2.14: Категорична логіка

Розглянемо наступний аргумент:

1. Всі люди смертні
2. Всі смертні речі вмирають
3. Тому всі люди гинуть

Якби ми застосували неформальний тест на валідність (з глави 1) до цього аргументу, ми побачили б, що аргумент є дійсним, оскільки неможливо уявити сценарій, в якому передумови є істинними, і все ж висновок помилковий. Однак подивіться, що станеться, якщо ми спробуємо перевести його за допомогою пропозіційної логіки. Оскільки «всі люди смертні» є атомним, (тобто він не містить жодних істинних функціональних операторів), ми можемо перевести його за допомогою константи «H». Друга передумова, «всі смертні речі вмирають», також є атомною, тому ми можемо перевести її за допомогою константи «М». Нарешті, висновок - це ще одне атомне твердження: «Всі люди вмирають», яке ми можемо перекласти «D». Але тоді форма нашого аргументу якраз така:

1. Н
2. М
3,0 Д

Проблема полягає в тому, що цей аргумент не є дійсним, що ми можемо чітко побачити, будуючи таблицю істинності. Оскільки існує три різні атомні компоненти, наша таблиця істинності буде 8 рядків. (У наступній таблиці істинності, оскільки опорні стовпці будуть просто ідентичні стовпцям передумови та висновку, я просто згорнув два, щоб зробити таблицю істинності менш зайвою.)

H	М	D
Т	Т	Т
Т	Т	F
Т	F	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	Т	F
F	F	Т
F	F	F

Зверніть увагу на другий рядок таблиці істинності (яку я виділяв жирним шрифтом). Передумови є істинними на цьому рядку, і все ж висновок помилковий. Це означає, що цей аргумент не проходить перевірку достовірності таблиці істинності і тому є недійсним. Але явно цей аргумент є справедливим. Якщо це правда, що всі люди смертні і що всі смертні речі вмирають, то повинно бути правдою, що всі люди вмирають. Те, що розкриває цей аргумент, є одним із обмежень логіки пропозиції. Є деякі аргументи, які є інтуїтивно дійсними (наприклад, цей), але які не можуть бути показані дійсними за допомогою методів логіки пропозицій. Це показує, що нам потрібні інші види формальної логіки, щоб мати можливість захопити більш широкий спектр логічно достовірних висновків. Категорична логіка дозволяє нам доповнити логіку пропозиції формальним методом, який буде обробляти такі аргументи, які логіка пропозиції не в змозі обробити.

Категорична логіка - це логіка, яка займається логічним зв'язком між категоріальними висловлюваннями. Категоричне твердження - це просто твердження про категорію або тип речі. Наприклад, перша передумова вищевказаного аргументу - це твердження про категорії людей і речей, які є смертними. Друга передумова - це твердження про категорії речей, які є смертними, і речей, які вмирають. Нарешті, висновок - це твердження про людей і речі, які вмирають. Хоча ви можете подумати, що цей аргумент як подібна форма як гіпотетичний силогізм, він відрізняється від гіпотетичного силогізму, оскільки приміщення не складаються з двох різних атомних пропозицій. Швидше, кожна передумова містить лише одне атомне пропозицію.

У категоріальній логіці логічними термінами (аналогом істинності функціональних операторів супозиційної логіки) є терміни «все» і «деякі». На відміну від логіки пропозиції, в категоріальній логіці ми будемо використовувати великі літери для позначення категорій речей у світі, а не для атомних пропозицій. Таким чином, ми можемо уявити твердження:

Всі люди смертні

як

Всі H є M

де «Н» позначає категорію «люди», а «М» позначає категорію, «речі, які смертні». Зверніть увагу, що категорії є іменниками або іменними словосполученнями. Таким чином, замість того, щоб сказати, що категорія «смертна», я сказав, що категорія - це «речі, які є смертними». Важливо визнати різницю між тим, як великі літери використовуються в категоріальній логіці і тим, як вони використовувалися в логіці пропозицій. У категоріальній логіці великі літери означають іменні фрази, які позначають категорії речей у світі - наприклад, «автомобілі» або «штучні речі» або «ссавці» або «речі, які червоні».

У категоріальній логіці ми будемо використовувати так звані діаграми Венна для представлення логічних зв'язків між різними видами категоричних висловлювань. Діаграма Венна - це просто спосіб графічного представлення логічного зв'язку між двома різними категоричними твердженнями. Нижче наведена діаграма Венна, яка представляє твердження: «всі люди смертні».

Ось як зрозуміти цей Венн. Є два кола, які представляють дві категорії, «люди» та «речі, які є смертними». Ці дві категорії перекриваються так, що перетин цих двох категорій (тобто місця, де два кола перекриваються) представляє речі, які є як людськими, так і смертними. Будь-які затінені частини діаграми Венна (під «затіненим» я буду мати на увазі «затемнений») означають, що в цій області категорії нічого немає. Отже, вищезгаданий Венн говорить, що немає нічого в категорії «люди», що не є також в категорії «речі, які є смертними». Вищезазначене Венн також дозволяє, що є речі, які належать до категорії «речі, які є смертними», але які не входять до категорії «люди» (що так повинно бути, оскільки, звичайно, собаки смертні і ще не люди). Отже, причина, по якій категорія «речі смертні» залишається незатіненою, полягає в тому, що, кажучи «всі люди смертні», я залишаю відкритою можливість того, що є речі, які не є людськими, а ще смертними.

