10.2: Робота з подіями
- Page ID
- 66515
Додаткові події
Тепер розберемо ймовірність того, що якась подія не відбудеться. Як і в попередньому розділі, розглянемо ситуацію прокатки шестигранної матриці і спочатку обчислити ймовірність прокатки шістки: відповідь є\(P(\text{six}) =\dfrac{1}{6}\). Тепер розглянемо ймовірність того, що ми не кидаємо шістку: є 5 результатів, які не є шісткою, тому відповідь є\(P(\text{not a six}) = \dfrac{5}{6}\). Зауважте, що
\(P(\text{six}) + P(\text{not a six}) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\)
Це не випадковість. Розглянемо загальну ситуацію з n можливими наслідками та подією\(E\), яка відповідає\(m\) цим результатам. Тоді решта\(n - m\) результатів відповідають тому, що\(E\) не відбувається, таким чином
\(P(\text{not } E) = \dfrac{n-m}{n} = \dfrac{n}{n} - \dfrac{m}{n} = 1 - \dfrac{m}{n} = 1 - P(E) \)
Доповненням події є подія «\(E\)не буває».
Позначення\(\overline{E}\) або\(E^c\) використовується для доповнення події\(E\). Ми можемо обчислити ймовірність доповнення за допомогою\(P(\overline{E}) = 1 - P(E)\). Зауважте також, що\(P(E) = 1 - P(\overline{E})\).
Якщо витягнути випадкову карту з колоди гральних карт, яка ймовірність, що це не серце?
Рішення
У колоді 13 сердець, так що\(P(\text{heart}) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}\).
Імовірність не намалювати серце є доповненням:
\(P(\text{not heart}) = 1 - P(\text{heart}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
Ймовірність двох незалежних подій
Припустимо, ми перевернули монету і закотили плашку, і хотіли знати ймовірність отримати голову на монету і 6 на плашку.
Рішення
Ми могли б перерахувати всі можливі результати: {Н1, Н2, Н3, Н4, Н5, Н6, Т1, Т2, Т3, Т4, Т5, Т6}.
Зверніть увагу, що є\(2 \cdot 6 = 12\) загальні результати. З них тільки\(1\) бажаний результат, тому ймовірність є\(\dfrac{1}{12}\).
Попередній приклад знаходження ймовірності для двох незалежних подій.
Події A і B є незалежними подіями, якщо ймовірність події B однакова незалежно від того, відбувається подія A чи ні.
Чи є ці події незалежними?
а) Справедлива монета кидається два рази. Дві події є (1) перший кидок - це голова і (2) другий кидок - голова.
б) Дві події (1) «Завтра в Х'юстоні буде дощ» і (2) «Завтра буде дощ в Галвестоні» (місто поблизу Х'юстона).
в) Ви витягуєте карту з колоди, потім витягуєте другу карту, не замінюючи першу.
Рішення
а) Імовірність того, що голова підніметься на другому кидку,\(\dfrac{1}{2}\) незалежно від того, підійшла чи ні голова на першому кидку, тому ці події є незалежними.
б) Ці події не є незалежними, оскільки більша ймовірність, що в Галвестоні буде дощ у дні, коли в Х'юстоні йде дощ, ніж у дні, коли це не так.
в) Імовірність того, що друга карта буде червоною, залежить від того, чи є перша карта червоною чи ні, тому ці події не є незалежними.
Коли дві події незалежні, ймовірність того, і іншого відбувається є продуктом ймовірностей окремих подій.
Якщо події\(A\) і\(B\) є незалежними, то ймовірність того,\(A\) і іншого і\(B\) відбувається дорівнює
\[P(A \text{ and } B) = P(A) \cdot P(B) \nonumber \]
де\(P(A \text{ and } B)\) - ймовірність подій\(A\) і того,\(B\) і іншого,\(P(A)\) що відбуваються, - ймовірність події,\(A\) що відбуваються, і\(P(B)\) ймовірність події\(B\).
