Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.3: Значущі цифри і порядок

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75253

    • Boundless
    • Boundless
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Наукові позначення

    Наукові позначення - це спосіб написання занадто великих або занадто малих чисел в зручній і стандартній формі.

    навчальні цілі

    • Перетворюйте належним чином між стандартними та науковими позначеннями та визначте відповідні ситуації для його використання

    Наукові позначення: справа зручності

    Наукові позначення - це спосіб написання занадто великих або занадто малих чисел в зручній і стандартній формі. Наукова позначення має ряд корисних властивостей і зазвичай використовується в калькуляторах і вченими, математиками та інженерами. У науковому позначенні всі числа записуються у вигляді\(\mathrm{a⋅10^b}\) (\(\mathrm{a}\)множиться на десять підвищених до ступеня\(\mathrm{b}\)), де показник\(\mathrm{b}\)) - ціле число, а коефіцієнт (\(\mathrm{a}\)є будь-яким дійсним числом.

    зображення

    Наукове позначення: Є три частини для написання числа в наукових позначеннях: коефіцієнт, база та показник.

    Більшість цікавих явищ в нашому Всесвіті не в людських масштабах. Було б потрібно близько 1 000 000 000 000 000 000 бактерій, щоб зрівняти масу людського тіла. Відкриття Томаса Янга про те, що світло - хвиля, передувало використанню наукових позначень, і він зобов'язаний був написати, що час, необхідний для однієї вібрації хвилі, становило «\(\frac{1}{500}\)мільйонну частку мільйонної секунди»; незручний спосіб вираження точки зору. Наукові позначення - це менш незграбний і багатослівний спосіб написання дуже великих і дуже малих чисел, таких як ці.

    Проста система

    Наукове позначення означає написання числа в терміні добутку чогось від 1 до 10 і щось інше, що є силою десяти.

    Наприклад,\(32=3.2⋅10^1\)

    \(320=3.2⋅10^2\)

    \(3200=3.2⋅10^3\), і так далі...

    Кожне число в десять разів більше попереднього. Так як\(10^1\) в десять разів менше\(10^2\), має сенс використовувати позначення для\(10^0\) позначення для одного, числа, яке в свою чергу в десять разів менше\(10^1\). Продовжуючи далі, ми можемо\(10^{−1}\) написати стояти для 0.1, число в десять разів менше, ніж\(10^0\). Негативні показники використовуються для малих чисел:

    \(3.2=3.2⋅10^0\)

    \(0.32=3.2⋅10^{−1}\)

    \(0.032=3.2⋅10^{−2}\)

    Наукові позначення, що відображаються калькуляторами, можуть приймати інші скорочені форми, які означають те ж саме. Наприклад,\(3.2⋅10^6\) (письмові позначення) це те ж саме, що і\(\mathrm{3.2E+6}\) (позначення на деяких калькуляторах) і\(3.2^6\) (позначення на деяких інших калькуляторах).

    Помилка округлення

    Похибка округлення - це різниця між розрахунковим наближенням числа і його точним математичним значенням.

    навчальні цілі

    • Поясніть, який вплив можуть мати помилки округлення на розрахунки, і як зменшити цей вплив

    Помилка округлення

    Похибка округлення, також звана похибкою округлення, - це різниця між розрахунковим наближенням числа і його точним математичним значенням. Чисельний аналіз спеціально намагається оцінити цю помилку при використанні рівнянь наближення, алгоритмів або обох, особливо при використанні скінченно багатьох цифр для представлення дійсних чисел. При проведенні послідовності розрахунків, схильних до похибок округлення, можуть накопичуватися помилки, іноді домінують при розрахунку.

    Розрахунки рідко призводять до цілих чисел. Як такі значення виражаються у вигляді десяткової з нескінченними цифрами. Чим більше цифр буде використано, тим точніше будуть розрахунки по завершенню. Використання безлічі цифр у кількох розрахунках, однак, часто нездійсненне, якщо обчислення вручну, і може призвести до набагато більшої людської помилки при відстеженні такої кількості цифр. Щоб зробити обчислення набагато простіше, результати часто «округляються» до найближчих кількох десяткових знаків.

