Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.1: Основні поняття

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66531

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Якщо ви катаєте плашку, забираєте карту з колоди гральних карт або випадковим чином вибираєте людину і спостерігаєте за їх кольором волосся, виконуємо експеримент або процедуру. Ймовірно, ми дивимося на ймовірність різних результатів. Почнемо з деякої термінології.

    Визначення: Події та результати

    Результат експерименту називається результатом.

    Подія - це будь-який конкретний результат або група результатів.

    Проста подія - це подія, яку неможливо розбити далі.

    Зразковий простір - це сукупність всіх можливих простих подій.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Якщо ми згортаємо стандартну 6-сторонню матрицю, опишіть простір зразка і деякі прості події.

    Рішення

    clipboard_eb5c91b2d4c3955234ee2868b3f93198a.pngПростір вибірки є сукупністю всіх можливих простих подій: {1,2,3,4,5,6}

    Кілька прикладів простих подій:

    • розгортаємо 1
    • розгортаємо 5

    Деякі складні події:

    • Розкочуємо число більше 4
    • Прокочуємо парне число

    Визначення: Основна ймовірність

    Враховуючи, що всі результати однаково вірогідні, ми можемо обчислити ймовірність події E за такою формулою:

    \[ P(E) = \dfrac{\text{Number of outcomes corresponding to the event E}}{\text{Total number of equally - likely outcomes}} \nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Якщо ми розгортаємо 6-сторонню плашку, розрахуємо

    а) Р (прокатка а 1)

    б) Р (прокатка числа більше 4)

    Рішення

    Нагадаємо, що простір вибірки {1,2,3,4,5,6}

    а) Є один результат, відповідний «прокатці 1», тому ймовірність є\(\dfrac{1}{6}\).

    б) Є два результати більше, ніж 4, тому ймовірність є\(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).

    Імовірності є по суті дробів і можуть бути зведені до нижчих членів, таких як дроби.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Припустимо, у вас є мішок з 20 вишнями, 14 солодких і 6 кислих. Якщо ви вибираєте вишню навмання, яка ймовірність того, що вона буде солодкою?

    Рішення

    Є 20 можливих вишень, які можна зібрати, тому кількість можливих результатів становить 20. З цих 20 можливих результатів 14 сприятливі (солодкі), тому ймовірність того, що вишня буде солодкою, є\(\dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}\).

    Однак є одне потенційне ускладнення для цього прикладу. Потрібно припустити, що ймовірність збирання будь-якої з вишень така ж, як і ймовірність збирання будь-якої іншої. Це не було б правдою, якщо (давайте уявимо) черешні менше, ніж кислі. (Вишня потрапляла б до рук легше, коли ви взяли проби з мішка.) Отже, майте на увазі, що коли ми оцінюємо ймовірності з точки зору співвідношення сприятливих для всіх потенційних випадків, ми в значній мірі покладаємося на припущення рівної ймовірності для всіх результатів.

    Спробуйте зараз 1

    У якийсь випадковий момент ви дивитеся на свій годинник і відзначаєте читання хвилин.

    а Яка ймовірність читання хвилин 15?

    б Яка ймовірність читання хвилин 15 або менше?

    Визначення: Карти

    Стандартна колода з 52 гральних карт складається з чотирьох мастей (сердець, пік, діамантів і треф). Піки та трефи чорні, а серця та діаманти червоні. Кожна масть містить 13 карт, кожна з яких різного рангу: Туз (який у багатьох іграх функціонує як низька карта, так і висока карта), карти під номером від 2 до 10, валет, дама і король.

    На зображенні нижче наведено приклад повної колоди з 52 карт.

    clipboard_e0f526f97381c39e4ca0c57e783e8db20.png

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Обчислити ймовірність випадкового витягування однієї карти з колоди і отримання Туза.

    Рішення

    У колоді 52 карти і 4 тузи так\(P(Ace) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} ≈ 0.0769\)

    Ми також можемо думати про ймовірності як відсотки: Існує 7.69% шанс, що випадково вибрана карта буде тузом.

    Зверніть увагу, що найменша можлива ймовірність дорівнює 0 — якщо немає результатів, які відповідають події. Найбільша можлива ймовірність дорівнює 1 — якщо всі можливі результати відповідають події.

    Визначення: Певні та неможливі події

    Неможлива подія має ймовірність 0.

    Певна подія має ймовірність 1.

    Імовірність будь-якої події повинна бути\(0 ≤ P(E) ≤1\), тобто ймовірність будь-якої події знаходиться між (або дорівнює) нулю і одиниці.

    У ході цієї глави, якщо ви обчислюєте ймовірність і отримаєте відповідь, яка є негативною або більшою за 1, ви допустили помилку і повинні перевірити свою роботу.