1.3: Обробка великих і малих чисел
- Page ID
- 24242
Приклад 3 з вимірювань, величин і коефіцієнтів єдності (відкривається в новому вікні) ілюструє поширене явище в науці - результати часто включають дуже великі числа або дуже малі дроби. США використовували 66 500 000 000 000 000 000 Дж (джоулів) енергії в 1971 році, а маса молекули води становить 0.000 000 000 000 000 000 000 029 9 м Такі цифри незручні для запису і важко читати правильно. (Ми розділили цифри на групи по три, щоб полегшити пошук десяткової крапки. Прогалини використовуються замість коми, оскільки багато країн використовують кому для позначення десяткового числа.)
Існує два способи вирішення цієї проблеми. Ми можемо висловити кількість у більших або менших одиницях, як у прикладі 4 з вимірювань, величин і коефіцієнтів єдності (відкривається в новому вікні), або ми можемо використовувати кращий спосіб написання малих і великих чисел. Останній підхід передбачає те, що називається науковим позначенням або експоненціальним позначенням. Позиція десяткової крапки позначається степенем (або показником) 10. Наприклад,
\[138= 13.8\cdot 10= 1.38\cdot 10\cdot 10= 1.38\cdot 10^2 \nonumber \]
\[0.004\ 83= \frac{4.83}{10\cdot10\cdot10} = 4.83\cdot\frac{1}{10^3} = 4.83\cdot10^{-3} \nonumber \]
Число з негативним показником - це просто зворотне (поділене на) того ж числа з еквівалентним додатним показником. Тому десяткові дроби (числа від нуля до одиниці) можуть бути виражені за допомогою від'ємних ступенів 10. Числа від 1 до 10 не вимагають експоненціальної частини, а ті, що перевищують 10, включають позитивні показники. За умовністю ступінь 10 вибирається так, щоб зліва від десяткової крапки в звичайному числі знаходилася одна цифра. Тобто, ми зазвичай пишемо 5280 як 5,28 × 10 3, а не як 0,528 × 10 4 або 52,8 × 10 2.
Щоб перетворити число зі звичайного в наукове позначення, порахуйте, скільки знаків десяткова крапка повинна бути зрушена, щоб отримати число між 1 і 10. Якщо ці зрушення знаходяться вліво, число було великим для початку і множимо на велику (тобто позитивну) потужність 10. Якщо зсув вправо, необхідно використовувати зворотну (негативну) потужність 10.
Висловіть наступні числа в науковому позначенні: (а) 7563; (б) 0,0156.
Рішення
а) У цьому випадку десяткова крапка повинна бути зрушена вліво на три місця:
Тому ми використовуємо показник +3:
\[7563= 7.563\cdot10^3 \nonumber \]
б) Зсув десяткової крапки на два розряди вправо дає число між 1 і 10:
Тому показник дорівнює —2:
\[0.0156= 1.56\cdot10^{-2} \nonumber \]
При роботі з експоненціальними позначеннями часто доводиться складати, віднімати, множити або ділити числа. При множенні і діленні потрібно пам'ятати, що множення відповідає додаванню показників, а ділення - їх відніманню.
