1.1: Основи наборів
- Page ID
- 66904
Вам знадобляться: Монети (Матеріальна картка 1), A-Blocks (Матеріальні картки 2A—2E)
Ви коли-небудь збирали що-небудь? Якщо так, то що?
Назвіть деякі речі, які люди можуть збирати, включаючи все, що збирають люди у вашій групі.
Припустимо, хтось зібрав 25 монет з 1964 —1969 років.
а Які різні типи монет можуть бути в їх колекції?
б Назвіть один із способів сортування монет за групами.
c Чи можете ви придумати інший спосіб сортування їх за групами? Поясніть.
d Як ви думаєте, як дитина сортує їх?
Припустимо, це 25 монет, які були зібрані:
1966 пенні, 1967 нікель, 1966 квартал, 1967 пенні, 1965 пенні, 1966 півдолара, 1967 квартал, 1965 копійки, 1967 копійки, 1968 квартал, 1964 копійки, 1966 копійки, 1966 копійки, 1967 півдолара, 1966 копійки, 1966 копійки, 1964 квартал, 1969 квартал, 1969 півдолара, 1965 півдолара, 1968 копійки, 1968 копійки, 1964 квартал, 1965 квартал, 1969 дайм, 1968 нікель
Щоб спростити написання кожної монети, давайте скоротимо 1966 пенні на\(6P\), а 1967 нікель на\(7N\) і т.д. так що в нашій колекції ми маємо наступне:
\(6P, 7N, 6Q, 7P, 5P, 6H, 7Q, 5D, 7D, 8Q, 4D, 6N, 5N, 7H, 6D, 4N, 9Q, 9H, 5H, 8P, 8D, 4Q, 5Q, 9D \text{ and } 8N\)
Фізична модель цих монет знаходиться на Material Card 1. Якщо ви ще цього не зробили, виріжте набір монет з цієї матеріальної карти і використовуйте їх, щоб виконати кілька з наступних вправ.
Сортуйте монети на п'ять груп; копійки, нікелі, копійки, чверті і половину доларів. Використовуючи абревіатури на кожній монеті, перерахуйте монети, які входять до кожної групи (наприклад\(6P, 7N, 6Q, 7P, 5P\), тощо). Кожна монета повинна бути вказана цифрою та літерою. Ви не можете просто написати лист або цифру, наприклад, 6 або 5 або\(P\). Кожна монета складається з одного з кожного! Це все одно, що писати ініціали імені та прізвища замість повного імені.)
a. копійки: ___ (Ви перерахували 4 копійки?)
b. dimes: ___ (Ви перерахували 6 копійок?)
c. половина доларів: ___ (Ви перерахували 4 з них?)
d Тепер відсортуйте монети по групах по роках. Скільки груп існує? Перерахуйте дві різні групи і які монети йдуть в кожну групу. Не забудьте перерахувати кожну монету окремо, кожна з 25 монет має цифру, за якою слідує буква.
Колекція монет, з якими ми працювали, називається набором. Набір - це просто сукупність предметів. Тобто визначення множини (без слова «просто»).
Визначити набір: набір
У вправах\(e \text{ and } f\) ви групували елементи або члени множини в різні підмножини. Елементи множини є об'єктами в наборі. В даному випадку елементами набору є 25 різних монет.
Визначити елементи: Елементи множини
Підмножина також є множиною. Коли ми говоримо про підмножини, це стосується іншого набору. Наприклад, набір копійок в колекції вище є підмножиною колекції монет.
Нижче наведено формальне визначення підмножини:
Множина B є підмножиною множини C, якщо кожен елемент множини B є елементом множини C.
Щоб показати, що один набір не є підмножиною іншого множини, у першому наборі повинен бути елемент, якого немає у другому наборі.
Є одна річ про набори, що бентежить багатьох людей. За визначенням ми говоримо, що множина - це сукупність об'єктів. Але насправді набір не може мати ніяких елементів в ньому. Набір, що не містить елементів, називається порожнім набором або нульовим набором. Подивіться на визначення підмножини дуже уважно. Чи є нульовий набір є підмножиною кожного набору?
Я сподіваюся, що це був ваш висновок: нульовий набір є підмножиною кожного набору.
Визначити нульовий набір: ___
Зверніть увагу, що в моєму визначенні підмножини на попередній сторінці я використовував літери B і C для своїх наборів. Мені не довелося використовувати ці букви. Вони просто фіктивні змінні так само, як коли ми використовуємо\(x, y \text{ and } n\) в алгебрі!! Ось ще один прекрасний спосіб визначити підмножини: множина R є підмножиною множини Q, якщо кожен елемент множини R є елементом множини Q.
