4.4: Вакцинація

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.3: Модель епідемічних захворювань SIR
- 4.5: Модель ендемічних захворювань SIR

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У таблиці $4.1$ перераховані захворювання, від яких існують вакцини і широко застосовуються дітям. Органи охорони здоров'я повинні визначити частку населення, яка повинна бути вакцинована для запобігання епідемій.

Ми вирішуємо цю проблему в рамках моделі епідемічних захворювань SIR. Нехай $p$ буде частка населення, яка вакцинована, і $p_{*}$ мінімальна фракція, необхідна для запобігання епідемії. Коли $p>p_{*}$ , епідемія наступити не може. Оскільки навіть не щеплені люди захищені відсутністю епідемій, то говоримо про те, що населення придбало стадний імунітет.

Ми припускаємо, що особи сприйнятливі, якщо не вакциновані, а вакциновані особи знаходяться в видаленому класі. Початкова популяція потім моделюється як $(\hat{S}, \hat{I}, \hat{R})=(1-p, 0, p)$ . Ми вже визначили стійкість цієї фіксованої точки до збурень невеликою кількістю інфекційних засобів. Умова для виникнення епідемії задається (4.3.7), а з $\hat{S}_{0}=1-p$ , епідемія виникає, якщо

$\mathcal{R}_{0}(1-p)>1 \nonumber$

Тому мінімальна частка населення, яка повинна бути вакцинована для запобігання епідемії, - це

$p_{*}=1-\frac{1}{\mathcal{R}_{0}} \nonumber$

Хвороби з меншими значеннями легше викорінити, ніж хвороби з більшими значеннями, $\mathcal{R}_{0}$ оскільки населення може придбати стадний імунітет з меншою часткою вакцинованого населення. $\mathcal{R}_{0}$ Наприклад, віспа з $\mathcal{R}_{0} \approx 4$ була викорінена у всьому світі, тоді як кір з $\mathcal{R}_{0} \approx 17$ досі має епізодичні спалахи.