3.2: Термінологія

Ймовірність - це міра, яка пов'язана з тим, наскільки ми впевнені в результатах конкретного експерименту чи діяльності. Експеримент - це планова операція, що проводиться в контрольованих умовах. Якщо результат не визначений, то експеримент, як кажуть, є випадковим експериментом. Перегортання однієї справедливої монети двічі - приклад експерименту.

Результат експерименту називається результатом. Простір вибірки експерименту - це сукупність усіх можливих результатів. Три способи представлення простору зразка: перерахувати можливі результати, створити діаграму дерева або створити діаграму Венна. Велика буква S використовується для позначення простору зразка. Наприклад, якщо ви перевернете одну справедливу монету,\(S = \{\text{H, T}\}\) де\(\text{H} =\) орел і\(\text{T} =\) решка - це результати.

Подія - це будь-яка комбінація результатів. Великі\(\text{A}\) літери люблять і\(\text{B}\) представляють події. Наприклад, якщо експеримент полягає в тому, щоб перевернути одну справедливу монету, подія\(\text{A}\) може отримати максимум одну голову. Імовірність події\(\text{A}\) пишеться\(P(\text{A})\).

Визначення: Ймовірність

Імовірність будь-якого результату - це довгострокова відносна частота цього результату. Імовірності знаходяться між нулем і одиницею, включно (тобто нуль і одиниця і всі числа між цими значеннями).

• \(P(\text{A}) = 0\)означає, що подія ніколи не\(\text{A}\) може статися.
• \(P(\text{A}) = 1\)означає, що подія\(\text{A}\) завжди відбувається.
• \(P(\text{A}) = 0.5\)означає,\(\text{A}\) що подія однаково ймовірно відбудеться або не відбудеться. Наприклад, якщо перевернути одну чесну монету багаторазово (від 20 до 2000 до 20 000 разів), відносна частота голів наближається до 0,5 (ймовірність голів).

Однаково імовірно означає, що кожен результат експерименту відбувається з однаковою ймовірністю. Наприклад, якщо ви кидаєте справедливу шестигранну смерть, кожне обличчя (1, 2, 3, 4, 5 або 6) так само ймовірно, що відбудеться, як і будь-яке інше обличчя. Якщо ви кидаєте справедливу монету, однаково ймовірні станеться голова (\(\text{H}\)\(\text{T}\)) та Tail (). Якщо ви випадковим чином вгадаєте відповідь на правдиве/помилкове питання на іспиті, ви з однаковою ймовірністю виберете правильну відповідь або неправильну відповідь.

Для обчислення ймовірності події А, коли всі результати у вибірковому просторі однаково вірогідні, підрахуйте кількість результатів для події\(\text{A}\) та розділіть на загальну кількість результатів у вибірковому просторі. Наприклад, якщо кинути справедливу копейку і справедливий нікель, простір зразка - це місце,\(\{\text{HH, TH, HT,TT}\}\) де\(\text{T} =\) хвости і\(\text{H} =\) голови. Простір вибірки має чотири результати. \(\text{A} =\)отримання однієї голови. Є два результати, які відповідають цій умові\(\text{\{HT, TH\}}\), так що\(P(\text{A}) = \frac{2}{4} = 0.5\).

Припустимо, ви кидаєте одну справедливу шестигранну матрицю, з цифрами {1, 2, 3, 4, 5, 6} на її гранях. Нехай подія\(\text{E} =\) прокатки число, яке є принаймні п'ять. Є два результати {5, 6}. \(P(\text{E}) = \frac{2}{6}\). Якби вам довелося котити плашку лише кілька разів, ви б не здивувалися, якби ваші спостережувані результати не відповідали ймовірності. Якби ви були котити матрицю дуже велику кількість разів, ви б очікували, що в цілому\(\frac{2}{6}\) з рулонів призведе до результату «принаймні п'ять». Ви б точно не очікували\(\frac{2}{6}\). Довгострокова відносна частота отримання цього результату наближалася б до теоретичної ймовірності,\(\frac{2}{6}\) оскільки кількість повторень зростає все більше і більше.