Множення:\(\text{10}^a\cdot\text{10}^b = \text{10}^{\small(a + b\small)}\)
Відділ:\(\frac{10^a}{10^b} = 10^{(a - b)}\)
Звідси\((3.0\cdot10^5)\cdot(5.0\cdot10^3) = 15.0\cdot10^{(5+3)}= 15.0\cdot10^8= 1.50\cdot10^9\) і\(\frac{3.0\cdot10^5}{5.0\cdot10^3} =0.6\cdot10^{(5- 3)} = 0.6\cdot10^2= 6.0\cdot10\)
Оцініть наступне, даючи свою відповідь у правильному експоненціальному позначенні:
- \((3.89 \cdot 10^5) \cdot (1.09 \cdot 10^{-3}) \)
- \((6.41\cdot10^{-5}) \cdot(2.72 \cdot10^{-2})\)
- \(\frac{(5.0\cdot10^6)}{(3.98\cdot10^8)} \)
- \(\frac{(7.53\cdot10^{-3})}{(8.57\cdot10^{-5})} \)
Рішення:
- \((3.89\cdot10^5)\cdot(1.09 \cdot10^{-3}) = 3.89\cdot1.09\cdot10^{5 + (-3)}= 4.24\cdot10^2 \)
- \((6.41\cdot10^{-5})\cdot(2.72 \cdot10^{-2})\)\(6.41\cdot2.72\cdot10^{-5 + (-2)}\)=\(17.43 \cdot10^{-7}\) =\(1.743 \cdot10^{-6}\)
- \(\frac{(5.0\cdot10^6)}{(3.98\cdot10^8)}= \frac{5.0}{3.98} \cdot10^{6-8}= 1.26\cdot10^{-2} \)
- \(\frac{(7.53\cdot10^{-3})}{(8.57\cdot10^{-5})} = \frac{7.53}{8.57}\cdot10^{-3 - (-5)} = 0.879\cdot10^2 = 8.79\cdot10^1 \)
Додавання і віднімання вимагають, щоб всі числа були перетворені в однакову ступінь 10. (Це відповідає вишикуванню десяткових крапок.)
Оцініть наступне, даючи свою відповідь в науковому позначенні:
а)\((6.32\cdot10^2) – (1.83 \cdot10^\cdot{-1}) \)
б)\((3.72 \cdot10^4) + (1.63\cdot10^5) – (1.7 10^3) \)
Рішення:
а) Спочатку перетворіть на ту саму потужність 10; потім додайте звичайні числа.
\( \begin{align}&&6.32\cdot10^2&=& 632 \\&&–1.83\cdot10^{-1}&=& – 0.183 \\632 – 0.183&=& 631.817&=& 6.318 17\cdot10^2 \end{align}\)
б) Перетворити всі повноваження від 10 до 10 4.
\( \begin{align}3.72\cdot10^4 &=& 3.72 \cdot10^4 &=& 3.72 × 10^4 \\1.63\cdot10^5&=& 1.63\cdot10 \cdot10^4&=& 16.3 \cdot10^4 \\–1.7 \cdot10^3&=& –1.7 \cdot10^{-1}\cdot10^4&=& – 0.17\cdot10^4 \\ (3.72\cdot10^4) + (16.3\cdot10^4) - (0.17 \cdot10^4)&=& 19.85 \cdot10^4&=& 1.985\cdot10^5\end{align} \)
Наукові позначення з кожним днем стають все більш поширеними. Багато електронних кишенькових калькуляторів використовують його для вираження чисел, які в іншому випадку не вписуються в їх дисплеї. Наприклад, восьмизначний калькулятор не міг відобразити число 6 800 000 000. Десяткова крапка залишиться фіксованою праворуч, а 6 і 8 будуть «переповнюватися» в ліву сторону. Таке число часто відображається як 6,8 09, що означає 6,8 × 10 9. Якщо ви використовуєте калькулятор, який не має наукових позначень, ми рекомендуємо вам висловити всі числа як степені 10, перш ніж робити будь-яку арифметику. Дотримуйтесь правил в останніх двох прикладах, використовуючи ваш калькулятор, щоб зробити арифметику на звичайні числа. Ви повинні вміти додавати або віднімати повноваження 10 у вашій голові.
Комп'ютери також схильні друкувати результати в наукових позначеннях, і вони використовують ще одну незначну модифікацію. Надрукований номер 2.3074 E-07 означає, наприклад, 2.3074 × 10 —7. У цьому випадку E вказує, що наступне число є показником 10.