Як зазначалося вище, твердження, «всі люди смертні», має особливу форму:

Всі H є M.

Це одна з чотирьох категоричних форм. Те, як ми представлятимемо ці категоричні форми, як правило, мають «S» (що розшифровується як «суб'єкт термін») та «P» (що означає «присудковий термін»). Таким чином, категоричне твердження «всі люди смертні», має наступну категоричну форму:

Всі S є P

Те, як ми трактуємо твердження цієї форми, полягає в наступному: все в категорії S також знаходиться в категорії П. Ця форма твердження - це те, що ми називаємо «універсальним ствердним», оскільки це універсальне твердження, яке не містить заперечення. Є ще три категоричні форми висловлювання, з якими вам доведеться ознайомитися, щоб зайнятися категоричною логікою. Ось вони (з назвою типу висловлювання в дужках праворуч:

Немає S є P (універсальний негатив)

Деякі S є P (особливо ствердно)

Деякі S не є P (особливо негативними)

Ось три приклади тверджень, які мають ці три форми (відповідно):

Жодні плазуни не народжують

Деякі птахи вище, ніж президент Обама

Деякі птахи не літають

Зауважте, що, хоча ці три твердження не мають точно такої ж форми, як наведені вище форми, вони можуть бути переведені в ті самі форми. Все, що нам потрібно зробити, це з'ясувати іменну фразу, яка описує кожну категорію, на яку посилається твердження. Почнемо з «жодні рептилії не народжують живих». Це категоричне твердження відноситься до двох різних категорій: категорії «плазунів» і категорії «речі, які народжують життя». Зауважте, знову ж таки, що я додав «речі, які...» до присудка речення («народжувати жити»), оскільки «народжувати жити» не є описом категорії. Швидше, спосіб опису категорії - з іменною фразою «речі, які народжують живі». Використовуючи ці два описи категорій, ми можемо перевести це речення так само, як і його категорична форма. Все, що нам потрібно зробити, це підставити назву предметної категорії (тобто термін «S») та опис категорії присудків (тобто термін «P»). Роблячи це, дасть наступне речення:

Ніякі плазуни - це речі, які народжують живі

Хоча це речення звучить дивно англійською мовою, воно має ту ж форму, що і категорична форма, немає S є P, і цей переклад дозволяє нам чітко бачити, що це робить, і таким чином побачити, що це за дві категорії. Ось як виглядає діаграма Венна для цього твердження:

Ця діаграма Венна показує, що немає нічого в перетині двох категорій, «рептилії» та «речі, які народжують живі». Якщо ви думаєте про це, це саме те, що говорило наше оригінальне твердження: немає нічого, що є одночасно і рептилією, і народжує живі.

Давайте подивимося на наступне твердження: «Деякі птахи вище, ніж президент Обама». Це твердження не про всіх птахів, а про деяких птахів. Які дві категорії? Одна категорія - це явно «птахи». Інша категорія - «речі, які вище, ніж президент Обама». Це може здатися дивною категорією, але це цілком законна категорія. Вона включає в себе такі речі, як дорослі страуси, великі ведмеді грізлі стоять на задніх лапах, жирафи, Flatiron Building, шкільний автобус і т.д. ось як ми б перекласти це речення, використовуючи наші дві категорії: Деякі птахи є речі, які вище, ніж президент Обама. Знову ж таки, хоча це речення звучить дивно англійською мовою, воно має ту ж форму, що і категорична форма, деякі S - P, і це дозволяє нам чітко бачити, що таке дві категорії. Нижче наведена діаграма Венна для цього твердження:

За умовністю зірочка на діаграмі Венна означає, що в цій категорії є хоча б одна річ. Поставивши зірочку на перетині двох категорій, ми говоримо, що є принаймні одна річ, яка є птахом і вище, ніж президент Обама, що саме те, що говорило наше оригінальне речення.

Нарешті, давайте розглянемо твердження: «деякі птахи не літають». Як би ми перевели це речення, щоб мати форму «деякі S не P»? Перший крок - отримати описи двох категорій, використовуючи або іменники, або іменникові фрази.