Використовуйте інші літери, ніж просто використані для визначення підмножини:
Ми зазвичай використовуємо багато скорочень в математиці, щоб це не так громіздко писати все. Багато разів ми вибираємо велику літеру для представлення множини або підмножини та визначаємо набір цією літерою. Зараз я визначу деякі набори: Набір з 25 монет, з якими ми працювали, буде визначено як C. Підмножини копійок, нікелів, копійок, чвертей і половини доларів будуть позначатися P, N, D, Q і H відповідно. Зверніть увагу, що я дав їм значущі літери, так що легко запам'ятати, яка буква позначає яку підмножину.
Одним із способів опису множини є перерахування його об'єктів, якщо це можливо. (Пізніше ми обговоримо, чому це не завжди практично або можливо.) Коли ми перераховуємо об'єкти, ми робимо це всередині фігурних дужок, використовуючи коми, щоб відокремити елементи. Порядок, в якому перераховані елементи, не має значення. Використовуючи метод лістингу, одним із способів написати нашу колекцію монет, встановити C, є
\( \mathbf{C} = \{ 6P, 7N, 6Q, 7P, 5P, 6H, 7Q, 5D, 7D, 8Q, 4D, 6N, 5N, 7H, 6D, 4N, 9Q, 9H, 5H, 8P, 8D, 4Q, 5Q, 9D, 8N \}\)
Нехай S буде підмножиною монет з 1964 року, V з 1965 року, W з 1966, X з 1967, Y з 1968, Z з 1969 і Т з 1970. Є P, N, D, Q, H, S, V, W, X, Y, Z і T всі підмножини C? ___ Використовуючи правильні позначення, випишіть ці 12 наборів методом лістингу, перерахувавши елементи в кожному наборі. Єдині елементи в С - це ті, що перераховані вище цієї вправи. Зверніть увагу, що 6P є одним елементом у P, оскільки 6P - це особлива копійка в C, але 6 не є елементом, а P не є елементом. Різниця між тим, як ви пишете відповіді тут і як ви зробили це у вправі 4 полягає в тому, що ви використовуєте належне позначення з дужками, і коми між елементами.
| N = ___ | Ш = ___ |
| Q = ___ | У = ___ |
| S = ___ | Т = ___ |
Спосіб виразити, що елемент, як 4D, знаходиться в наборі C є символом, що означає «є елементом». Пишемо: 4D (читаємо «4D - елемент С»).
Нехай A представляють собою монети в один долар в нашому наборі C. Зверніть увагу, що набір A порожній. Ми можемо показати, що A не містить елементів, написавши A = {\(\varnothing\)}. Також записується нульовий або порожній набір\(\varnothing\). Отже, ми також можемо написати A =\(\varnothing\). Насправді, {} =\(\varnothing\) завжди. Правильно написати нуль або порожній набір в будь-якому випадку. Але зауважте, що неправильно писати нульовий набір так: {\(\varnothing\)}. Це було б набір, який містить принаймні один елемент нульовий набір! Подивіться, як це може бути трохи заплутаним?
Тепер до деяких питань про підмножини...
а Чи є якийсь елемент в N, якого немає в D? ___ Якщо так, то назвіть один: ___
b З вашої роботи в частині a, дайте відповідь на це питання: N є підмножиною D? ___
c Чи є якийсь елемент в A, який не знаходиться в C? ___ Якщо так, то назвіть один: ___
d З вашої роботи в частині а, відповісти на це питання: Чи є підмножиною C? ___
Символ\(\subseteq\) означає «є підмножиною», і тому спосіб виразити, що P є підмножиною C є шляхом написання. Оскільки N також є підмножиною C, ми можемо записати N\(\subseteq\) C. Якщо перший набір має менше елементів, ніж другий набір, то перша множина є належною підмножиною другого множини. У цьому випадку символ\(\subseteq\) може використовуватися замість\(\subseteq\). Отже, у випадку з монетами також правильно записати P\(\subset\) C і N\(\subset\) C. Перший набір не є підмножиною другого множини, якщо в першому наборі є хоча б один елемент, якого немає у другому наборі. Подумайте ще раз про те, чому нульовий набір повинен бути підмножиною кожного набору. Щоб він не був підмножиною, в ньому повинен бути принаймні один елемент, який не був у другому наборі. Але, нульовий набір порожній!
P не є підмножиною N. Щоб показати, що P не є підмножиною N, ми повинні назвати принаймні один елемент в P, який не знаходиться в N. Назвіть елемент у P, якого немає в N: ___
Подумайте і обговоріть тонкі відмінності між наступними твердженнями:\(6P \in C\)\(\{6P\} \subset C\),,\(D \subseteq D\) і\(P \subset C\) є правильними\(6P \subset C\), тоді як\(\{6P\} \in C\),\(D \subset D\) і не\(P \in C\) є правильними!