Якщо озирнутися назад на приклад монети і померти від раніше, ви можете побачити, як кількість результатів першої події помножена на кількість результатів у другій події, помножена на загальну кількість можливих результатів у комбінованій події.
У вашому шухляді у вас 10 пар шкарпеток, 6 з яких білі, і 7 футболок, 3 з яких білі. Якщо ви випадково досягнете і витягнете пару шкарпеток і футболку, яка ймовірність того, що обидва білі?
Рішення
Імовірність вибору білої пари шкарпеток є\(\dfrac{6}{10}\).
Імовірність вибору білої майки є\(\dfrac{3}{7}\).
Оскільки ймовірність випадкового вибору білого носка однакова, незалежно від того, вибираємо ми випадковим чином білу футболку з ящика, то це самостійні заходи. Отже, ми можемо використовувати формулу ймовірності для незалежних подій.
Імовірність того, що обидва будуть білими\(\dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{18}{70} = \dfrac{9}{35}\)
Карту витягують колоду карт і відзначають. Потім карта замінюється, колода перетасовується, а друга карта знімається і відзначається. Яка ймовірність того, що обидві карти - тузи?
У попередніх прикладах розглядалася ймовірність виникнення обох подій. Зараз ми розглянемо ймовірність того чи іншого події.
Ймовірність виникнення двох подій
Припустимо, ми перевернули монету і закотили плашку, і хотіли знати ймовірність отримати голову на монету або 6 на плашку.
Рішення
Тут є ще 12 можливих результатів: {Н1, Н2, Н3, Н4, Н5, Н6, Т1, Т2, Т3, Т4, Т5, Т6}.
Просто підрахувавши, ми можемо побачити, що 7 результатів мають голову на монеті або 6 на матриці або обидва - ми використовуємо або включно тут (ці 7 результатів є H1, H2, H3, H4, H5, H6, T6), тому ймовірність є\(\dfrac{7}{12}\). Як ми могли знайти це з індивідуальних ймовірностей?
Як і слід було очікувати,\(\dfrac{1}{2}\) з цих результатів є голова, і\(\dfrac{1}{6}\) з цих результатів є 6 на померти. Якщо ми додамо їх\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{8}{12}\), що не є правильною ймовірністю. Дивлячись на результати, ми можемо зрозуміти, чому: результат Н6 був би підрахований двічі, оскільки він містить як голову, так і 6; ймовірність як голови, так і прокатки 6 є\(\dfrac{1}{12}\).
Якщо відняти цей подвійний підрахунок, ми маємо правильну ймовірність:\(\dfrac{8}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{7}{12}\)
Імовірність того\(A\) або іншого (\(B\)або того, і іншого) є
\[P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) – P(A \text{ and } B) \nonumber \]
Припустимо, ми витягуємо одну карту зі стандартної колоди. Яка ймовірність того, що ми отримаємо королеву або короля?
Рішення
У палубі є 4 королеви і 4 короля. Отже, 8 результатів, що відповідають королеві або королю з 52 можливих результатів. Таким чином, ймовірність намалювати королеву або короля дорівнює
\(P(\text{King or Queen}) = \dfrac{8}{52}\)
Зверніть увагу, що в даному випадку немає карт, які є одночасно королевою і королем, так що\(P(\text{King or Queen}) = 0\). Використовуючи правило ймовірності, отримаємо
\(P(\text{King or Queen}) = P(\text{King}) + P(\text{Queen}) - P(\text{King and Queen}) = \dfrac{4}{52} + \dfrac{4}{52} - 0 = \dfrac{8}{52}\)
В останньому прикладі події були взаємовиключними, так що\(P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)\).
Дві події є взаємовиключними, якщо події не можуть відбуватися одночасно. Якщо це так, то ми можемо використовувати формулу
\[P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) \nonumber \]
знайти ймовірність.
