4.2: Модель SIS

Модель SI може бути розширена до моделі SIS, де інфекційний може відновитися і знову стати сприйнятливим. Ми припускаємо, що ймовірність того, що інфекція одужає протягом часу,$\Delta t$ дається$\gamma \Delta t$. Тоді загальна кількість інфекційних людей, які одужують протягом часу$I \times \gamma \Delta t$,$\Delta t$ дається, і

$$I(t+\Delta t)=I(t)+\beta \Delta t S(t) I(t)-\gamma \Delta t I(t) \nonumber$$

або як$\Delta t \rightarrow 0$

$$\frac{d I}{d t}=\beta S I-\gamma I \nonumber$$

яку ми діаграмуємо як

$$S \underset{\gamma I}{\stackrel{\beta S I}{\rightleftharpoons}} I \text {. } \nonumber$$

Використовуючи$S+I=N$, усуваємо$S$ з (4.2.2) для отримання

$$\frac{d I}{d t}=(\beta N-\gamma) I\left(1-\frac{\beta}{\beta N-\gamma} I\right) \nonumber$$

що знову є логістичним рівнянням, але тепер зі швидкістю зростання$\beta N-\gamma$ та вантажопідйомністю$N-\gamma / \beta$. У моделі SIS епідемія відбудеться, якщо$\beta N>\gamma$. І якщо епідемія все-таки настає, то хвороба стає ендемічною з кількістю інфекційних, що знаходяться в рівновазі$I_{*}=N-\gamma / \beta$, і кількістю сприйнятливих, що дається$S_{*}=\gamma / \beta$.

Загалом, важливою метрикою того, чи відбудеться епідемія, називається основним репродуктивним співвідношенням. Основний репродуктивний коефіцієнт визначається як очікувана кількість людей, якими один інфекційний заразить в інакше сприйнятливій популяції. Щоб обчислити основне репродуктивне співвідношення,$l(t)$ визначте ймовірність того, що людина, спочатку$t=0$ інфікована, все ще інфікована в той час$t$. Оскільки ймовірність бути інфекційним під час$t+\Delta t$ дорівнює ймовірності зараження в часі,$t$ помноженій на ймовірність не одужати протягом часу$\Delta t$, ми маємо

$$l(t+\Delta t)=l(t)(1-\gamma \Delta t) \nonumber$$

або як$\Delta t \rightarrow 0$

$$\frac{d l}{d t}=-\gamma l \nonumber$$

При початковому стані$l(0)=1$

$$l(t)=e^{-\gamma t} \nonumber$$

Тепер очікувана кількість вторинних інфекцій, що виробляються однією первинною інфекцією протягом періоду часу,$(t, t+\Delta t)$ визначається ймовірністю того, що первинна інфекційна все ще інфекційна в часі$t$ помножена на очікувану кількість вторинних інфекцій, що виробляються одноразовий інфекційний протягом часу$\Delta t$; тобто$l(t) \times S(t) \beta \Delta t$. Тут визначення основного репродуктивного співвідношення передбачає, що вся популяція сприйнятлива так$S(t)=N$. Тому очікувана кількість вторинних інфекційних засобів, що виробляються однією первинною інфекцією в повністю сприйнятливій популяції, становить

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \beta l(t) N d t &=\beta N \int_{0}^{\infty} e^{-\gamma t} d t \\[4pt] &=\frac{\beta N}{\gamma} \end{aligned} \nonumber$$

Тому основне репродуктивне співвідношення, написане як$\mathcal{R}_{0}$, визначається як

$$\mathcal{R}_{0}=\frac{\beta N}{\gamma} \nonumber$$

і з (4.2.4) ми бачимо, що в моделі SIS епідемія відбудеться, якщо$R_{0}>1$. Іншими словами, епідемія може статися, якщо інфікована людина в інакше сприйнятливій популяції в середньому заразить більше, ніж одну іншу особу.

Аналогічне визначення основного репродуктивного співвідношення ми також бачили в нашому попередньому обговоренні вікових структурованих популяцій$(\S 2.5)$. Там основним репродуктивним співвідношенням була кількість жіночого потомства, очікуваного від новонародженої самки протягом її життя; чисельність популяції зростала б, якби ця величина була більшою за єдність.

У моделі SIS після епідемії населення досягає рівноваги між сприйнятливими та інфекційними особами. Ефективне базове репродуктивне співвідношення цього сталого населення можна визначити як$\beta S_{*} / \gamma$, і з$S_{*}=\gamma / \beta$ цим співвідношенням, очевидно, єдність. Зрозуміло, що для того, щоб населення перебувало в рівновазі, інфекційна людина повинна заразити в середньому одну іншу людину, перш ніж вона одужає.