Вирішіть, які з наведених нижче тверджень є істинними, а які - помилковими:
| а. _______\(\varnothing \subset A\) | б. _______\(\varnothing \subseteq \varnothing\) | c. _______\(S \subseteq C\) |
| д. _______\(C \subseteq C\) | е. _______\(B \subset B\). | ф. _______\(7P \in P\) |
| г. _______\(T \subseteq \varnothing\) | ч. _______\(9D \in Z\). | i. _______\(5H \in N\) |
Складіть три істинні твердження та три помилкові твердження, використовуючи щойно визначені символи підмножини та елементів. Використовуйте null набір принаймні в одному true і одному false операторі.
| Справжнє твердження | Неправдиве твердження |
Ще щось, що слід враховувати при роботі з множинами, - це те, скільки елементів у заданому наборі. Якщо ми підраховуємо кількість елементів у наборі, ми називаємо це число кардинальність або кардинальне число цього набору. Для позначення кардинальності множини С запишемо\(n\) (С) = 25. Подумайте про n як кількість об'єктів у множині. Ви пам'ятаєте будь-яке функціональне позначення з алгебри, як\(f\) (x) = 2x + 3 означає\(f\) (5) = 2 (5) + 3 = 10 + 3 = 13 - тобто, коли ви підключаєте 5 до функції\(f\), вискакує 13? Ну а при роботі з кардинальністю набору, це така ж річ і ми використовуємо подібні позначення. В цьому випадку при підключенні C до функції\(n\) вискакує цифра 25!!! Коли вас запитують про кардинальність набору, відповідь - число. Ми говоримо, що два набори еквівалентні, якщо кожен з них має однакову кількість елементів, тобто вони мають однакову кардинальність. Ми використовуємо символ, ~, для позначення еквівалентності. Наприклад, оскільки P і H містять чотири елементи, ми можемо записати P ~ H. Дві множини рівні, якщо вони мають однакові елементи.
Обчислити наступне, використовуючи інформацію з вправи 9.
а. п (П) = ____ б. п (Н) = ____ с. н (Q) = ____ д. н (Д) = ____
е. п (З) = ____ ф. н (Н) = ____ г. н (У) = ____ ч. н (Т) = ____
i. n (S) = ____ j. n (Ш) = ____ к. н (Х) = ____ л. n (V) = ____
m. n (C) = ____ n. n (A) = ____ (A являє собою монети в один долар в нашому наборі C)
o Розглянемо підмножини C, які ми визначили досі. Використовуючи символ еквівалентності, висловіть, які пари підмножин еквівалентні один одному.
Що робити, якщо вас запитали, які монети були копійки, а також з 1965 року? У наборі C є тільки одна монета, яка задовольняє обом критеріям і тобто\(5P\). При спробі знайти елементи, які є загальними для двох наборів, в даному випадку P (копійки) і V (монети з 1965 року), використовуємо слово перетин. Формальне визначення перетину слід:
Перетин двох множин, A і B, написаних A\(\cap\) B, є сукупністю елементів, які зустрічаються як в A, так і в B.
Використовуючи правильне позначення, ми могли б тепер написати P\(\cap\) V = {5P}
Виконайте наступне, використовуючи правильні позначення:
| а. = ____\(\cap\) Х У | б. = ____ Н\(\cap\) З | с. = ___ Н\(\cap\) С |
| д. = ____ Q\(\cap\) Ш | е. = ____ Д\(\cap\) П |
Дві множини нез'єднані, якщо їх перетин порожній. Наприклад, D і Q є неспільними, тому що\(D \cap Q = \varnothing\). Назвіть три інші пари множин, які є нез'єднаними.
Визначте нез'єднані множини: ___
Що робити, якщо вас запитали, які монети були або копійки, або з 1965 року? Перелічіть, які монети задовольняють одній або обом цим умовам:
Ви отримали вісім різних монет на цей раз? ___ Будь-яка монета, що має 5 або P або обидві, зробить це. Ви тільки що знайшли об'єднання двох множин P і V. Формальне визначення союзу відбувається наступним чином:
Об'єднання двох множин, A і B, написане\(A \cup B\), являє собою набір елементів, які знаходяться або в A або B, або в обох.
Використовуючи правильні позначення, пишемо П.\(\cup = {6P, 7P, 5P, 5D, 5N, 5H, 8P, 5Q}\) Пам'ятайте, що порядок, в якому написані елементи, не має значення! ВАЖЛИВО: Якщо елемент є в обох наборах, він записується лише один раз в об'єднання.
Виконайте наступне, використовуючи правильні позначення:
| а. н\(\cup\) S = ____ |
| б Q\(\cup\) Ш = ____ |
| с. д\(\cup\) Р = ____ |
| д\(\cup\) Х У = _____ |
Напишіть визначення для об'єднання, а потім визначення для перетину. Використовуйте інші літери, ніж A і B.