Визначення: Закон великих чисел

Ця важлива характеристика експериментів ймовірності відома як закон великих чисел, який стверджує, що, як кількість повторень експерименту збільшується, відносна частота, отримана в експерименті, як правило, стає все ближче і ближче до теоретичної ймовірності. Незважаючи на те, що результати не відбуваються за будь-якою встановленою схемою або порядком, загалом довгострокова спостережувана відносна частота наблизиться до теоретичної ймовірності. (Слово емпіричний часто використовується замість спостережуваного слова.)

Важливо розуміти, що в багатьох ситуаціях результати не однаково ймовірні. Монета або померти можуть бути несправедливими або упередженими. Два викладачі математики в Європі мали своїх студентів зі статистики перевірити бельгійську монету євро і виявили, що в 250 випробуваннях голова отримувалася 56% часу, а хвіст отримувався 44% часу. Дані, здається, показують, що монета не є справедливою монетою; більше повторень було б корисно зробити більш точний висновок про таку упередженість. Деякі кістки можуть бути упередженими. Подивіться на кістки в грі, яку ви маєте вдома; плями на кожному обличчі, як правило, невеликі отвори, вирізані, а потім пофарбовані, щоб зробити плями видимими. Ваші кістки можуть бути або не можуть бути упередженими; цілком можливо, що результати можуть впливати незначні відмінності у вазі через різну кількість отворів у обличчях. Азартні казино роблять багато грошей залежно від результатів від прокатки кісток, тому кістки казино робляться по-різному, щоб усунути упередженість. Казино-кубики мають плоскі грані; отвори повністю заповнені фарбою, що має таку ж щільність, як і матеріал, з якого зроблені кістки, так що кожна грань однаково вірогідна. Пізніше ми вивчимо методи, які слід використовувати для роботи з ймовірностями подій, які не однаково ймовірні.

Подія «OR»

Результат є в тому випадку,\(\text{A OR B}\) якщо результат знаходиться в\(\text{A}\) або знаходиться в\(\text{B}\) або є в обох\(\text{A}\) і\(\text{B}\). Наприклад, нехай\(\text{A} = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) і\(\text{B} = \{4, 5, 6, 7, 8\}\). \(\text{A OR B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Зверніть увагу, що 4 і 5 НЕ перераховані двічі.

Подія «І»

Результат є в тому випадку,\(\text{A AND B}\) якщо результат в обох\(\text{A}\) і\(\text{B}\) одночасно. Наприклад, нехай\(\text{A}\) і\(\text{B}\) бути {1, 2, 3, 4, 5} і {4, 5, 6, 7, 8} відповідно. Потім\(\text{A AND B} = {4, 5}\).

\(\text{A}\)Позначається доповнення події\(\text{A'}\) (читайте «Просте»). \(\text{A'}\)складається з усіх результатів, які НЕ знаходяться в\(\text{A}\). Зауважте, що

\[P(\text{A}) + P(\text{A′}) = 1. \nonumber\]

Наприклад, нехай\(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) і нехай\(\text{A} = {1, 2, 3, 4}\). Потім,\(\text{A′} = {5, 6}\) і\(P(A) = \frac{4}{6}\)\(P(\text{A′}) = \frac{2}{6}\), і

\[P(\text{A}) + P(\text{A′}) = \frac{4}{6} + \frac{2}{6} = 1. \nonumber\]

Записується умовна ймовірність\(\text{A}\)\(\text{B}\) заданого\(P(\text{A|B})\). \(P(\text{A|B})\)ймовірність того, що подія\(\text{A}\) відбудеться з огляду на те, що подія\(\text{B}\) вже відбулася. Умовне зменшує простір вибірки. Вираховуємо ймовірність\(\text{A}\) від зменшеного простору вибірки\(\text{B}\). Формула для\(P(\text{A|B})\) розрахунку

\[P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}} \nonumber\]

\(P(\text{B})\)де більше нуля.

Наприклад, припустимо, що ми кидаємо одну справедливу, шестигранну вмирає. Простір зразка\(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Нехай\(\text{A} =\) обличчя 2 або 3, а\(\text{B} =\) обличчя рівне (2, 4, 6). Для обчислення\(P(\text{A|B})\) підраховуємо кількість результатів 2 або 3 в просторі вибірки\(\text{B} = \{2, 4, 6\}\). Потім ми розділимо це на кількість результатів\(\text{B}\) (а не\(\text{S}\)).

