4.1: Модель SI

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66618

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Найпростіша модель інфекційного захворювання класифікує людей як сприйнятливих, так і інфекційних\((S I)\). Можна уявити, що сприйнятливі люди здорові і хворіють інфекційні люди. Сприйнятлива людина може стати інфекційним при контакті з інфекційним. Тут, і у всіх наступних моделям, ми припускаємо, що досліджувана популяція добре змішана, щоб кожна людина мала рівну ймовірність вступу в контакт з кожним іншим людиною. Це велике наближення. Наприклад, хоча населення Садів Амоя можна вважати добре змішаним під час епідемії ГРВІ через спільні водопровідні труби та ліфти, населення Гонконгу в цілому не могло через більші географічні відстані та обмежені подорожі багатьох людей за межами кварталів де вони живуть.

Виведено керівне диференціальне рівняння для моделі СІ, враховуючи кількість людей, які стають інфекційними протягом часу\(\Delta t\). Нехай\(\beta \Delta t\) буде ймовірність того, що випадкова інфекційна людина заражає випадкову сприйнятливу людину протягом часу\(\Delta t\). Тоді у\(S\) сприйнятливих та\(I\) інфекційних людей очікувана кількість новоінфікованих людей у загальній популяції протягом часу\(\Delta t\) становить\(\beta \Delta t S I\). Таким чином,

\[I(t+\Delta t)=I(t)+\beta \Delta t S(t) I(t) \nonumber \]

і в межі\(\Delta t \rightarrow 0\),

\[\dfrac{d I}{d t}=\beta S I \nonumber \]

Ми діаграмуємо (4.1.1) як

\[S \stackrel{\beta S I}{\longrightarrow} I . \nonumber \]

Пізніше діаграми полегшать побудову більш складних систем рівнянь. Зараз ми припускаємо постійну чисельність населення\(N\), нехтуючи народженнями та смертельними наслідками, так що\(S+I=N\). Ми можемо усунути\(S\) з (4.1.1) і переписати рівняння як

\[\dfrac{d I}{d t}=\beta N I\left(1-\dfrac{I}{N}\right) \nonumber \]

який можна визнати логістичним рівнянням, зі швидкістю зростання\(\beta N\) та вантажопідйомністю\(N\). Тому\(I \rightarrow N\) як\(t \rightarrow \infty\) і вся популяція стане інфекційною.