Складіть одну нову проблему за участю монет, використовуючи символ перетину та одну нову проблему за допомогою символу союзу. Напишіть рішення проблем.
Складіть одне істинне і одне помилкове твердження за участю монет, використовуючи символи перетину та союзу. Створіть, яке твердження є істинним, а яке є помилковим.
Відкладіть монету, встановлену на даний момент. Давайте попрацюємо з іншим набором. При роботі з наборами нам потрібно чітко розуміти, про що йде мова. Ось ще одне визначення для вас.
Математики часто називають розглянуту множину Всесвітом або універсальним набором, і зазвичай використовують букву U для представлення Всесвіту.
У нашій задачі з монетами Всесвіт не був вказаний. Це могло бути 25 монет в колекції, всі монети, зроблені між 1960 і 1970 або, можливо, всі монети в світі. Не знаючи Всесвіту, є деякі речі, на які ми не могли відповісти в теорії множин. Тепер, коли ми маємо це з шляху, ось ще два важливих визначення.
Доповненням набору A, написаного A c\(\bar{A}\) або A', є набір елементів в універсальному наборі, яких немає в А. Ми читаємо A c як «доповнення» або «не A». Всесвіт повинен бути вказаний для того, щоб обчислити доповнення. Наприклад, якщо U = {1, 2, 3, 4, 5} і H = {3, 4}, то H' = {1, 2, 5).
Різниця двох множин A і B, записаних A — B (або A — B), є множиною елементів A, яких також немає в B. (Деякі люди перераховують елементи A, а потім перекреслюють будь-які, що знаходяться в B, щоб отримати відповідь на A - B. Отже, якщо F = {1, 2, 3, 4} і G = {1, 3, 5, 7}, то, щоб знайти F — G, перерахувати елементи F і перекреслити всі, що знаходяться в G: {1, 2, 3 ,4}. Відповідь: {2, 4)
Спробуйте наступні завдання, в яких у Всесвіті знаходяться перші 9 рахункових чисел. Якщо U представляє Всесвіт, у нас є U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Три підмножини U визначаються наступним чином: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} C = {3, 5, 7}
| а. а\(\cap\) Б = _____ | б. а\(\cap\) С = ____ |
| с. б\(\cap\) С = _____ | д А\(\cup\) Б = ____ |
| е А\(\cup\) С = _____ | ф. б\(\cup\) С = ____ |
| г А с = _____ | ч Б с = ____ |
| i. С с = _____ | дж. а — Б = _____ |
| к. б — А = ____ | 1. А — С = _____ |
| м С — А = ____ | п. б — С = _____ |
| o С — В = _____ |
Ви помітили, що порядок має значення для різниці, але не для союзу чи перетину?
Продовження вправи 23 де U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Підмножини:
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} C = {3, 5, 7}
Спробуйте ці «більш залучені» проблеми. Це займе не один крок, щоб зробити. Можливо, вам знадобиться скретч-папір.
| р. (А\(\cup\) С) — В = ____ | q. (А — С) c = ____ |
| р. (А\(\cap\) Б)\(\cup\) С = ____ | с. (А\(\cup\) С)\(\cap\) Б = ____ |
| т. (А\(\cup\) С) с = ____ | у. а с\(\cap\) Б в = ____ |
| v.\(\bar{A \cap B}\) = ____ | ш.\(\bar{A \cup B}\) = ____ |
| х. а с\(\cup\) (В\(\cap\) с С) = _____ |
Відповідь true або false для наступного:
| р.\(\varnothing\)\(\subset\) б ___ | з. (А — С) ~ (С — Б) ___ |
| аа. 5\(\in\) (С - (А\(\cup\) Б) ___ | бб. н (А\(\cup\) Б) = 9 ___ |
| куб. н (А) + п (В) = 9 ___ | дд. (А\(\cup\) Б) с = А с\(\cup\) Б в ___ |
| ee. (А\(\cup\) Б) с = А с\(\cap\) Б в ___ | оф А — Б = А — (А\(\cup\) Б) ___ |
| гг. А і В нероз'єднані ___ | чх. B і C розмежовуються ___ |
| II. U — А = А с ___ | jj. {3, 4, 5, 6, 8}\(\subset\) {4, 5, 6, 7, 8, 9} __ |
Переконайтеся, що ви можете працювати над усіма вищепереліченими проблемами ідеально самостійно. Якщо у вас виникли проблеми з розумінням будь-якого з них, зверніться до своїх однокласників або запитайте свого вчителя, якщо щось ще потребує уточнення!!! Потім складіть ще деякі власні проблеми, як вказано нижче, перш ніж продовжувати.