Занадто багато цифр
Знову ж таки, посилаючись на наш експеримент із забрудненням повітря (відкривається в новому вікні), ми могли б висловити масу диму, зібраного як 3,42 × 10 —2 г, і об'єм повітряної кулі як 1.021 926 4 × 10 7 см 3. Хоча в другій кількості є щось дивне. Він містить число, яке було скопійовано безпосередньо з дисплея електронного калькулятора і має занадто багато цифр.
Достовірність кількості, отриманої в результаті вимірювання, зазвичай вказується кількістю значущих цифр (або значущих цифр), які вона містить. Наприклад, три значущі цифри в кількості 3,42 × 10 —2 г говорять нам про те, що був використаний баланс, на якому ми могли відрізнити 3,42 × 10 —2 г від 3,43 × 10 —2 г або 3,41 × 10 —2 г Може виникнути питання про останню цифру, але ті, що знаходяться зліва з нього приймаються як повністю надійні. Інший спосіб вказати те ж саме - (3,42 ± 0,01) × 10 —2 г Наше вимірювання десь між 3,41 × 10 —2 г і 3,43 × 10 —2 г.
Як ще один приклад вибору відповідної кількості значущих цифр, ознайомимося з обсягом рідини в градуйованому циліндрі. Дно меніска лежить між градуюваннями, відповідними 38 і 39 см 3. Ми можемо оцінити, що це 38,5 см 3, але остання цифра може бути небагато - можливо, це виглядає як 38,4 або 38,6 см 3 для вас. Оскільки третя цифра знаходиться під питанням, слід використовувати три значущі цифри. Обсяг буде записаний як 38,5 см 3. Лабораторне обладнання часто калібрується аналогічно цьому градуйованому циліндру - ви повинні оцінити до найближчої десятої найменшої градуювання.
У деяких звичайних числах, наприклад, 0,001 23, нулі служать лише для знаходження десяткової крапки. Вони не вказують на надійність вимірювання і тому не є суттєвими. Ще однією перевагою наукового позначення є те, що можна вважати, що всі цифри значущі. Таким чином, якщо 0,001 23 записано як 1,23 × 10 —3, записуються тільки 1, 2 і 3, які вказують на достовірність вимірювання. Десяткова крапка розташовується степенем 10.
Якщо правило, виражене в попередньому пункті, застосовується до обсягу повітря, зібраного в нашому експерименті з забрудненням, 1.021 926 4 × 10 7 см 3, ми виявимо, що обсяг має вісім значущих цифр. Це означає, що було визначено ± 1 см 3 з приблизно 10 мільйонів см 3, надійність, яка відповідає розташуванню коника точно в певній точці вздовж дороги з Філадельфії до Нью-Йорка. Для експериментів, таких грубих, як наші, це навряд чи. Давайте подивимося, наскільки хорошим було вимірювання.
Ви нагадаєте, що ми розрахували обсяг від діаметра балона (відкривається в новому вікні), 106 дюймів. Три значні цифри означають, що це могло бути настільки ж великим, як 107 дюймів або як малі, як 105 дюймів. Ми можемо повторити розрахунок з кожною з цих величин, щоб побачити, наскільки далеко буде обсяг:
\[\begin{equation} \begin{split} r &= \frac{1}{2} \times \text{107 in} = \text{53.5 in} \times \frac{\text{1 cm}}{\text{0.3937 in}} \\ \\ &=135.890 27 \text{cm} \end{split} \end{equation} \nonumber \]
\[\begin{align} V &= \frac{4}{3} \times 3.141 59 \times (135.890 27)^3 \\ \\ &= 10 511 225 \text{cm}^3 = 1.051 122 5 \times 10^7 \text{cm}^3 \end{align} \nonumber \]
або
\[\begin{align} V &= \frac{4}{3} \times 3.14159 \times \left( \frac{1}{2} \times \text{105 in} \frac{\text{1 cm}}{\text{0.3937 in}}\right)^3 \\ \\ &= 9 932 759 \text{cm}^3 = 0.993 275 9 \times 10^7 \text{cm}^3 \end{align} \nonumber \]
Тобто обсяг становить від 0,99 × 10 7 до 1,05 × 10 7 см 3 або (1,02 ± 0,03) × 10 7 см 3. Ми повинні округлити наш результат до трьох значущих цифр, наприклад, 1,02 см³, тому що остання цифра, а саме 2, знаходиться під питанням.