Такий же результат отримуємо, скориставшись формулою. Пам'ятайте, що\(\text{S}\) має шість результатів.

\[ \begin{align*} P(\text{A|B}) &= \dfrac{ \text{ P(A AND B) } } {P(\text{B})} \\[4pt] &= \dfrac{\dfrac{\text{the number of outcomes that are 2 or 3 and even in S}}{6}}{\dfrac{\text{the number of outcomes that are even in S}}{6}} \\[4pt] &= \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \dfrac{1}{3} \end{align*}\]

Розуміння термінології та символів

Важливо уважно прочитати кожну проблему, щоб подумати і зрозуміти, що таке події. Розуміння формулювання - це перший дуже важливий крок у вирішенні ймовірнісних завдань. Перечитайте проблему кілька разів, якщо це необхідно. Чітко визначте подію, що цікавить. Визначте, чи є умова, викладене в формулюванні, яке вказувало б на те, що ймовірність умовна; уважно визначте умова, якщо така є.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Простір вибірки\(S\) - це цілі числа, що починаються з одиниці і менше 20.

1. \(S =\)_____________________________

   Нехай подія\(A =\) парних чисел і\(B =\) номерів подій більше 13.

2. \(A =\)_____________________,\(B =\) _____________________
3. \(P(\text{A}) =\)_____________,\(P(\text{B}) =\) ________________
4. \(\text{A AND B} =\)____________________,\(\text{A OR B} =\) ________________
5. \(P(\text{A AND B}) =\)_________,\(P(\text{A OR B}) =\) _____________
6. \(\text{A′} =\)_____________,\(P(\text{A′}) =\) _____________
7. \(P(\text{A}) + P(\text{A′}) =\)____________
8. \(P(\text{A|B}) =\)___________,\(P(\text{B|A}) =\) _____________; чи рівні ймовірності?

Відповідь

1. \(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
2. \(\text{A} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18\}, \text{B} = \{14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
3. \(P(\text{A}) = \frac{9}{19}\),\(P(\text{B}) = \frac{6}{19}\)
4. \(\text{A AND B} = \{14,16,18\}\),\(\text{A OR B} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
5. \(P(\text{A AND B}) = \frac{3}{19}\),\(P(\text{A OR B}) = \frac{12}{19}\)
6. \(\text{A′} = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\);\(P(\text{A′}) = \frac{10}{19}\)
7. \(P(\text{A}) + P(\text{A′}) = 1\left((\frac{9}{19} + \frac{10}{19} = 1\right)\)
8. \(P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}} = \frac{3}{6}, P(\text{B|A}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(A)}} = \frac{3}{9}\), Ні

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Простір вибірки S - це впорядковані пари двох цілих чисел, першого від одного до трьох і другого від одного до чотирьох (приклад: (1, 4)).

1. \(S =\)_____________________________
   Нехай подія\(A =\) сума\(B =\) парна, а подія перше число просте.
2. \(A =\)_____________________,\(B =\) _____________________
3. \(P(\text{A}) =\)_____________,\(P(\text{B}) =\) ________________
4. \(\text{A AND B} =\)____________________,\(\text{A OR B} =\) ________________
5. \(P(\text{A AND B}) =\)_________,\(P(\text{A OR B}) =\) _____________
6. \(\text{B′} =\)_____________,\(P(\text{B′)} =\) _____________
7. \(P(\text{A}) + P(\text{A′}) =\)____________
8. \(P(\text{A|B}) =\)___________,\(P(\text{B|A}) =\) _____________; чи рівні ймовірності?

Відповідь

1. \(\text{S} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
2. \(\text{A} = \{(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3)\}\)
   \(\text{B} = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
3. \(P(\text{A}) = \frac{1}{2}\),\(P(\text{B}) = \frac{2}{3}\)
4. \(\text{A AND B} = \{(2,2), (2,4), (3,1), (3,3)\}\)
   \(\text{A OR B} = \{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
5. \(P(\text{A AND B}) = \frac{1}{3}, P(\text{A OR B}) = \frac{5}{6}\)
6. \(\text{B′} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)\}, P(\text{B′}) = \frac{1}{3}\)
7. \(P(\text{B}) + P(\text{B′}) = 1\)
8. \(P(\text{A|B}) = \frac{P(\text{A AND B})}{P(\text{B})} = \frac{1}{2}, P(\text{B|A}) = \frac{P(\text{A AND B})}{P(\text{B})} = \frac{2}{3}\), Ні.

