10.1: Основні поняття

Якщо ви катаєте плашку, забираєте карту з колоди гральних карт або випадковим чином вибираєте людину і спостерігаєте за їх кольором волосся, виконуємо експеримент або процедуру. Ймовірно, ми дивимося на ймовірність різних результатів. Почнемо з деякої термінології.

Визначення: Події та результати

Результат експерименту називається результатом.

Подія - це будь-який конкретний результат або група результатів.

Проста подія - це подія, яку неможливо розбити далі.

Зразковий простір - це сукупність всіх можливих простих подій.

Приклад$\PageIndex{1}$

Якщо ми згортаємо стандартну 6-сторонню матрицю, опишіть простір зразка і деякі прості події.

Рішення

Простір вибірки є сукупністю всіх можливих простих подій: {1,2,3,4,5,6}

Кілька прикладів простих подій:

• розгортаємо 1
• розгортаємо 5

Деякі складні події:

• Розкочуємо число більше 4
• Прокочуємо парне число

Визначення: Основна ймовірність

Враховуючи, що всі результати однаково вірогідні, ми можемо обчислити ймовірність події E за такою формулою:

$$P(E) = \dfrac{\text{Number of outcomes corresponding to the event E}}{\text{Total number of equally - likely outcomes}} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{2}$

Якщо ми розгортаємо 6-сторонню плашку, розрахуємо

а) Р (прокатка а 1)

б) Р (прокатка числа більше 4)

Рішення

Нагадаємо, що простір вибірки {1,2,3,4,5,6}

а) Є один результат, відповідний «прокатці 1», тому ймовірність є$\dfrac{1}{6}$.

б) Є два результати більше, ніж 4, тому ймовірність є$\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Імовірності є по суті дробів і можуть бути зведені до нижчих членів, таких як дроби.

Приклад$\PageIndex{3}$

Припустимо, у вас є мішок з 20 вишнями, 14 солодких і 6 кислих. Якщо ви вибираєте вишню навмання, яка ймовірність того, що вона буде солодкою?

Рішення

Є 20 можливих вишень, які можна зібрати, тому кількість можливих результатів становить 20. З цих 20 можливих результатів 14 сприятливі (солодкі), тому ймовірність того, що вишня буде солодкою, є$\dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}$.

Однак є одне потенційне ускладнення для цього прикладу. Потрібно припустити, що ймовірність збирання будь-якої з вишень така ж, як і ймовірність збирання будь-якої іншої. Це не було б правдою, якщо (давайте уявимо) черешні менше, ніж кислі. (Вишня потрапляла б до рук легше, коли ви взяли проби з мішка.) Отже, майте на увазі, що коли ми оцінюємо ймовірності з точки зору співвідношення сприятливих для всіх потенційних випадків, ми в значній мірі покладаємося на припущення рівної ймовірності для всіх результатів.

Спробуйте зараз 1

У якийсь випадковий момент ви дивитеся на свій годинник і відзначаєте читання хвилин.

а Яка ймовірність читання хвилин 15?

б Яка ймовірність читання хвилин 15 або менше?

Визначення: Карти

Стандартна колода з 52 гральних карт складається з чотирьох мастей (сердець, пік, діамантів і треф). Піки та трефи чорні, а серця та діаманти червоні. Кожна масть містить 13 карт, кожна з яких різного рангу: Туз (який у багатьох іграх функціонує як низька карта, так і висока карта), карти під номером від 2 до 10, валет, дама і король.

На зображенні нижче наведено приклад повної колоди з 52 карт.

Приклад$\PageIndex{4}$

Обчислити ймовірність випадкового витягування однієї карти з колоди і отримання Туза.

Рішення

У колоді 52 карти і 4 тузи так$P(Ace) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} ≈ 0.0769$

Ми також можемо думати про ймовірності як відсотки: Існує 7.69% шанс, що випадково вибрана карта буде тузом.

Зверніть увагу, що найменша можлива ймовірність дорівнює 0 — якщо немає результатів, які відповідають події. Найбільша можлива ймовірність дорівнює 1 — якщо всі можливі результати відповідають події.

Визначення: Певні та неможливі події

Неможлива подія має ймовірність 0.

Певна подія має ймовірність 1.

Імовірність будь-якої події повинна бути$0 ≤ P(E) ≤1$, тобто ймовірність будь-якої події знаходиться між (або дорівнює) нулю і одиниці.

У ході цієї глави, якщо ви обчислюєте ймовірність і отримаєте відповідь, яка є негативною або більшою за 1, ви допустили помилку і повинні перевірити свою роботу.