- Всі цифри, що підлягають округленню, видаляються разом, а не по одній.
- Якщо крайня ліва цифра, яку потрібно видалити, менше п'яти, остання збережена цифра не змінюється.
- Якщо крайня ліва цифра, яку потрібно видалити, більше п'яти, остання збережена цифра збільшується на одиницю.
- Якщо крайня ліва цифра, яку потрібно видалити, дорівнює п'яти і принаймні одна з інших цифр, які потрібно видалити, не є нульовою. Остання збережена цифра збільшується на одиницю.
- Якщо крайня ліва цифра до нього видалена п'ять і всі інші цифри, які він видаляє, нуль, остання збережена цифра не змінюється, якщо вона парна, а збільшується на одиницю, якщо вона непарна.
Застосування Правил округлення чисел можна проілюструвати на прикладі.
Округліть кожне з чисел нижче до трьох значущих цифр.
- 34.7449
- 34.864
- 34.754
- 34.250
- 34.35
Рішення:
а) Застосовувати правила 1 і 2:
(Зверніть увагу, що інший результат буде отриманий, якщо цифри були неправильно округлені по одному праворуч.)
б) Застосовувати правила 1 і 3:34.8 64 → 34.9
в) Застосовувати правила 1 і 4:34.7 54 → 34.8
г) Застосовувати правила 1 і 5:34.2 50 → 34.2
д) Застосовувати правило 5:34.3 5 → 34.4
До скількох значущих цифр ми повинні округлити результати забруднення повітря? Ми вже зробили розрахунок, що включає множення і ділення для отримання обсягу нашого газозбірного балона. У ньому брали участь такі цифри:
| 106 | Три значущі цифри |
|---|---|
| 0,3937 | Чотири значущі цифри |
| 3.141 59 | Шість значущих цифр (ми могли б отримати більше, якщо хочемо) |
|
\(\frac{4}{3}\)і\(\frac{1}{2}\) |
Нескінченна кількість значущих цифр, оскільки цілі числа в цих дробах точні за визначенням. Точні, або «визначені» числа не враховуються при обчисленні значущих цифр. |
Результат розрахунку містив три значущі цифри — такі ж, як і найменш достовірне число. Це ілюструє загальне правило, що для множення і ділення кількість значущих цифр в результаті таке ж, як і при найменш достовірному вимірі. Визначені числа, такі як π, ½ або 100 см/1м, вважаються нескінченною кількістю значущих цифр.
У разі додавання і віднімання застосовується інше правило. Припустимо, наприклад, що ми зважували фільтр димозбірника на відносно неточному балансі, який можна було зчитувати тільки до найближчого 0,01 м Після збору проби фільтр був переважений на однокамерному балансі для визначення маси частинок диму.
Кінцева маса: 2,374 5 г (кольорові цифри під питанням)
Початкова маса: —2,3 2 г
Маса диму: 0,0 545 г
Оскільки початкове зважування могло бути десь від 2,31 до 2,33 г, всі три цифри в кінцевому результаті знаходяться під питанням. (Він повинен бути від 0,0445 до 0,0645 г). При цьому є тільки одна значуща цифра, а результат - 0,05г. Правило тут полягає в тому, що результат додавання або віднімання не може містити більше цифр праворуч, ніж є в будь-якому з доданих або відніманих чисел. Зверніть увагу, що віднімання може різко зменшити кількість значущих цифр при застосуванні цього правила.
Округлення чисел особливо важливо, якщо ви використовуєте електронний калькулятор, так як ці машини зазвичай відображають велику кількість цифр, більшість з яких безглузді. Найкраща процедура - довести всі цифри до кінця розрахунку (ваш калькулятор не буде проти зайвої роботи!) а потім округлити відповідним чином. Відповіді на наступні розрахунки в цій книзі будуть округлені за наведеними правилами. Можливо, ви захочете повернутися до попередніх прикладів і правильно округлити їх відповіді.