Приклад\(\PageIndex{2A}\)

Справедлива шестигранна плашка прокатана. Опишіть простір вибірки S, ідентифікуйте кожну з наступних подій з підмножиною S і обчислите його ймовірність (результатом є кількість точок, які з'являються).

1. \(\text{T} =\)Подія результату два.
2. \(\text{A} =\)Подія результатом є парне число.
3. \(\text{B} =\)Результат події менше чотирьох.
4. Доповнення\(\text{A}\).
5. \(\text{A GIVEN B}\)
6. \(\text{B GIVEN A}\)
7. \(\text{A AND B}\)
8. \(\text{A OR B}\)
9. \(\text{A OR B′}\)
10. \(\text{N} =\)Подія результатом є просте число.
11. \(\text{I} =\)Подія результат - сім.

Рішення

1. \(\text{T} = \{2\}\),\(P(\text{T}) = \frac{1}{6}\)
2. \(A = \{2, 4, 6\}\),\(P(\text{A}) = \frac{1}{2}\)
3. \(\text{B} = \{1, 2, 3\}\),\(P(\text{B}) = \frac{1}{2}\)
4. \(\text{A′} = \{1, 3, 5\}, P(\text{A′}) = \frac{1}{2}\)
5. \(\text{A|B} = \{2\}\),\(P(\text{A|B}) = \frac{1}{3}\)
6. \(\text{B|A} = \{2\}\),\(P(\text{B|A}) = \frac{1}{3}\)
7. \(\text{A AND B} = {2}, P(\text{A AND B}) = \frac{1}{6}\)
8. \(\text{A OR B} = \{1, 2, 3, 4, 6\}\),\(P(\text{A OR B}) = \frac{5}{6}\)
9. \(\text{A OR B′} = \{2, 4, 5, 6\}\),\(P(\text{A OR B′}) = \frac{2}{3}\)
10. \(\text{N} = \{2, 3, 5\}\),\(P(\text{N}) = \frac{1}{2}\)
11. Шестигранна плашка не має семи точок. \(P(7) = 0\).

Приклад\(\PageIndex{2B}\)

Таблиця описує розподіл випадкової\(S\) вибірки з 100 осіб, організованих за статтю і чи є вони правшами або лівшами.

	правша	Лівша
Самці	43	9
Самки	44	4

Позначимо події\(M =\) суб'єкт чоловічий,\(F =\) суб'єкт жіночий,\(R =\) суб'єкт - правша,\(L =\) суб'єкт - лівша. Обчислити такі ймовірності:

1. \(P(\text{M})\)
2. \(P(\text{F})\)
3. \(P(\text{R})\)
4. \(P(\text{L})\)
5. \(P(\text{M AND R})\)
6. \(P(\text{F AND L})\)
7. \(P(\text{M OR F})\)
8. \(P(\text{M OR R})\)
9. \(P(\text{F OR L})\)
10. \(P(\text{M'})\)
11. \(P(\text{R|M})\)
12. \(P(\text{F|L})\)
13. \(P(\text{L|F})\)

Відповідь

1. \(P(\text{M}) = 0.52\)
2. \(P(\text{F}) = 0.48\)
3. \(P(\text{R}) = 0.87\)
4. \(P(\text{L}) = 0.13\)
5. \(P(\text{M AND R}) = 0.43\)
6. \(P(\text{F AND L}) = 0.04\)
7. \(P(\text{M OR F}) = 1\)
8. \(P(\text{M OR R}) = 0.96\)
9. \(P(\text{F OR L}) = 0.57\)
10. \(P(\text{M'}) = 0.48\)
11. \(P(\text{R|M}) = 0.8269\)(округлено до чотирьох знаків після коми)
12. \(P(\text{F|L}) = 0.3077\)(округлено до чотирьох знаків після коми)
13. \(P(\text{L|F}) = 0.0833\)

Посилання

1. «Список країн за континентами». Світовий Атлас, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (доступ до 2 травня 2013 р.).

