1.5: Точність і значущі цифри

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У перших кількох модулів ми рідко займалися округленням; ми припускали, що кожне число, яке нам сказали, є точним, і нам не довелося турбуватися про будь-яку похибку вимірювання. Однак кожне вимірювання містить деяку похибку. Стандартний аркуш паперу має $8.5$ дюйми в ширину і $11$ дюйми у висоту, але цілком можливо, що фактичні вимірювання можуть бути ближче до $8.4999$ і $11.0001$ дюймів. Навіть якщо ми вимірюємо щось дуже ретельно, з дуже чутливими інструментами, ми повинні припустити, що може бути невелика похибка вимірювання.

Точні значення та наближення

Число - це точне значення, якщо воно є результатом підрахунку або визначенням.

Число - це наближення, якщо воно є результатом вимірювання або округлення.

Вправи $\PageIndex{1}$

Визначте кожне число як точне значення або наближення.

1. Дюйм - це $\dfrac{1}{12}$ фут.

2. Ця дошка $78$ завдовжки дюймів.

3. Є $14$ учні в класі.

4. Тахометр автомобіля зчитує $3,000$ обороти в хвилину.

5. Прямий кут вимірює $90$ °.

6. Кут піднесення пандуса - $4$ °.

Відповідь

1. точне значення

2. наближення

3. точне значення

4. наближення

5. точне значення

6. наближення

Припустимо, колега надсилає вам повідомлення про те, що вони приїдуть за $20$ лічені хвилини. Важко сказати, наскільки точно це число, тому що ми часто округляємо до найближчих $5$ або $10$ хвилин. Ви можете розумно очікувати, що вони прибудуть в будь-який час протягом $15$ $25$ найближчих хвилин. Якщо ваш колега тексти, що вони прибудуть за $17$ лічені хвилини, цілком ймовірно, що їх GPS сказав їм, що більш точне число, і ви можете розумно очікувати, що вони прибудуть протягом $16$ двох $18$ хвилин.

Точність і значущі цифри

Оскільки вимірювання неточні, ми повинні враховувати, наскільки вони точні. Це вимагає від нас думати про значні цифри - часто скорочені «sig figs» в розмові - які є цифрами вимірювання, які ми довіряємо, щоб бути правильними. Точність числа дорівнює кількості значущих цифр. ^[1] Наступні правила не особливо важко зрозуміти, але вони можуть зайняти час, щоб засвоїти та засвоїти, тому ми включимо безліч прикладів та вправ.

Малюнок $\PageIndex{1}$ : Афро-американські жінки були життєво важливими для успіху НАСА в 1960-х роках, як показано у фільмі «Приховані фігури».

Значні цифри

Всі ненульові цифри є значущими.
Наприклад: $12,345$ має п'ять знаків інжиру, і $123.45$ має п'ять знаків інжиру.
Всі нулі між іншими ненульовими цифрами є значущими.
Наприклад: $10,045$ має п'ять знаків інжиру, і $100.45$ має п'ять знаків інжиру.
Будь-які нулі праворуч від десяткового числа є значними.
Наприклад: $123$ має три знакових інжиру, але $123.00$ має п'ять знакових інжиру.
Нулі ліворуч від десяткового числа НЕ є значними.
Наприклад: $0.123$ має три знакових інжиру, і $0.00123$ має три знакових інжиру.
Нулі праворуч від цілого числа НЕ є значними, якщо вони не позначені перекриттям.
Наприклад: $12,300$ має три знакових інжиру, але $12,30\overline{0}$ має п'ять знакових інжиру.

Інший спосіб думати про #4 і #5 вище полягає в тому, що нулі, які просто показують значення місця - де десяткова крапка належить - НЕ є значними.

Вправи $\PageIndex{1}$

Визначте точність (тобто кількість значущих цифр) кожного числа.