Деякі приклади:
- Якщо кинути монету, монета приземляється на голови або хвости, але не обидва.
- Якщо ми витягуємо карту, карта не може бути королевою і королем одночасно (або будь-якими двома обличчями). Однак обережно, тому що якщо ви витягнете карту з колоди, то карта може бути серцем і 8 одночасно, роблячи їх не взаємовиключними.
Припустимо, ми витягуємо одну карту зі стандартної колоди. Яка ймовірність того, що ми отримаємо червону картку або короля?
Рішення
Половина карт червоного кольору, так\(P(\text{red}) = \dfrac{26}{52}\)
Є чотири королі, так\(P(\text{King}) = \dfrac{4}{52}\)
Є два червоних короля, так\(P(\text{Red and King}) = \dfrac{2}{52}\)
Потім ми можемо обчислити
\(P(\text{Red or King}) = P(\text{Red}) + P(\text{King}) - P(\text{Red and King}) = \dfrac{26}{52} + \dfrac{4}{52} - \dfrac{2}{52} = \dfrac{28}{52}\)
Ймовірність принаймні одного
Імовірність виникнення хоча б однієї події становить
\[P(\text{at least one}) = 1 - P(\text{none}) \nonumber \]
У великому населенні вакциновані 70% людей. Якщо випадковим чином відібрано 5 осіб, яка ймовірність того, що хоча б один з них був щеплений?
Рішення
Так як нам потрібно знайти ймовірність того, що хоча б один з 5 обраних людей вакцинований, отримуємо
\(P(\text{at least one}) = 1 - P(\text{none})\)
\(P(\text{at least one is vaccinated}) = 1 - P(\text{none of the 5 are vaccinated})\)
Якщо щеплені 70% людей, то цим засобом 30% не щеплені. Отже,
\(P(\text{at least one is vaccinated}) = 1 - P(\text{none of the 5 are vaccinated})\)
\(= 1 – P(1^{st } \text{ isn’t vaccinated and \( 2^{nd}\)не щеплена...})\)
\(= 1 - (0.30) (0.30) (0.30) (0.30) (0.30)\)
\(= 1 - (0.30)^5 = 0.99757\)
Таким чином, існує шанс 0.99757 або 99,757%, що принаймні один з відібраних 5 осіб вакцинований.
У вашому шухляді у вас 10 пар шкарпеток, 6 з яких білі, і 7 футболок, 3 з яких білі. Якщо ви доберетеся і випадково захопити пару шкарпеток і футболку, яка ймовірність хоча б одного білого кольору?
У таблиці нижче наведено кількість опитуваних, які отримали і не отримали квиток на перевищення швидкості за останній рік, і колір їх автомобіля. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана людина:
а) Має червоний автомобіль і отримав квиток на перевищення швидкості
б) Має червону машину або отримав квиток на перевищення швидкості.
Рішення
| Квиток на перевищення швидкості | Немає квитка на перевищення швидкості | Всього | |
| Червоний автомобіль | 15 | 135 | 150 |
| Чи не червоний автомобіль | 45 | 470 | 515 |
| Всього | 60 | 605 | 665 |
Ми бачимо, що 15 людей з 665 опитаних мали як червону машину, так і отримали квиток на перевищення швидкості, тому ймовірність\(\dfrac{15}{665} ≈ 0.0226\)
Зверніть увагу, що наявність червоного автомобіля та отримання квитка на перевищення швидкості не є самостійними подіями, тому ймовірність того, що вони трапляються, є не просто продуктом ймовірностей кожного з них.
Ми могли б відповісти на це питання, просто склавши цифри:\(15\) люди з червоними автомобілями та квитками на перевищення швидкості +\(135\) з червоними автомобілями, але без квитка +\(45\) з квитком, але без червоного автомобіля =\(195\) люди. Отже, ймовірність\(\dfrac{195}{665} ≈ 0.2932\)
Ми також могли б знайти цю ймовірність за допомогою:
\(P(\text{had a red car}) + P(\text{got a speeding ticket}) – P(\text{had a red car and got a speeding ticket})\)
\(= \dfrac{150}{665} + \dfrac{60}{665} - \dfrac{15}{665} = \dfrac{195}{665}\)
Умовна ймовірність
Часто потрібно обчислити ймовірність події з огляду на те, що сталася інша подія.