Оцініть наступні вирази, округляючи відповідь до відповідної кількості значущих цифр.
- \( \text{32.61 g} + \text{8.446 g} + \text{7.0 g} \)
- \( \text{0.136 cm}^3 \times \text{10.685 g cm}^{-3} \)
Рішення
- \(\text{32.61 g} + \text{8.446 g} + \text{7.0 g} = \text{48.056 g} = \text{48.1g (7.0 has only one figure to the right of the decimal point.)} \)
- \( 0.136 \text{cm}^3 \times 10.685 \text{g cm}^{-3} = \text{1.453 g} = \text{1.45g (0.136 has only three significant figures.)} \)
Коли ми запропонували заповнити надлишкову повітряну кулю, щоб виміряти, скільки газу було перекачено через наш колектор забруднення повітря, ми згадали, що це буде досить сирим способом визначення обсягу. З одного боку, було б не так просто виміряти діаметр 8- або 9-футової сфери надійно. Використовуючи мірку, нам пощастило б, що послідовні вимірювання узгоджуються в межах півдюйма або близько того. Саме з цієї причини про результат було повідомлено найближчим дюймом. Ступінь, до якої повторні вимірювання однієї і тієї ж величини дають однаковий результат, називається точністю. Повторення високоточного вимірювання дало б майже однакові результати, тоді як низька точність передбачає, що цифри відрізнялися б на значний відсоток один від одного.
Дуже точне вимірювання діаметра нашої повітряної кулі може бути досягнуто, але це, мабуть, не варто. Ми припустили кулясту форму, але це майже напевно не зовсім правильно. Як би точно не визначили діаметр, на наше вимірювання обсягу газу будуть впливати відхилення від передбачуваної форми. Коли одне або кілька наших припущень щодо вимірювального приладу помилкові, це вплине на точність результату. Очевидним прикладом може бути правило стопи, розділене на 11 рівних дюймів. Вимірювання з використанням цього приладу можуть погодитися дуже точно, але вони були б не дуже точними.
Важливий момент іншого роду проілюстрований в останніх двох абзацах. У мову науки було прийнято безліч загальних слів. Зазвичай таке прийняття супроводжується однозначним науковим визначенням, яке не фігурує в звичайному словнику. Точність і точність багато разів трактуються як синоніми, але в науці кожен має дещо інше значення. Інший приклад - кількість, яку ми визначили термінами «число × одиниця». Інші англійські слова, такі як bulk, size, amount тощо, можуть бути синонімами кількості в повсякденному мовленні, але не в науці. Коли ви стикаєтеся з іншими подібними словами, намагайтеся якомога швидше вивчити та використовувати наукове визначення та уникайте плутати його з іншими значеннями, які ви вже знаєте.
Навіть надаючи грубість вимірювань, які ми щойно описали, вони були б адекватними, щоб продемонструвати, чи існує проблема забруднення повітря. Наступним кроком було б знайти хіміка або чиновника охорони здоров'я, який був експертом у оцінці якості повітря, представити свої дані та переконати цю людину надати свою майстерність та авторитет вашому твердженню, що щось не так. Така людина мала б доступне обладнання, точність і точність якого були адекватними для високонадійних вимірювань і змогла б робити авторитетні публічні заяви про масштаби проблеми забруднення повітря.
Веб-джерела
Кілька сайтів були натхненні Чарльзом Еймсом «Сили десяти» Сил десяти™ (1977) (відкривається в новому вікні) [www.powersof10.com (відкривається в новому вікні)]: Word Wizz (відкривається в новому вікні) [www.wordwizz.com] Таємні світи: Всесвіт всередині (відкривається в новому вікно) [мікро.магнет.fsu.edu]