7. $63,400$

8. $63,040$

9. $63,004$

10. $0.085$

11. $0.0805$

12. $0.08050$

Відповідь

7. три значущі цифри

8. чотири значущі цифри

9. П'ять значущих цифр

10. дві значущі цифри

11. три значущі цифри

12. чотири значущі цифри

Як уже згадувалося вище, ми використовуємо перекриття, щоб вказати, коли нуль, який виглядає незначним, насправді є значним. Наприклад, точність ^[2] $7,400$ - це сотні місць; якщо ми округлимо що-небудь від $7,350$ $7,449$ до найближчої сотні, ми б запишемо результат як $7,400$ . Овербар показує, що число є більш точним, ніж здається. Якщо ми округлили що-небудь від $7,395$ $7,404$ до найближчого десяти, результат буде $7,400$ , але вже не ясно, що число було округлено до десятки місце. Тому, щоб показати рівень точності, записуємо результат як $7,4\overline{0}0$ . Якщо ми округлили що-небудь від $7,399.5$ $7,400.4$ до найближчого, результат буде знову $7,400$ , і ми знову не можемо побачити, наскільки точним округлене число насправді. Тому, щоб показати, що число є точним до тих місць, ми пишемо результат як $7,40\overline{0}$ .

Вправи $\PageIndex{1}$

Визначте точність (тобто кількість значущих цифр) кожного числа.

13. $8,000$

14. $8,\overline{0}00$

15. $8,0\overline{0}0$

16. $8,00\overline{0}$

Відповідь

13. одна значна цифра

14. дві значущі цифри

15. три значущі цифри

16. чотири значущі цифри

Дві речі, які слід пам'ятати: ми не ставимо overbar над ненульовою цифрою, і нам не потрібен overbar для будь-яких нулів праворуч від десяткового числа, тому що вони вже розуміються як значні.

Округлення на основі точності

Як ми бачили в попередньому модулі про десяткових знаках, часто доводиться округлити число. Ми часто округляємо до певного місця значення, наприклад найближчого сотого, але є й інший спосіб округлити. Округлення на основі точності враховує кількість значущих цифр, а не значення місця.

Округлення на основі точності:

Знайдіть округлення цифру, до якої ви округляєте, відраховуючи зліва, поки не отримаєте правильну кількість значущих цифр.
Подивіться на тестову цифру прямо праворуч від округлення цифри.
Якщо контрольна цифра дорівнює 5 або більше, збільште цифру округлення на 1 і опустіть всі цифри праворуч від неї. Якщо контрольна цифра менше 5, залиште округлення однаковою і опустіть всі цифри праворуч від неї.

Вправи $\PageIndex{1}$

Округляйте кожне число так, щоб воно мало зазначену кількість значущих цифр.

17. $21,837$ (два знака інжир)

18. $21,837$ (три знака інжир)

19. $21,837$ (чотири знака інжир)

20. $4.2782$ (два знака інжир)

21. $4.2782$ (три знака інжир)

22. $4.2782$ (чотири знака інжир)

Відповідь

17. $22,000$

18. $21,800$

19. $21,840$

20. $4.3$

21. $4.28$

22. $4.278$

Коли цифра округлення цілого числа є a $9$ , яка округляється до a $0$ , ми повинні написати перекриття над цим $0$ .

Аналогічно, коли округлення цифра десяткового числа є a $9$ , яка округляється до a $0$ , ми повинні включити $0$ в цей десятковий розряд.

Вправи $\PageIndex{1}$

Округляйте кожне число так, щоб воно мало зазначену кількість значущих цифр. Обов'язково включіть кінцеві нулі або перекриття, якщо це необхідно.

23. $13,997$ (два знака інжир)

24. $13,997$ (три знака інжир)

25. $13,997$ (чотири знака інжир)

26. $2.5996$ (два знака інжир)

27. $2.5996$ (три знака інжир)

28. $2.5996$ (чотири знака інжир)

Гора, яку ми знаємо як Mt. Еверест називається Сагарматха в Непалі і Чомолунгма в Тибеті. 8 грудня 2020 року Непал та Китай спільно оголосили, що саміт має висоту $29,031.69$ футів, замінюючи раніше прийняту висоту $29,029$ футів. ^[3]

29. Круглий $29,031.69$ фут до двох знаків інжиру.

30. Круглий $29,031.69$ фут до трьох знаків інжиру.

31. Круглий $29,031.69$ фут до чотирьох знаків інжиру.

32. Круглий $29,031.69$ фут до п'яти знаків інжиру.

33. Круглий $29,031.69$ фут до шести знаків інжиру.