Яка ймовірність того, що дві карти, витягнуті навмання з колоди гральних карт, будуть тузами?
Рішення
Може здатися, що можна було б скористатися формулою ймовірності двох незалежних подій і просто помножити\(\dfrac{4}{52} \cdot \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{169}\). Однак це було б неправильно, оскільки дві події не є незалежними. Якщо перша карта витягнута туз, то ймовірність того, що друга карта також є тузом, буде нижчою, оскільки в колоді залишилося б лише три тузи.
Після того, як перша вибрана карта - туз, ймовірність того, що друга карта вибрана також тузом називається умовною ймовірністю малювання туза. При цьому «умовою» є те, що перша карта - туз. Символічно ми пишемо це так:
\(P(\text{ace on second draw} | \text{an ace on the first draw})\)
Вертикальна смуга «|» читається як «дано», тому вищевказаний вираз коротко означає «Імовірність того, що туз буде намальований на другому розіграші, враховуючи, що туз був намальований на першій нічиї». Що це за ймовірність? Після того, як туз вилучено в першому розіграші, залишилося 3 туза з 51 загальної карти. Це означає, що умовна ймовірність намалювати туза після того, як один туз вже був намальований, є\(\dfrac{3}{51} = \dfrac{1}{17}\).
Таким чином, ймовірність того, що обидві карти будуть тузами, є\(\dfrac{4}{52} \cdot \dfrac{3}{51} = \dfrac{12}{2652} = \dfrac{1}{221}\).
Імовірність події\(B\) відбувається, враховуючи, що подія\(A\) сталася, представлена як\(P(B | A)\).
Це читається як «ймовірність\(B\) даного\(A\)»
Знайдіть ймовірність того, що штамп прокату показує 6, враховуючи, що перевернута монета показує голову.
Рішення
Це дві незалежні події, тому ймовірність прокатки штампу 6\(\dfrac{1}{6}\), незалежно від результату перевертання монети.
У таблиці нижче наведено кількість опитуваних, які отримали і не отримали квиток на перевищення швидкості за останній рік, і колір їх автомобіля. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана людина:
а) Має квиток на перевищення швидкості, враховуючи, що вони мають червоний автомобіль
б) Має червоний автомобіль, враховуючи, що вони мають квиток на перевищення швидкості
| Квиток на перевищення швидкості | Немає квитка на перевищення швидкості | Всього | |
| Червоний автомобіль | 15 | 135 | 150 |
| Чи не червоний автомобіль | 45 | 470 | 515 |
| Всього | 60 | 605 | 665 |
Рішення
а) Оскільки ми знаємо, що людина має червону машину, ми розглядаємо лише 150 людей у першому рядку таблиці. З них 15 мають квиток на перевищення швидкості, тому
\(P(\text{ticket} | \text{red car}) = \dfrac{15}{150} = \dfrac{1}{10} = 0.1 \)
б) Оскільки ми знаємо, що людина має квиток на перевищення швидкості, ми розглядаємо лише 60 осіб у першій колонці таблиці. З них 15 мають червону машину, так
\(P(\text{red car} | \text{ticket}) = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4} = 0.25 \)
Зверніть увагу з останнього прикладу, що не\(P(B | A)\) дорівнює\(P(A | B)\).
Ці види умовних ймовірностей - це те, що використовують страхові компанії для визначення ваших страхових тарифів. Вони дивляться на умовну ймовірність того, що ви потрапили в аварію, враховуючи ваш вік, ваш автомобіль, колір автомобіля, історію водіння тощо, і ціни вашої політики на основі цієї ймовірності.