Складіть чотири свої власні «більш залучені проблеми» і покажіть рішення. Використовуйте ті ж набори (U, A, B і C), що і у вправі 23.
| 1. ___ |
| 2. ___ |
| 3. ___ |
| 4. ___ |
Тепер настав час для вас самостійно скласти деякі оригінальні проблеми і надати рішення. Спочатку визначитеся з універсальною множиною, U, і визначте три підмножини, D, E і F. Потім складіть дві оригінальні та нетривіальні (продумані і включають два або більше кроків) завдання, використовуючи комбінації об'єднання, доповнення, перетину та різниці
Пам'ятайте, коли я згадував, що метод лістингу не завжди був практичним чи можливим? Розглянемо універсальний набір, який містив всі цілі числа. Вони не можуть бути перераховані. Іншим способом вираження цього набору буде опис. Можна сказати, U = (цілі числа) Це дуже формальний спосіб написання цього самого набору U = {x|x - це ціле число}, яке читається «U - це множина всіх х, так що х - це ціле число». Можливо, ви бачили це позначення в алгебрі. Ми не будемо тут такими офіційними. Ще один спосіб обійти проблему лістингу - використовувати три послідовні точки, що означає «і так далі». Ми б написали U = {0,1,2,3,...}. Ось спосіб виразити всі парні числа між 13 і 509: {14,16,18,... ,508}. Ви могли б перерахувати їх (якщо у вас не було життя!) , але ви можете побачити перевагу використання трьох точок!!!! Використання трьох точок також не завжди працює. Розглянемо безліч всіх дійсних чисел. Їх неможливо перерахувати. Вам доведеться написати щось на зразок цього: {всі дійсні числа) або {x|x - дійсне число}.
Використовуйте правильні множини для вираження наступних наборів одним або декількома способами:
a. букви алфавіту
b. парні цілі числа між 124 і 698 включно
c. цілі числа строго в межах від 100 до 1000
d. імена минулих президентів Сполучених Штатів аж до 1995 року
e. імена президентів США від 1981 - 1995 рр.
Настав час дістати свої А-блоки. Їх можна знайти на Матеріальних картах 2A - 2E. Білі картки - це картки міток вартості (які ви не будете використовувати до набору вправ 3), а кольорові об'єкти - це фактичні A-блоки. У кожному наборі А-блоків по 24 об'єкти.
Ми будемо використовувати наступні скорочення при зверненні до кожного з 24 елементів.
| S = малий | L = великий | Y = жовтий | R = червоний | B = синій | G = зелений | Q = квадрат | T = трикутник | C = коло |
Ми будемо використовувати три літери, щоб вказати кожен об'єкт в такому порядку - розмір, колір, форму. Маленький синій квадрат буде позначений SBQ, а велике червоне коло буде позначено LRC. Ці скорочення знаходяться на об'єктах, які ви вирізали.
Визначимо наш всесвіт А-блоків по А.
Пограйте з А-блоками трохи. Як ви думаєте, як діти можуть грати з ними?
Розташуйте A-блоки в кілька купи підмножин. Які види паль ви робили і скільки було в кожній купі?
Розділіть їх по різному. Цього разу, які види паль ви робили і скільки було в кожній купі?
a Виберіть фігуру і візьміть всі блоки цієї форми і покладіть їх на чистий аркуш паперу. Закрийте очі і попросіть друга видалити один з предметів. Подивіться на решту шматочків і визначте, який шматок був видалений. Подумайте, як ви це розібралися. Як ви думаєте, як дитина зрозуміла б це?
б. повторіть частину (а), але на цей раз виберіть колір і покладіть всі блоки цього кольору на чистий аркуш паперу.
c Повторіть частину (а), але на цей раз виберіть розмір і покладіть всі блоки такого розміру на чистий аркуш паперу.
d Яке було найшвидшим для вас, щоб з'ясувати - форму, колір або розмір? Чому, на вашу думку, це було так?
e Додатковий кредит: Працюйте над цією діяльністю з 2 маленькими дітьми. Один повинен бути дуже молодим (вирішувати вам), а інший на кілька років старше. Документуйте свої висновки та діліться на Форумі разом із зображенням чи відео. Порівняйте, як вони з'ясували відсутню частину з тим, як ви це зробили. Обов'язково спочатку займіться діяльністю самостійно.
У цій вправі частини а - ф не пов'язані один з одним. Почніть з усього набору A-Blocks для кожної частини, а потім продовжуйте слідувати вказівкам кожного разу.
a. зробити підмножини блоків, розділивши їх за формою (без урахування розміру)
Скільки існує підмножин? _____ Скільки блоків у кожній підмножині? _____
Виберіть одну з підмножин фігур. Держава, яку форму ви вибрали: ____________
Використовуючи правильні задані позначення та скорочення, перерахуйте його елементи
б. зробити підмножини блоків, розділивши їх за кольором.