Рецензія

У цьому модулі ми вивчили основну термінологію ймовірності. Сукупність всіх можливих результатів експерименту називається простором вибірки. Події є підмножинами простору вибірки, і їм присвоюється ймовірність, яка є числом від нуля до одиниці включно.

Огляд формули

\(\text{A}\)і\(\text{B}\) є подіями

\(P(\text{S}) = 1\)де\(\text{S}\) знаходиться простір зразка

\(0 \leq P(\text{A}) \leq 1\)

\(P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}}\)

Глосарій

Умовна ймовірність

ймовірність того, що подія відбудеться з огляду на те, що інша подія вже сталася

Однаково ймовірно

Кожен результат експерименту має однакову ймовірність.

Подія

підмножина множини всіх результатів експерименту; множина всіх результатів експерименту називається простором вибірки і зазвичай позначається символом\(S\). Подія є довільною підмножиною в\(S\). Він може містити один результат, два результати, відсутність результатів (порожня підмножина), весь простір вибірки тощо. Стандартними позначеннями для подій є великі літери типу\(A, B, C\), і так далі.

Експеримент

планова діяльність, що здійснюється в контрольованих умовах

Результат

конкретний результат експерименту

Імовірність

число між нулем і одиницею, включно, що дає ймовірність того, що відбудеться конкретна подія; основу статистики дають наступні 3 аксіоми (А.Н.Колмогорова, 1930-е рр.): Давайте\(S\) позначимо простір вибірки і\(A\) і\(B\) є двома подіями в S. Потім:

• \(0 \leq P(\text{A}) \leq 1\)
• Якщо\(\text{A}\) і\(\text{B}\) є будь-якими двома взаємовиключними подіями, то\(\text{P}(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B})\).
• \(P(\text{S}) = 1\)

Простір зразків

сукупність всіх можливих результатів експерименту

Подія «І»

Результат є в тому випадку,\(\text{A AND B}\) якщо результат в обох\(\text{A AND B}\) одночасно.

Подія комплементу

Доповнення події\(\text{A}\) складається з усіх результатів, які НЕ знаходяться в\(\text{A}\).

Умовна імовірність A ЗАДАНОГО B

\(P(\text{A|B})\)ймовірність того, що подія\(\text{A}\) відбудеться з огляду на те, що подія\(\text{B}\) вже відбулася.

Подія або

Результат є в тому випадку,\(\text{A OR B}\) якщо результат знаходиться в\(\text{A}\) або знаходиться в\(\text{B}\) або є в обох\(\text{A}\) і\(\text{B}\).

Вправа 3.2.2

У конкретному класі коледжу є студенти чоловічої та жіночої статі. Деякі студенти мають довге волосся, а деякі студенти мають коротке волосся. Напишіть символи для ймовірностей подій для частин a - j. (Зауважте, що тут ви не можете знайти числові відповіді. Вам ще не дали достатньо інформації, щоб знайти будь-які значення ймовірності; сконцентруйтеся на розумінні символів.)

• Нехай\(\text{F}\) буде подія, що студентка - жінка.
• Нехай\(\text{M}\) буде подія, що студент - чоловік.
• Нехай\(\text{S}\) буде подія, що у студентки коротке волосся.
• Нехай\(\text{L}\) буде подія, що у школяра довге волосся.

1. Імовірність того, що у школяра немає довгого волосся.
2. Імовірність того, що студент - чоловік або має коротке волосся.
3. Імовірність того, що студентка - жінка і має довге волосся.
4. Імовірність того, що студент - чоловік, враховуючи, що у школяра довге волосся.
5. Імовірність того, що у школяра довге волосся, враховуючи, що учень - чоловік.
6. З усіх студенток велика ймовірність того, що у студентки коротке волосся.
7. З усіх учнів з довгим волоссям велика ймовірність того, що студентка - жінка.
8. Імовірність того, що студентка жіноча або має довге волосся.
9. Імовірність того, що випадково обраний студент - студент чоловічої статі з коротким волоссям.
10. Імовірність того, що студент - жінка.

