4.5: Модель ендемічних захворювань SIR

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66632

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Кажуть, що хвороба, яка постійно присутня в популяції, є ендемічною. Наприклад, малярія є ендеміком Африки на південь від Сахари, де відбувається приблизно$90 \%$ смертність, пов'язана з малярією. Ендемічні захворювання переважають над тривалими часовими масштабами: народжуються малюки, гинуть люди похилого віку.

Таблиця 4.1: Раніше поширені захворювання, для яких розроблені вакцини.
Хвороба	Опис	симптоми	ускладнення
Дифтерія	Бактеріальне респіраторне захворювання	Біль у горлі і субфебрильна температура	Обструкція дихальних шляхів, кома та смерть
Гемофільний грип типу b (Hib)	Бактеріальна інфекція, що виникає переважно у немовлят	Інфекції шкіри та горла, менінгіт, пневмонія, сепсис та артрит	Смерть у одного з 20 дітей, а постійне ураження мозку у 10% - 30% тих, хто вижив
Гепатит А	Вірусне захворювання печінки	Потенційно немає; жовта шкіра або очі, втома, біль у животі, втрата апетиту або нудота	зазвичай немає
Гепатит В	Те саме, що гепатит А	Те саме, що гепатит А	Життєві проблеми з печінкою, такі як рубцювання печінки та рак печінки
Кір	Вірусне респіраторне захворювання	Висип, висока температура, кашель, нежить та червоні сльозяться очі	Діарея, вушні інфекції, пневмонія, енцефаліт, судоми та смерть
свинка	Вірусне захворювання лімфовузлів	Лихоманка, головний біль, біль у м'язах та набряк лімфатичних вузлів близько до щелепи	Менінгіт, запалення яєчок або яєчників, запалення підшлункової залози і глухота
Коклюш (коклюш)	Бактеріальне респіраторне захворювання	Сильні спазми кашлю	Пневмонія, енцефаліт та смерть, особливо у немовлят
пневмококова хвороба	Бактеріальне захворювання	Висока температура, кашель та колючі болі в грудях, бактеріємія та менінгіт	Смерть
Поліомієліт	Вірусне захворювання лімфатичної та нервової системи	Лихоманка, біль у горлі, нудота, головні болі, болі в животі, скутість в шиї, спині та ногах	Параліч, який може призвести до постійної інвалідності та смерті
Краснуха (німецький кір)	Вірусне респіраторне захворювання	Висип і лихоманка протягом двох-трьох днів	Вроджені вади, якщо придбані вагітною жінкою
Правець (блокування щелепи)	Бактеріальне захворювання нервової системи	Блокування щелепи, жорсткість шиї та живота та утруднене ковтання	Смерть в третині випадків, особливо у людей старше 50 років
Вітряна віспа (вітрянка)	Вірусне захворювання в сімействі Герпес	Шкірний висип пухироподібних уражень	Бактеріальна інфекція шкіри, набряк мозку, пневмонія
Вірус папіломи людини	Вірусне захворювання шкіри і слизових оболонок	Бородавки, рак шийки матки	5-річна виживаність з усіх діагнозів раку шийки матки становить 72%

Нехай$b$ буде народжуваність і$d$ смертність, не пов'язана з хворобою. Окремо ми$c$ визначаємо рівень смертності, пов'язаний із захворюваннями; тепер$R$ це імунний клас. Ми можемо позначити модель SIR ендемічного захворювання як

$clipboard_e33fc957262a97d99898e9573d7813232.png$

і керуючі диференціальні рівняння

\[\frac{d S}{d t}=b N-\beta S I-d S, \quad \frac{d I}{d t}=\beta S I-(d+c+\gamma) I, \quad \frac{d R}{d t}=\gamma I-d R \nonumber \]

с$N=S+I+R$. У нашій моделі ендемічного захворювання$N$ окремо задовольняє диференціальне рівняння

\[d N / d t=(b-d) N-c I \nonumber \]

і не обов'язково постійна.

Хвороба може стати ендемічною у популяції, якщо вона$d I / d t$ залишається ненегативною; тобто

\[\frac{\beta S(t)}{d+c+\gamma} \geq 1 \nonumber \]

Щоб хвороба стала ендемічною, новонароджені повинні ввести нескінченний запас нових сприйнятливих речовин у населення.