Термін «S» простий; це просто «птахи» знову. Але ми повинні бути трохи обережніше з терміном «P», оскільки його присудок містить заперечення. Ми не хочемо, щоб жодна з наших категорій містила заперечення. Швидше, заперечення міститься у вигляді (тобто «не»). Категорія не може бути просто «літати» або навіть «мухи», оскільки жодна з них не є категорією речей. Ми повинні використовувати наш трюк перетворення присудка в іменну фразу, тобто «речі, які літають». Враховуючи ці два описи категорій, ми можемо потім перевести речення, щоб мати категоричну форму, деякі S не є P:

Деякі птахи - це не речі, які літають

Знову ж таки, хоча англійська тут звучить незграбно, вона має ту ж форму, що і категорична форма, деякі S не є P, і це дозволяє нам чітко бачити, що таке дві категорії. Нижче наведена діаграма Венна для цього твердження:

За умовністю зірочка на діаграмі Венна означає, що в цій категорії є хоча б одна річ. Помістивши зірочку всередині категорії «птахи», але поза категорією «речі, які літають», ми представляємо, що принаймні одна річ, яка є птахом, це не річ, яка летить. Це саме те, що говорило наше оригінальне речення.

Перевести категоричні висловлювання в їх категоричну форму можна по хитрості. Насправді, це, мабуть, одна з найскладніших речей, які ви будете робити в формальній логіці. Немає простого способу зробити це, окрім як запитати себе, чи точно ваш переклад відображає значення оригінального англійського речення. Ось приклад хитрого категоричного висловлювання:

Ніхто не любить мене, крім мами.

Це категоричне твердження, але яку з чотирьох категоричних форм воно має? Перший крок - запитати, на які дві категорії посилаються в цьому реченні. Ось дві категорії: «речі, які мене люблять» і «речі, які є моєю матір'ю». Зверніть увагу, що категорія не може бути просто «моя мати», оскільки це не категорія; це особлива річ. Знову ж таки, це звучить дивно, але важливо пам'ятати, що ми описуємо категорії речей. Наступне питання: що це речення говорить про зв'язок між цими двома категоріями? Підказка: вона повинна бути однією з чотирьох категоричних форм (оскільки будь-яке категоричне твердження можна перевести в одну з цих чотирьох форм). Речення говорить про те, що єдине, що мене любить, - це речі, які є моєю матір'ю. Категоричною формою висловлювання є форма «все S - P». Таким чином, пропозиція, переведена в правильну категоричну форму, буде такою:

Все, що мене любить, - це речі, які є моєю матір'ю.

Ми закінчимо цей розділ останнім прикладом. Розглянемо наступне категоричне твердження:

Бабуїн - грізний звір.

Яку з чотирьох категоричних форм має це твердження? Хоча стаття «The», яка часто позначає деталі, може змусити думати, що це особлива ствердна форма (деякі S є P), це насправді універсальна ствердна форма (всі S є P). Це англійське речення має сенс «бабуїни - це страшні звірі», а не «що (зокрема) бабуїн - страшний звір». Англійська мова дивна, саме це робить переклад однією з найскладніших частин логіки. Отже, дві категорії: «бабуїни» і «страшні звірі». Зверніть увагу, що оскільки «страшні звірі» вже є іменною фразою, ми не повинні додавати до неї «речі, які є...». Використовуючи описи двох категорій, переклад у категоріальну форму «всі S є P» таким чином:

Всі бабуїни - страшні звірі.

У цьому розділі ми дізналися, що таке категоричне твердження, як перевести категоричні висловлювання в одну з чотирьох категоріальних форм і як побудувати діаграми Венна для кожної з чотирьох категоріальних форм. Наступні вправи дадуть вам деяку практику з перекладовою частиною; в наступних розділах ми навчимося використовувати діаграми Венна як формальний метод оцінки певного класу аргументів.

Вправа

Переведіть кожне з наступних пропозицій в одну з чотирьох категоричних форм (універсальна ствердна, універсальна негативна, особлива ствердна, особливо негативна). Переконайтеся, що описи двох категорій є іменниками або іменниковими фразами (а не прикметниками чи дієсловами).

1. Справжні чоловіки носять рожевий колір.
2. Динозаври - це не птахи.
3. Птахи еволюціонували з динозаврів.
4. Деякі ссавці не є хижаками.
5. Деякі хижаки не є ссавцями.
6. Не всі, хто блукає, губляться.
7. Всі президенти - не жінки.
8. Боксери не багаті.
9. Якщо хтось спить, то вони не свідомі.
10. Якщо хтось свідомий, то вони не сплять.
11. Все добре, що закінчується добре.
12. Мої друзі єдині, хто піклується.
13. Хтось тебе любить.
14. Ісус любить всіх.
15. Ісус любить маленьких дітей.
16. Деякі люди не люблять Ісуса.
17. Тільки пішоходи можуть користуватися Аппалачської стежкою.
18. Президентом можуть бути тільки громадяни.
19. Той, хто є індусом, вірить в Бога.
20. Все, що є дешевим, не є хорошим.
21. Деякі дорогі речі не годяться.
22. Не у всіх ссавців є ноги.
23. Є пари без дітей.
24. Немає людей, які ненавидять шоколад.
25. Є люди, які ненавидять кішок.
26. Нічого, що є гострим, не є безпечним.
27. Жоден пудель не міг бігти швидше гепарда.
28. Жоден професійний бігун не повільний.
29. Бабуїни не дружні.
30. Свині з'їдять що завгодно.