    Наприклад, рівняння знаходження площі кола є\(\mathrm{A=πr^2}\). Число\(π\) (pi) має нескінченно багато цифр, але може бути обрізане до округленого уявлення як 3,14159265359. Однак для зручності виконання розрахунків від руки це число зазвичай округляють ще далі, до найближчих двох знаків після коми, даючи всього 3,14. Хоча це технічно знижує точність розрахунків, похідне значення, як правило, «досить близько» для більшості цілей оцінки.

    Однак при виконанні ряду обчислень числа округляються на кожному наступному кроці. Це призводить до накопичення помилок, а якщо вони досить глибокі, може спотворювати обчислені значення і привести до прорахунків і помилок.

    Нижче наведено приклад помилки округлення:

    \(\sqrt{4.58^2+3.28^2}=\sqrt{21.0+10.8}=5.64\)

    Округлення цих чисел до одного знака після коми або до найближчого цілого числа змінить відповідь на 5,7 і 6 відповідно. Чим більше округлення, що зроблено, тим більше помилок вводиться.

    Порядок розрахунків

    Порядок величини - це клас масштабу будь-якої величини, в якому кожен клас містить значення фіксованого відношення до класу, що передує йому.

    навчальні цілі

    • Вибирайте, коли доцільно виконати розрахунок на порядок

    Порядки величини

    Порядок величини - це клас масштабу будь-якої величини, в якому кожен клас містить значення фіксованого відношення до класу, що передує йому. У найпоширенішому використанні масштабована сума становить 10, а шкала - це показник, застосований до цієї суми (отже, бути на порядок більше - це 10 разів, або 10 до ступеня 1, більше). Такі відмінності в порядку величини можуть вимірюватися за логарифмічною шкалою в «десятиліттях», або множниками десяти. Серед вчених і технологів прийнято говорити, що параметр, значення якого точно не відомо або відомо тільки в межах діапазону, знаходиться «на порядку» якогось значення. Порядок величини фізичної величини - це її величина в степенях десяти, коли фізична величина виражається в степенях десяти з однією цифрою зліва від десяткової.

    Порядки, як правило, використовуються для проведення дуже приблизних порівнянь і відображення дуже великих відмінностей. Якщо два числа відрізняються на один порядок, одне приблизно в десять разів більше іншого. Якщо вони відрізняються на два порядки, то відрізняються в коефіцієнт близько 100. Два числа однакового порядку мають приблизно однакову шкалу — більша величина менше, ніж в десять разів менша величина.

    Важливо в галузі науки, щоб оцінки були хоча б в правильному бальному парку. У багатьох ситуаціях часто буває достатньо, щоб кошторис знаходився в межах порядку розглянутого значення. Хоча складання оцінок на порядок здається простим і природним для досвідчених вчених, це може бути абсолютно незнайомим для менш досвідчених.

    Приклад\(\PageIndex{1}\):

    Деякі ментальні кроки оцінки на порядки проілюстровані у відповіді на наступний приклад питання: Приблизно який відсоток ціни помідора виходить від вартості його транспортування у вантажівці?

    зображення

    вгадати кількість драже: ви можете здогадатися, скільки драже в банку? Якщо ви спробуєте вгадати безпосередньо, ви майже напевно будете недооцінювати. Правильний спосіб зробити це - оцінити лінійні розміри, а потім опосередковано оцінити обсяг.

    Неправильне рішення: Припустимо, далекобійнику потрібно отримати прибуток на поїздці. Беручи до уваги її переваги, вартість газу, а також обслуговування та платежі на вантажівці, скажімо, загальна вартість більше схожа на 2000. Ви можете здогадатися, що близько 5000 помідорів помістяться в задній частині вантажівки, тому додаткова вартість помідора становить 40 центів. Це означає, що вартість транспортування одного помідора порівнянна з вартістю самого помідора.