Скільки існує підмножин? _____ Скільки блоків у кожній підмножині? _____
Виберіть одну з підмножин, які ви створили. Держава, який колір ви вибрали: _____________
Використовуючи правильні задані позначення та скорочення, перерахуйте його елементи
с. зробити підмножини блоків, розділивши їх за розміром.
Скільки існує підмножин? _____ Скільки блоків у кожній підмножині? _____
Виберіть одну з підмножин, які ви створили. Вкажіть, який розмір ви вибрали: _____________
Використовуючи правильні задані позначення та скорочення, перерахуйте його елементи
d. зробити підмножини блоків, розділивши їх за формою кольору.
Скільки існує підмножин? _____ Скільки блоків у кожній підмножині? _____
Виберіть одну з підмножин, які ви створили. Вкажіть, який колір і форму ви вибрали: _____
Використовуючи правильні задані позначення та скорочення, перерахуйте його елементи
е. зробити підмножини блоків, розділивши їх за кольором і розміром.
Скільки існує підмножин? _____ Скільки блоків у кожній підмножині? _____
Виберіть одну з підмножин, які ви створили. Вкажіть, який колір і розмір ви вибрали: ______
Використовуючи правильні задані позначення та скорочення, перерахуйте його елементи
f. зробити підмножини блоків, розділивши їх за розміром і формою.
Скільки існує підмножин? _____ Скільки блоків у кожній підмножині? _____
Виберіть одну з підмножин, які ви створили. Вкажіть, який розмір і форму ви вибрали: _____
Використовуючи правильні задані позначення та скорочення, перерахуйте його елементи
Конкретна форма, колір або розмір називається значенням. Нехай кожне з значень A-блоків буде визначено через підмножини S, L, R, B, G, Y, Q, T, C визначатимуть малий, великий, червоний, синій, зелений, жовтий, квадрат, трикутник і коло відповідно .
а. попросіть друга думати про два значення (наприклад, синій і квадратний, наприклад). Потім ваш друг покласти всі блоки, що мають будь-який з цих значень на чистому папері, але навмисно залишаючи один з них. Спробуйте розібратися, який блок відсутній. Що ви повинні з'ясувати в першу чергу?
б Які значення були обрані? ____ Який шматок не вистачало?
Виконайте цю вправу ще два рази, з іншими значеннями. Спробуйте з усіма блоками, прихованими один раз, і з усіма ними в ясному вигляді в інший раз.
c Чи простіше, якщо всі блоки, включаючи відсутній блок, десь знаходяться в простому вигляді або якщо відсутній блок, а також всі інші приховані?
d Спробуйте цю гру, маючи вашого друга вибрати три значення. Це простіше чи складніше? Спробуйте не один раз. Перерахуйте вибрані значення та фрагмент, який відсутній для однієї з ігор.
е. При створенні підмножини, яка має будь-яке з двох значень, як у частині a, ви формуєте ____ з цих двох множин. Ось підказка, це не доповнення. Використовуючи правильні множини, запишіть множину, утворену об'єднанням двох значень, обраних в частині а.\(\cup\) _____ _____ = _______
Виберіть значення (певну форму, колір або розмір). Покладіть всі блоки з цим значенням в одну купу. Виберіть інше значення і покладіть всі блоки з цим значенням в окрему купу.
| а Які значення були обрані? ____ |
| б Чи були якісь шматки, які потрібно було йти в обидві купи? ____ Якщо так, то які шматочки? |
| c Припустимо, що вибрані значення були червоним і синім. Чи були якісь блоки, які потрібно було йти в обидві палі? ____ Якщо так, то які з них? |
| d Припустимо, були обрані жовті і великі. Чи були якісь блоки, які потрібно було йти в обидві палі? ____ Якщо так, то які з них? ____ |
| е. елементи, що належать в обидві палі, повинні бути як жовтими, так і великими. При створенні підмножини, де об'єкти повинні мати обидва значення, ви формуєте ____ з цих двох множин, Використовуючи множини, ми пишемо Y\(\cap\) L =____ |
Відкладіть свої A-блоки на даний момент. Не втрачайте їх!! Перш ніж продовжити роботу з А-блоками, нам потрібно буде дізнатися про діаграми Венна і працювати з ними. Потім ми повернемося і зробимо більше роботи з нашими А-блоками.