Відповідь

1. \(P(\text{L′)} = P(\text{S})\)
2. \(P(\text{M OR S})\)
3. \(P(\text{F AND L})\)
4. \(P(\text{M|L})\)
5. \(P(\text{L|M})\)
6. \(P(\text{S|F})\)
7. \(P(\text{F|L})\)
8. \(P(\text{F OR L})\)
9. \(P(\text{M AND S})\)
10. \(P(\text{F})\)

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні чотири вправи. Коробка наповнена декількома партійними прихильниками. Він містить 12 капелюхів, 15 шумоутворювачів, десять пасток для пальців і п'ять мішків конфетті.

Нехай\(H =\) подія отримання капелюха.

Нехай\(N =\) подія отримання шумоутворювача.

Нехай\(F =\) подія потрапляє в пастку для пальців.

Нехай\(C =\) подія отримання мішечка з конфетті.

Вправа 3.2.3

Знайти\(P(\text{H})\).

Вправа 3.2.4

Знайти\(P(\text{N})\).

Відповідь

\(P(\text{N}) = \frac{15}{42} = \frac{5}{14} = 0.36\)

Вправа 3.2.5

Знайти\(P(\text{F})\).

Вправа 3.2.6

Знайти\(P(\text{C})\).

Відповідь

\(P(\text{C}) = \frac{5}{42} = 0.12\)

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні шість вправ. Баночка з 150 драже містить 22 червоних драже, 38 жовтих, 20 зелених, 28 фіолетових, 26 синіх, а решта помаранчевих.

Нехай\(B =\) подія отримання синього желейного бобу

Нехай\(G =\) подія отримання зеленого желейного бобу.

Нехай\(O =\) подія отримання апельсинового желейного бобу.

Нехай\(P =\) подія отримання фіолетового желейного бобу.

Нехай\(R =\) подія отримання червоної квасолі.

Нехай\(Y =\) подія отримання жовтого желейного бобу.

Вправа 3.2.7

Знайти\(P(\text{B})\).

Вправа 3.2.8

Знайти\(P(\text{G})\).

Відповідь

\(P(\text{G}) = \frac{20}{150} = \frac{2}{15} = 0.13\)

Вправа 3.2.9

Знайти\(P(\text{P})\).

Вправа 3.2.10

Знайти\(P(\text{R})\).

Відповідь

\(P(\text{R}) = \frac{22}{150} = \frac{11}{75} = 0.15\)

Вправа 3.2.11

Знайти\(P(\text{Y})\).

Вправа 3.2.12

Знайти\(P(\text{O})\).

Відповідь

\(P(text{O}) = \frac{150-22-38-20-28-26}{150} = \frac{16}{150} = \frac{8}{75} = 0.11\)

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні шість вправ. У Північній Америці 23 країни, 12 країн у Південній Америці, 47 країн Європи, 44 країни Азії, 54 країни Африки та 14 в Океанії (регіон Тихого океану).

Нехай\(\text{A} =\) подія, що країна знаходиться в Азії.

Нехай\(\text{E} =\) подія, що країна знаходиться в Європі.

Нехай\(\text{F} =\) подія, що країна знаходиться в Африці.

Нехай\(\text{N} =\) подія, що країна знаходиться в Північній Америці.

Нехай\(\text{O} =\) подія, що країна знаходиться в Океанії.

Нехай\(\text{S} =\) подія, що країна знаходиться в Південній Америці.

Вправа 3.2.13

Знайти\(P(\text{A})\).

Вправа 3.2.14

Знайти\(P(\text{E})\).

Відповідь

\(P(\text{E}) = \frac{47}{194} = 0.24\)

Вправа 3.2.15

Знайти\(P(\text{F})\).

Вправа 3.2.16

Знайти\(P(\text{N})\).

Відповідь

\(P(\text{N}) = \frac{23}{194} = 0.12\)

Вправа 3.2.17

Знайти\(P(\text{O})\).

Вправа 3.2.18

Знайти\(P(\text{S})\).

Відповідь

\(P(\text{S}) = \frac{12}{194} = \frac{6}{97} = 0.06\)

Вправа 3.2.19

Яка ймовірність витягнути червону картку в стандартну колоду з 52 карт?

Вправа 3.2.20

Яка ймовірність розіграшу клубу в стандартну колоду з 52 карт?

Відповідь

\(\frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0.25\)

Вправа 3.2.21

Яка ймовірність прокатки парної кількості точок з справедливою шестигранною плашкою під номером від одного до шести?

