4.4: Вакцинація

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66619

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У таблиці\(4.1\) перераховані захворювання, від яких існують вакцини і широко застосовуються дітям. Органи охорони здоров'я повинні визначити частку населення, яка повинна бути вакцинована для запобігання епідемій.

Ми вирішуємо цю проблему в рамках моделі епідемічних захворювань SIR. Нехай\(p\) буде частка населення, яка вакцинована, і\(p_{*}\) мінімальна фракція, необхідна для запобігання епідемії. Коли\(p>p_{*}\), епідемія наступити не може. Оскільки навіть не щеплені люди захищені відсутністю епідемій, то говоримо про те, що населення придбало стадний імунітет.

Ми припускаємо, що особи сприйнятливі, якщо не вакциновані, а вакциновані особи знаходяться в видаленому класі. Початкова популяція потім моделюється як\((\hat{S}, \hat{I}, \hat{R})=(1-p, 0, p)\). Ми вже визначили стійкість цієї фіксованої точки до збурень невеликою кількістю інфекційних засобів. Умова для виникнення епідемії задається (4.3.7), а з\(\hat{S}_{0}=1-p\), епідемія виникає, якщо

\[\mathcal{R}_{0}(1-p)>1 \nonumber \]

Тому мінімальна частка населення, яка повинна бути вакцинована для запобігання епідемії, - це

\[p_{*}=1-\frac{1}{\mathcal{R}_{0}} \nonumber \]

Хвороби з меншими значеннями легше викорінити, ніж хвороби з більшими значеннями,\(\mathcal{R}_{0}\) оскільки населення може придбати стадний імунітет з меншою часткою вакцинованого населення.\(\mathcal{R}_{0}\) Наприклад, віспа з\(\mathcal{R}_{0} \approx 4\) була викорінена у всьому світі, тоді як кір з\(\mathcal{R}_{0} \approx 17\) досі має епізодичні спалахи.