Відповідь

23. $14,000$

24. $14,\overline{0}00$

25. $14,0\overline{0}0$

26. $2.6$

27. $2.60$

28. $2.600$

29. $29,000\text{ ft}$

30. $29,\overline{0}00\text{ ft}$

31. $29,030\text{ ft}$

32. $29,032\text{ ft}$

33. $29,031.7\text{ ft}$

Точність при множенні та діленні

Припустимо, вам потрібно було квадратне число $3\dfrac{1}{3}$ . Ви могли б переписати $3\dfrac{1}{3}$ як неправильний дріб, $\dfrac{10}{3}$ а потім з'ясувати $(\dfrac{10}{3})^2 = \dfrac{100}{9}$ , що, що дорівнює повторюваної десяткової $11.111...$

Тому що більшість людей вважають за краще десяткові дроби, ми могли б замість цього $3\dfrac{1}{3}$ округлити $3.3$ і знайти, що $3.3^2=10.89$ . Однак це не точно, тому що $11.111...$ округлені до найближчої сотої повинні бути $11.11$ . Відповідь $10.89$ виглядає дуже точною, але це помилкова точність, оскільки є помилка округлення. Якщо ми округлимо нашу відповідь $10.89$ до найближчої десятої, ми отримаємо $10.9$ , яка все ще не точна, тому що $11.111...$ округлена до найближчої десятої повинна бути $11.1$ . Якщо ми округлимо нашу відповідь $10.89$ до найближчого цілого числа, ми б отримати $11$ , що є точним, тому що $11.111...$ округлені до найближчого цілого числа дійсно $11$ . Виявляється, ми повинні зосереджуватися на кількості значущих цифр, а не на значенні місця; оскільки $3.3$ має лише два sig figs, наша відповідь повинна бути округлена до двох sig figs.

Припустимо, замість того, що ми округлимо $3\dfrac{1}{3}$ до $3.33$ і знайти, що $3.33^2=11.0889$ . Знову ж таки, це не точно, тому що $11.111...$ округлені до найближчих десятитисячних повинні бути $11.1111$ . Якщо ми округлимо $11.0889$ до найближчої тисячної, ми отримаємо $11.089$ , що все ще не точно, тому що $11.111...$ округлені до найближчої тисячної повинні бути $11.111$ . Якщо ми округляємо $11.0889$ до найближчої сотої, то отримаємо $11.09$ , яка все одно не точна, тому що $11.111...$ округлені до найближчої сотої повинні бути $11.11$ . Тільки коли ми округляємо до найближчої десятої ми отримуємо точний результат: $11.0889$ округлений до найближчої десятої є $11.1$ , що є точним, тому що $11.111...$ округлений до найближчої десятої дійсно $11.1$ . Як і вище, нам потрібно зосередитися на кількості значущих цифр, а не на значення місця; оскільки $3.33$ має лише три sig інжир, наша відповідь повинна бути округлена до трьох sig figs.

При множенні або діленні чисел відповідь повинна бути округлена до тієї ж кількості значущих цифр, що і найменш точні з вихідних чисел.

Не округляйте початкові числа; спочатку зробіть необхідні обчислення, а потім округліть відповідь як останній крок.

Вправи $\PageIndex{1}$

Використовуйте калькулятор, щоб помножити або розділити, як зазначено. Потім округляйте до відповідного рівня точності.

34. $8.75\cdot12.25$

35. $355.12\cdot1.8$

36. $77.3\div5.375$

37. $53.2\div4.5$

38. Припустимо, ви заправляєте 5-літрову каністру бензину. Бензин коштує $2.579 за галон, і ви підрахували, що ви будете купувати $5.0$ галони. Скільки ви повинні розраховувати витратити?

Відповідь

34. $107$

35. $640$

36. $14.4$

37. $12$

38. $ $12.90$

Терміни «значущі цифри» і «значущі цифри» вживаються як взаємозамінні. ⦁
Точність відрізняється від точності, як ми дізнаємося в наступному модулі, але це згадується тут, тому що може бути важко пояснити одне без іншого. ⦁
https://www.washingtonpost.com/world/asia_pacific/mount-everest-height-nepal-china/2020/12/08/a7b3ad1e-389a-11eb-aad9-8959227280c4_story.html ↑

Точні значення та наближення

Вправи1.5.1\PageIndex{1}

Точність і значущі цифри

Вправи1.5.1\PageIndex{1}

Вправи1.5.1\PageIndex{1}

Округлення на основі точності

Вправи1.5.1\PageIndex{1}

Вправи1.5.1\PageIndex{1}

Точність при множенні та діленні

Вправи1.5.1\PageIndex{1}

Вправи $\PageIndex{1}$

Вправи $\PageIndex{1}$

Вправи $\PageIndex{1}$

Вправи $\PageIndex{1}$

Вправи $\PageIndex{1}$

Вправи $\PageIndex{1}$