (кольорові цифри під питанням)
- Початкова маса: —2,3 2 г
- Маса диму: 0,0 545 г
Оскільки початкове зважування могло бути десь від 2,31 до 2,33 г, всі три цифри в кінцевому результаті знаходяться під питанням. (Він повинен бути від 0,0445 до 0,0645 г). При цьому є тільки одна значуща цифра, а результат - 0,05г. Правило тут полягає в тому, що результат додавання або віднімання не може містити більше цифр праворуч, ніж є в будь-якому з доданих або відніманих чисел. Зверніть увагу, що віднімання може різко зменшити кількість значущих цифр при застосуванні цього правила.
Округлення чисел особливо важливо, якщо ви використовуєте електронний калькулятор, так як ці машини зазвичай відображають велику кількість цифр, більшість з яких безглузді. Найкраща процедура - довести всі цифри до кінця розрахунку (ваш калькулятор не буде проти зайвої роботи!) а потім округлити відповідним чином. Відповіді на наступні розрахунки в цій книзі будуть округлені за наведеними правилами. Можливо, ви захочете повернутися до попередніх прикладів і правильно округлити їх відповіді.
Оцініть наступні вирази, округляючи відповідь до відповідної кількості значущих цифр.
- \(32.61 \text{g} + 8.446 \text{g} + 7.0 \text{g} \)
- \(0.136 \text{cm}^3 \times 10.685 \text{g cm}^{-3}\)
Рішення
- \(32.61 \text{g} + 8.446 \text{g} + 7.0 \text{g} = 48.056 \text{g} = 48.1 \text{g (7.0 has only one figure to the right of the decimal point.)}\)
- \(0.136 \text{cm}^3 \times 10.685 \text{g cm}^{-3} = 1.453 \text{g} = 1.45 \text{g (0.136 has only three significant figures.)}\)
Точність проти точності
Коли ми запропонували заповнити надлишкову повітряну кулю, щоб виміряти, скільки газу було перекачено через наш колектор забруднення повітря, ми згадали, що це буде досить сирим способом визначення обсягу. З одного боку, було б не так просто виміряти діаметр 8- або 9-футової сфери надійно. Використовуючи мірку, нам пощастило б, що послідовні вимірювання узгоджуються в межах півдюйма або близько того. Саме з цієї причини про результат було повідомлено найближчим дюймом. Ступінь, до якої повторні вимірювання однієї і тієї ж величини дають однаковий результат, називається точністю. Повторення високоточного вимірювання дало б майже однакові результати, тоді як низька точність передбачає, що цифри відрізнялися б на значний відсоток один від одного.
Дуже точне вимірювання діаметра нашої повітряної кулі може бути досягнуто, але це, мабуть, не варто. Ми припустили кулясту форму, але це майже напевно не зовсім правильно. Як би точно не визначили діаметр, на наше вимірювання обсягу газу будуть впливати відхилення від передбачуваної форми. Коли одне або кілька наших припущень щодо вимірювального приладу помилкові, це вплине на точність результату. Очевидним прикладом може бути правило стопи, розділене на 11 рівних дюймів. Вимірювання з використанням цього приладу можуть погодитися дуже точно, але вони були б не дуже точними. Наступні дані про масу диму, виміряні неодноразово двома балансами і шкалою, показують різницю між точністю і точністю. Якщо незалежним вимірюванням була визначена маса рівно 0,03420 г, перший баланс є як точним (отримано правильне значення), так і точним (діапазон вимірювань невеликий); другий баланс точний, але не точний; шкала не є ні точною, ні точною. Зверніть увагу, що ми порівнюємо три один з одним; відносно балансу, який мав діапазон 0,00001 г, всі три були б неточними.
| Маса, Баланс A | Маса, Баланс B | Маса, Масштаб | |
|---|---|---|---|
| 0.0342 | 0.0362 | 0.0380 | |
| 0.0341 | 0.0361 | 0.0370 | |
| 0.0342 | 0.0363 | 0.0390 | |
| 0.0343 | 0.0362 | 0,0400 | |
| середнє | 0.0342 | 0.0362 | 0.0385 |
| діапазон | 0,001 | 0,001 | 0,013 |
Наступні цифри допомагають зрозуміти різницю між точністю (невелика очікувана різниця між кількома вимірами) і точністю (різниця між результатом і відомим значенням).
Важливий момент іншого роду проілюстрований в останніх двох абзацах. У мову науки було прийнято безліч загальних слів. Зазвичай таке прийняття супроводжується однозначним науковим визначенням, яке не фігурує в звичайному словнику. Точність і точність багато разів трактуються як синоніми, але в науці кожен має дещо інше значення. Інший приклад - кількість, яку ми визначили термінами «число × одиниця». Інші англійські слова, такі як bulk, size, amount тощо, можуть бути синонімами кількості в повсякденному мовленні, але не в науці. Коли ви стикаєтеся з іншими подібними словами, намагайтеся якомога швидше вивчити та використовувати наукове визначення та уникайте плутати його з іншими значеннями, які ви вже знаєте.
Навіть надаючи грубість вимірювань, які ми щойно описали, вони були б адекватними, щоб продемонструвати, чи існує проблема забруднення повітря. Наступним кроком було б знайти хіміка або чиновника охорони здоров'я, який був експертом у оцінці якості повітря, представити свої дані та переконати цю людину надати свою майстерність та авторитет вашому твердженням, що щось не так. Така людина мала б доступне обладнання, точність і точність якого були адекватними для високонадійних вимірювань і змогла б робити авторитетні публічні заяви про масштаби проблеми забруднення повітря.