Розглянемо ситуацію, коли у матері, Мері, троє дітей — Алісія, Брент і Карлос. У Мері руде волосся. Питання, на яке ми спробуємо відповісти, полягає в наступному: Які існують можливості щодо яких, якщо хтось із її дітей, має руде волосся? Перерахуйте можливості, які ви придумали:
Давайте попрацюємо над вищевказаною проблемою. Перш за все, давайте трохи розберемо проблему. Можливо, жоден з її дітей не має рудого волосся, лише один має руде волосся, двоє з трьох мають руде волосся або всі троє виявилися рудими. У межах кожної з цих чотирьох ситуацій давайте запишемо кожну з можливостей. Ми перерахуємо кожну можливість як набір, використовуючи імена дітей як можливі елементи.
| Ситуація 1: Жоден з дітей не є рудоволосими: {} |
|
Ситуація 2: Одна дитина - рудий. Це дає нам три можливості, перераховані нижче: {Алісія} {Брент} {Карлос} |
|
Ситуація 3: Два з трьох мають руде волосся. Ви також можете думати про це як про одну дитину, яка не має рудого волосся. У будь-якому випадку, це дає нам три можливості нижче: {Брент, Карлос} {Алісія, Карлос} {Алісія, Брент} |
|
Ситуація 4: Всі троє дітей мають руде волосся: {Алісія, Брент, Карлос} |
Ми придумали вісім різних можливостей.
Вищезазначена проблема дійсно становить питання теорії множини. З урахуванням множини M, де M = {A, B, C}, перерахуйте всі можливі підмножини М. Перш за все, пам'ятайте, що нульова множина є підмножиною кожного множини, а весь набір є підмножиною себе (це просто не належна підмножина). Ви ж пам'ятали ці два пункти, чи не так?
Давайте почнемо з перерахування можливостей відповідно до того, скільки елементів може бути в підмножині ні елементів, один елемент, два елементи або три елементи. Для кожної з цих ситуацій перерахуйте всі можливості:
| Немає елементів: {} | Два елементи: {A, B}, {A, C}, {B, C} |
| Один елемент: {A}, {B}, {C} | Три елементи: {A, B, C} |
Ось список всіх можливих підмножин: {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}
WOW! Ви бачили, як ми придумали ті ж вісім можливостей? Цей набір теорії речі просто дивовижні, чи не так?
Перерахуйте всі можливі підмножини для кожного з заданих множин.
| а.\(\varnothing \): ___ |
| б. {P}: ___ |
| c. {Г, Ф}: ___ |
| д. {X, Y, Z}: ___ |
| е. {1, 2, 3, 4}: ___ |
Використовуючи інформацію, отриману від вправи 34, дайте відповідь на наступне питання.
Скільки підмножин існує для множини, що містить задану кількість елементів?
| a. немає елементів: ___ |
| b. один елемент: ___ |
| c. два елементи: ___ |
| d. три елементи: ___ |
| e. чотири елементи: ___ |
| f. п'ять елементів: ___ |
| g. n елементів (використовуйте формулу): ___ |
Є ще одна операція, яку ми визначимо по множинам. Поки що ви працювали з об'єднанням, перетином, різницею та доповненням. Зараз ми дізнаємося, що означає приймати декартове твір двох множин, А і В.
Декартовий добуток множини A з множиною B, який записується A\(\times\) B і читається як «A хрест B» - це множина всіх можливих впорядкованих пар (a, b), де\(\in\) a і b\(\in\) Б.
Якщо ви знаходите декартовий добуток, відповіддю буде набір, який містить впорядковані пари. Порядок має значення! Перший елемент повинен виходити з набору, написаного зліва від,\(\times\) а другий елемент повинен виходити з безлічі, написаного праворуч від\(\times\).
Якщо A = {x, y, z} і B = {a, b}, знайдіть A\(\times\) B і B\(\times\) A.
Рішення
A\(\times\) B = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)}
B\(\times\) A = {(a, x), (b, x), (a, y), (b, y), (a, z), (b, z)}
Зауважте, що в одному наборі було 3 елементи, а в іншому - два. Декартовий твір має в ньому шість елементів, шість впорядкованих пар.
Якщо E = {1, 2} і F = {2,3}, знайти Е\(\times\) F, F\(\times\) E,\(\times\) E і F\(\times\) F
Рішення
| E\(\times\) F = {(1, 2), (1.3), (2, 2), (2, 3)} | \(\times\)Е = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} |
| F\(\times\) E = {(2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 2)} | F\(\times\) F = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} |
Зверніть увагу, що в одному наборі було два елементи, а в іншому - два. Кожен декартовий твір має в ньому чотири елементи — чотири впорядковані пари.
Знайти {4, 5}\(\times\) {7, 2, x, #}.
Рішення
{4, 5}\(\times\) {7, 2, х, #} = {(4, 7), (4, 2), (4, х), (4, #), (5, 7), (5, 2), (5, x), (5, #)}
Зверніть увагу, що в одному наборі було два елементи і чотири в іншому. Декартовий твір має в ньому вісім елементів — вісім впорядкованих пар.