    Проблема полягає в тому, що людський мозок не дуже добре оцінює площу чи об'єм - виявляється, що оцінка 5000 помідорів, що встановлюються у вантажівці, далеко. (Ось чому людям важко проводити конкурси оцінки обсягу, такі як показано нижче.) При оцінці площі або обсягу, вам набагато краще оцінювати лінійні розміри та обчислювати обсяг звідти.

    Отже, ось краще рішення: Як і раніше, скажімо, вартість поїздки становить 2000 доларів. Розміри бункера, ймовірно, 4м на 2м на 1м, для обсягу\(\mathrm{8 \; m^3}\). Оскільки наша мета - це лише оцінка порядку величини, давайте округляємо цей обсяг до найближчої потужності десяти:\(\mathrm{10 \; m^3}\). Форма помідора не відповідає лінійним розмірам, але оскільки це лише оцінка, давайте зробимо вигляд, що помідор - це куб 0,1 м на 0,1 м на 0,1 м, об'ємом\(\mathrm{1⋅10^{−3} \; m^3}\). Загальна кількість помідорів ми можемо дізнатися, розділивши обсяг бункера на обсяг одного помідора:\(\mathrm{\frac{10^3 \; m^3}{10^{−3} \; m^3}=10^6}\) помідорів. Вартість транспортування помідор -\(\mathrm{\frac{\$2000}{10^6 \; tomatoes}=\$ 0.002}\) за помідор. Це означає, що транспортування дійсно не дуже сприяє вартості помідора. Наближення форми помідора як куба є прикладом іншої загальної стратегії складання оцінок на порядок величини.

    Ключові моменти

    • Наукове позначення означає написання числа в терміні добутку чогось від 1 до 10 і щось інше, що є силою 10.
    • У науковому позначенні всі числа записуються у вигляді\(\mathrm{a⋅10^b}\) (раз десять піднятих до ступеня б).
    • Кожне послідовне число експоненти в десять разів більше попереднього; негативні показники використовуються для малих чисел.
    • Коли проводиться послідовність розрахунків, схильних до похибки округлення, ці помилки можуть накопичуватися і привести до спотворення розрахункових значень.
    • Збільшення кількості цифр, дозволених у поданні, зменшує величину можливих помилок округлення, але не завжди може бути здійсненним, особливо при виконанні ручних обчислень.
    • Ступінь, до якої округлені числа, відноситься щодо мети розрахунків і фактичного значення.
    • Порядки, як правило, використовуються для проведення дуже приблизних порівнянь і відображення дуже великих відмінностей.
    • У галузі науки часто буває достатньо, щоб оцінка була в межах порядку розглянутого значення.
    • Оцінюючи площу або об'єм, вам набагато краще оцінювати лінійні розміри та обчислювальний об'єм від цих лінійних розмірів.

    Ключові умови

    • експонента: сила, до якої слід підняти число, символ або вираз. Наприклад, 3 в\(x^3\).
    • Наукові позначення: Метод запису або відображення дійсних чисел у вигляді десяткового числа від 1 до 10 з подальшим цілим степенем 10
    • наближення: Неточне рішення або результат, адекватний для певної мети.
    • Порядок величини: Клас масштабу або величини будь-якої величини, де кожен клас містить значення фіксованого відношення (найчастіше 10) до класу, що передує йому. Наприклад, те, що на 2 порядки більше 100 разів більше; те, що на 3 порядки більше 1000 разів більше; і те, що на 6 порядків більше, в мільйон разів більше, тому що\(10^2 = 100, 10^3 = 1000,\) і\(\mathrm{10^6 = one \; million}\)

    ЛІЦЕНЗІЇ ТА АВТОРСТВА

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ КОНТЕНТ, РАНІШЕ ДІЛИВСЯ

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ ВМІСТ, СПЕЦИФІЧНА АТРИБУЦІЯ