4.2: Модель SIS

Модель SI може бути розширена до моделі SIS, де інфекційний може відновитися і знову стати сприйнятливим. Ми припускаємо, що ймовірність того, що інфекція одужає протягом часу,\(\Delta t\) дається\(\gamma \Delta t\). Тоді загальна кількість інфекційних людей, які одужують протягом часу\(I \times \gamma \Delta t\),\(\Delta t\) дається, і

\[I(t+\Delta t)=I(t)+\beta \Delta t S(t) I(t)-\gamma \Delta t I(t) \nonumber \]

або як\(\Delta t \rightarrow 0\)

\[\frac{d I}{d t}=\beta S I-\gamma I \nonumber \]

яку ми діаграмуємо як

\[S \underset{\gamma I}{\stackrel{\beta S I}{\rightleftharpoons}} I \text {. } \nonumber \]

Використовуючи\(S+I=N\), усуваємо\(S\) з (4.2.2) для отримання

\[\frac{d I}{d t}=(\beta N-\gamma) I\left(1-\frac{\beta}{\beta N-\gamma} I\right) \nonumber \]

що знову є логістичним рівнянням, але тепер зі швидкістю зростання\(\beta N-\gamma\) та вантажопідйомністю\(N-\gamma / \beta\). У моделі SIS епідемія відбудеться, якщо\(\beta N>\gamma\). І якщо епідемія все-таки настає, то хвороба стає ендемічною з кількістю інфекційних, що знаходяться в рівновазі\(I_{*}=N-\gamma / \beta\), і кількістю сприйнятливих, що дається\(S_{*}=\gamma / \beta\).

Загалом, важливою метрикою того, чи відбудеться епідемія, називається основним репродуктивним співвідношенням. Основний репродуктивний коефіцієнт визначається як очікувана кількість людей, якими один інфекційний заразить в інакше сприйнятливій популяції. Щоб обчислити основне репродуктивне співвідношення,\(l(t)\) визначте ймовірність того, що людина, спочатку\(t=0\) інфікована, все ще інфікована в той час\(t\). Оскільки ймовірність бути інфекційним під час\(t+\Delta t\) дорівнює ймовірності зараження в часі,\(t\) помноженій на ймовірність не одужати протягом часу\(\Delta t\), ми маємо

\[l(t+\Delta t)=l(t)(1-\gamma \Delta t) \nonumber \]

або як\(\Delta t \rightarrow 0\)

\[\frac{d l}{d t}=-\gamma l \nonumber \]

При початковому стані\(l(0)=1\)

\[l(t)=e^{-\gamma t} \nonumber \]

Тепер очікувана кількість вторинних інфекцій, що виробляються однією первинною інфекцією протягом періоду часу,\((t, t+\Delta t)\) визначається ймовірністю того, що первинна інфекційна все ще інфекційна в часі\(t\) помножена на очікувану кількість вторинних інфекцій, що виробляються одноразовий інфекційний протягом часу\(\Delta t\); тобто\(l(t) \times S(t) \beta \Delta t\). Тут визначення основного репродуктивного співвідношення передбачає, що вся популяція сприйнятлива так\(S(t)=N\). Тому очікувана кількість вторинних інфекційних засобів, що виробляються однією первинною інфекцією в повністю сприйнятливій популяції, становить

\[\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \beta l(t) N d t &=\beta N \int_{0}^{\infty} e^{-\gamma t} d t \\[4pt] &=\frac{\beta N}{\gamma} \end{aligned} \nonumber \]

Тому основне репродуктивне співвідношення, написане як\(\mathcal{R}_{0}\), визначається як

\[\mathcal{R}_{0}=\frac{\beta N}{\gamma} \nonumber \]

і з (4.2.4) ми бачимо, що в моделі SIS епідемія відбудеться, якщо\(R_{0}>1\). Іншими словами, епідемія може статися, якщо інфікована людина в інакше сприйнятливій популяції в середньому заразить більше, ніж одну іншу особу.

Аналогічне визначення основного репродуктивного співвідношення ми також бачили в нашому попередньому обговоренні вікових структурованих популяцій\((\S 2.5)\). Там основним репродуктивним співвідношенням була кількість жіночого потомства, очікуваного від новонародженої самки протягом її життя; чисельність популяції зростала б, якби ця величина була більшою за єдність.

У моделі SIS після епідемії населення досягає рівноваги між сприйнятливими та інфекційними особами. Ефективне базове репродуктивне співвідношення цього сталого населення можна визначити як\(\beta S_{*} / \gamma\), і з\(S_{*}=\gamma / \beta\) цим співвідношенням, очевидно, єдність. Зрозуміло, що для того, щоб населення перебувало в рівновазі, інфекційна людина повинна заразити в середньому одну іншу людину, перш ніж вона одужає.