Якщо події\(A\) і не\(B\) є самостійними, то
\[P(A \text{ and } B) = P(A) \cdot P(B | A) \nonumber \]
Якщо витягнути 2 карти з колоди, яка ймовірність того, що обидві є піками?
Рішення
Імовірність того, що перша карта - лопата, є\(\dfrac{13}{52}\).
Імовірність того, що друга карта є лопатою, враховуючи, що перша була лопатою, є\(\dfrac{12}{51}\), так як в колоді на одну менше лопати, а на одну менше загальних карт.
Імовірність того, що обидві карти є піками, є\(\dfrac{13}{52} \cdot \dfrac{12}{51} = \dfrac{156}{2652} ≈ 0.0588 \)
Якщо ви витягнете дві карти з колоди, яка ймовірність того, що ви отримаєте Бубновий туз і чорну карту?
Рішення
Ви можете задовольнити цю умову, маючи Case A або Case B, наступним чином:
Випадок А) ви можете отримати спочатку Ace of Diamonds, а потім чорну карту або
Випадок B) Ви можете отримати спочатку чорну карту, а потім Туз Бубнів.
Розрахуємо ймовірність випадку А. Імовірність того, що перша карта - це Бубновий туз\(\dfrac{1}{52}\). Імовірність того, що друга карта чорна, враховуючи, що перша карта - це Туз Бубнів,\(\dfrac{26}{51}\) тому що 26 з решти 51 карти чорні. Таким чином, ймовірність є\(\dfrac{1}{52} \cdot \dfrac{26}{51} = \dfrac{1}{102}\).
Тепер для випадку B: ймовірність того, що перша карта чорна, є\(\dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}\). Імовірність того, що друга карта - це Бубновий туз, враховуючи, що перша карта чорна, є\(\dfrac{1}{51}\). Таким чином\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{51} = \dfrac{1}{102}\), ймовірність випадку B така ж, як і ймовірність випадку 1.
Нагадаємо, що ймовірність\(A\) або\(B\) є\(P(A) + P(B) - P(A \text{ and } B)\). У цій задачі,\(P(A \text{ and } B) = 0\) оскільки перша карта не може бути Бубновим тузом і бути чорною картою. Тому ймовірність випадку А або випадку Б є\(\dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{101} = \dfrac{2}{101}\). Імовірність того, що ви отримаєте Бубновий туз і чорну карту при витягуванні двох карт з колоди, є\(\dfrac{2}{101}\).
У вашому шухляді у вас 10 пар шкарпеток, 6 з яких білі. Якщо ви досягнете і випадково захопите дві пари шкарпеток, яка ймовірність того, що обидва білі?
достатньо 18 Домашній тест на вагітність давали жінкам, потім вагітність перевіряли за допомогою аналізів крові. У наступній таблиці наведені результати домашнього тесту на вагітність. Знайти
а)\(P(\text{not pregnant} | \text{positive test result})\)
б)\(P(\text{positive test result} | \text{not pregnant})\)
| Позитивний тест | Негативний тест | Всього | |
| Вагітні | 70 | 4 | 74 |
| Не вагітна | 5 | 14 | 19 |
| Всього | 75 | 18 | 93 |
Рішення
а) Оскільки ми знаємо, що результат тесту був позитивним, ми обмежені 75 жінками в першій колонці, з яких 5 не були вагітними. \(P(\text{not pregnant} | \text{positive test result}) = \dfrac{5}{75} ≈ 0.067\).
б) Оскільки ми знаємо, що жінка не вагітна, ми обмежені 19 жінками другого ряду, з яких 5 мали позитивний тест. \(P(\text{positive test result} | \text{not pregnant}) = \dfrac{5}{19} ≈ 0.263\).
Другий результат - це те, що зазвичай називають помилковим позитивним: позитивний результат, коли жінка насправді не вагітна.