Вправа 3.2.22

Яка ймовірність прокатки простого числа точок з справедливою шестигранною матрицею, пронумерованою від одного до шести?

Відповідь

\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5\)

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні дві вправи. Ви бачите гру на місцевому ярмарку. Ви повинні кинути дротик в колірне коло. Кожна секція на колірному колі дорівнює за площею.

Малюнок\(\PageIndex{1}\).

Нехай\(\text{B} =\) подія посадки на синьому кольорі.

Нехай\(\text{R} =\) подія посадки на червоному.

Нехай\(\text{G} =\) подія посадки на зелений.

Нехай\(\text{Y} =\) подія посадки на жовтому кольорі.

Вправа 3.2.23

Якщо ви\(\text{Y}\) приземлитеся на, ви отримаєте найбільший приз. Знайти\(P(\text{Y})\).

Вправа 3.2.24

Якщо ви приземлитеся на червоному, ви не отримаєте приз. Що таке\(P(\text{R})\)?

Відповідь

\(\text{P}(R) = \frac{4}{8} = 0.5\)

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні десять вправ. На бейсбольній команді є інфілдери і аутфілдери. Деякі гравці є чудовими нападами, а деякі гравці не є великими нападами.

Нехай\(\text{I} =\) подія, що гравець в інфілдері.

Нехай\(\text{O} =\) подія, що гравець є аутфілдером.

Нехай\(\text{H} =\) подія, що гравець є великим нападником.

Нехай\(\text{N} =\) подія, що гравець не великий нападник.

Вправа 3.2.25

Напишіть символи для ймовірності того, що гравець не є аутфілдером.

Вправа 3.2.26

Напишіть символи для ймовірності того, що гравець є аутфілдером або є великим нападаючим.

Відповідь

\(P(\text{O OR H})\)

Вправа 3.2.27

Напишіть символи для ймовірності того, що гравець є інфілдером і не є великим нападником.

Вправа 3.2.28

Напишіть символи для ймовірності того, що гравець є великим нападником, враховуючи, що гравець є інфілдером.

Відповідь

\(P(\text{H|I})\)

Вправа 3.2.29

Напишіть символи для ймовірності того, що гравець є інфілдером, враховуючи, що гравець - великий нападник.

Вправа 3.2.30

Напишіть символи для ймовірності того, що з усіх аутфілдерів гравець не є великим нападником.

Відповідь

\(P(\text{N|O})\)

Вправа 3.2.31

Напишіть символи для ймовірності того, що з усіх великих нападників, гравець є аутфілдером.

Вправа 3.2.32

Напишіть символи для ймовірності того, що гравець є інфілдером або не є великим нападаючим.

Відповідь

\(P(\text{I OR N})\)

Вправа 3.2.33

Напишіть символи для ймовірності того, що гравець є аутфілдером і є великим нападник.

Вправа 3.2.34

Напишіть символи для ймовірності того, що гравець є інфілдером.

Відповідь

\(P(\text{I})\)

Вправа 3.2.35

Яке слово означає сукупність всіх можливих результатів?

Вправа 3.2.36

Що таке умовна ймовірність?

Відповідь

Імовірність того, що подія відбудеться з огляду на те, що інша подія вже сталася.

Вправа 3.2.37

Полиця вміщує 12 книг. Вісім - художня література, а решта - документальна література. Кожна з них - це різна книга з унікальною назвою. Художні книги нумеруються від одного до восьми. Книги документальної літератури нумеруються від одного до чотирьох. Випадковим чином вибрати одну книгу

Нехай\(\text{F} =\) подія, що книга є вигадкою

Нехай\(\text{N} =\) подія, що книга є документальною літературою

Що таке простір для зразків?

Вправа 3.2.38

Яка сума ймовірностей події та її доповнення?

Відповідь

1

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні дві вправи. Ви катаєте чесний, шестигранний кубик числа. Нехай\(\text{E} =\) подія, що вона приземляється на парне число. Нехай\(\text{M} =\) подія, що вона приземляється на кратну трьом.

Вправа 3.2.39

Що\(P(\text{E|M})\) означає в словах?

Вправа 3.2.40

Що\(P(\text{E OR M})\) означає в словах?

Відповідь

ймовірність посадки на парне число або кратне трьом