У прикладі I один набір містив 3 елементи, а інший містив 2 елементи, Декартовий твір містив 6 елементів — 6 впорядкованих пар. У прикладі 2 один набір містив 2 елементи, а інший містив 2 елементи, Декартовий твір містив 4 елементи, 4 впорядковані пари. У прикладі 3 один набір містив 2 елементи, а інший - 4 елементи. Декартовий твір містив 8 елементів, 8 впорядкованих пар.
Якщо множина B містить 5 елементів (іншими словами, n (B) = 5), а множина C містить 7 елементів (або n (C) = 7), то скільки елементів (де кожен елемент є впорядкованою парою) знаходиться в декартовому добутку B\(\times\) C?
Якщо множина B містить 5 елементів (іншими словами, n (B) = 5), а множина C містить 7 елементів (або n (C) = 7), то скільки елементів (де кожен елемент є впорядкованою парою) знаходиться в декартовому добутку C\(\times\) B?
Загалом, для будь-яких двох множин, F і G, це n (F\(\times\) G) = n (G\(\times\) F)?
Припустимо, що множина B містить b елементів (іншими словами, n (B) = b), а множина C містить c елементів (або n (C) = c). Використовуйте цю інформацію, щоб обчислити наступне, де вас запитають, скільки елементів (де кожен елемент є впорядкованою парою) знаходиться в даному декартовому добутку.
| а. п (Б\(\times\) С) = ____ | б. п (Б\(\times\) Б) = ____ | с. н (С\(\times\) С) = ____ |
Загалом, якщо взяти будь-які дві множини, A і B, це A\(\times\) B = B\(\times\) A? ____ Якщо ви відповіли «так», наведіть приклад двох різних множин, A і B, і покажіть, що A\(\times\) B = B\(\times\) A. Якщо ви відповіли «ні», наведіть приклад двох різних множин, A і B, і покажіть, що A\(\times\) B ≠ B\(\times\) A.
Це складніше: Знайти {(4, 3), 5)\(\times\) {(3, 3), {4, 7, 5, 2}, 1}
Гаразд, зробіть вдих... ви можете зробити це. Уважно подивіться на перший набір; він має два елементи, перший елемент буває впорядкованою парою (4, 3), а другим елементом є число
5. Подивіться уважно на другий набір; він має три елементи, перший показаний виявляється впорядкованою парою (3,3), другий, трапляється, набір містить чотири елементи, а третій - елемент 1, Таким чином, перший набір містить 2 елементи, а другий набір містить 3 елементи. Спочатку подумайте про те, скільки елементів знаходиться в декартовому творі. У вас з'явилася ідея помножити 2 на 3? Сподіваюся, що так! У декартовому творі є шість елементів. Кожен з цих елементів є впорядкованою парою, і деякі з цих впорядкованих пар будуть виглядати дивно. Подивіться, чи можете ви зрозуміти рішення, написане нижче.
Рішення
{(4, 3), 5}\(\times\) {(3, 3), {4, 7, 5, 2}, l} = {(4, 3), (3, 3)), (4, 3), {4, 7, 5, 2}), (4, 3), (5, (3, 3)), (5, {4, 7, 5}), (5, 1)}
Подивіться на це рішення уважно. У розчині є шість впорядкованих пар. Перші три впорядковані пари мають (4, 3) як першу координату, а другі три впорядковані пари мають 5 як першу координату. Тоді (3, 3) - друга координата для першої та четвертої впорядкованої пари, {4, 7, 5, 2} - друга координата для другої та п'ятої впорядкованої пари, а 1 - друга координата для третьої та шостої координат. Якщо ви можете слідувати цьому, вам слід чудово виконати наступну вправу.
Напишіть декартовий твір. Кожна відповідь - це набір, що містить впорядковані пари. Перш ніж робити кожну задачу, подумайте, скільки впорядкованих пар буде у відповіді. Переконайтеся, що ви написали свою відповідь, використовуючи правильні позначення, покладіть впорядковані пари в набір. Між кожною координатою в кожній впорядкованій парі є кома між кожним елементом множини. Використовуйте фігурні дужки {} навколо множини. Одна з відповідей - нульовий набір!
| а. {3, 4}\(\times\) {2, 6} = ____ |
| б. {6, 7, 8, 9}\(\times\) {5} = ____ |
| c. {r, s, t}\(\times\) {} = ____ |
| д. {a}\(\times\) {a} = ____ |
| е. {x, y}\(\times\) {x, y} = ____ |
| f. {1, 3, 5}\(\times\) {1, 3, 5} = ____ |
| г. {(9, 4), С)}\(\times\) {D, {a, b, c}} = ___ |
| ч.\(\{\{5, 6, 7, 8, 9\}\} \times \{g, \{4, 3\}\}\) = ___ |