8.1: Прогалини зразків та ймовірність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67037

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Запишіть прогалини зразків.
Обчисліть ймовірності, вивчаючи прості події у вибіркових просторах.

Якщо дві монети кинуті, яка ймовірність того, що обидві монети впадуть головами? Проблема здається досить простою, але не рідкість можна почути невірну відповідь 1/3. Студент може неправильно міркувати, що якщо дві монети кинуті, є три можливості, одна голова, дві голови, або немає голів. Тому ймовірність двох головок - одна з трьох. Відповідь неправильна, тому що якщо ми кидаємо дві монети, є чотири можливості, а не три. Для наочності припустимо, що одна монета - копійка, а інша - нікель. Тоді у нас є наступні чотири можливості.

HH ХІТ Т ТТ

Можливість HT, наприклад, вказує на голову на копійку і хвіст на нікелі, тоді як TH являє собою хвіст на копійці і голову на нікелі. Саме з цієї причини ми наголошуємо на необхідності розуміння зразкових просторів.

Прогалини зразків

Акт гортання монет, прокатки кубиків, малювання карт або опитування людей називають експериментом ймовірності. Вибірковий простір експерименту - це сукупність усіх можливих результатів.

Приклад$\PageIndex{1}$

Якщо плашка згорнута, запишіть простір зразка.

Рішення

Плашка має шість облич, кожна з яких має однаково ймовірний шанс з'явитися. Тому сукупність всіх можливих результатів$S$ є

{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Приклад$\PageIndex{2}$

У сім'ї троє дітей. Напишіть зразок пробілу.

Рішення

Простір зразків складається з восьми можливостей.

{BBB, BBG, BGB, БГГ, ГБГ, ГБГ, ГГГ}

Можливість BGB, наприклад, вказує на те, що першим народженим є хлопчик, другий - дівчинка, а третій - хлопчик.

Ми проілюструємо ці можливості діаграмою дерева.

$Приклад 8.1.2.PNG$

Приклад$\PageIndex{3}$

Розкочуються два кубика. Запишіть зразок простору.

Рішення

Припускаємо, що один з кубиків червоний, а інший зелений. У нас є наступні 36 можливостей.

Зелений
Червоний	1	2	3	4	5	6
1	(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)	(1, 5)	(1, 6)
2	(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)	(2, 5)	(2, 6)
3	(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)	(3, 5)	(3, 6)
4	(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)	(4, 5)	(4, 6)
5	(5, 1)	(5, 2)	(5, 3)	(5, 4)	(5, 5)	(5, 6)
6	(6, 1)	(6, 2)	(6, 3)	(6, 4)	(6, 5)	(6, 6)

Наприклад, запис (2, 5) вказує на те, що червоний штамп показує 2, а зелений - 5.

Імовірність

Тепер, коли ми розуміємо поняття простору вибірки, ми визначимо ймовірність.

Визначення: Ймовірність

Для зразка простору$S$ та результату$A$$S$, наступні дві властивості задовольняються.

Якщо$A$ є результатом вибіркового простору, то ймовірність, що позначається$A$$P(A)$, знаходиться в межах від 0 до 1 включно. \[0 ≤ P(A) ≤ 1 \nonumber \]
Сума ймовірностей всіх результатів у$S$ дорівнює 1.

$P(A)$Імовірність події$A$ описує ймовірність або ймовірність виникнення цієї події.

Якщо$P(A) = 0$, подія А напевно не відбудеться. Якщо$P(A) = 1$, подія$A$ обов'язково станеться.
Якщо$P(A) = 0.5$, то подія А однаково ймовірно відбудеться або не відбудеться.
Якщо кинути справедливу монету, яка з однаковою ймовірністю приземлиться на орелах або хвостах, то P (голова) = 0,50.
Якщо прогноз погоди говорить, що сьогодні існує 70% ймовірність дощу, то P (Rain) = 0.70, що вказує на те, що це швидше дощ, ніж не дощ.

Приклад$\PageIndex{4}$

Якщо два кубики, один червоний і один зелений, прокатані, знайти ймовірність того, що червоний штамп показує 3, а зелений показує шість.

Рішення

Оскільки два кубики кидаються, існує 36 можливостей. Імовірність кожного результату, перерахованого в прикладі$\PageIndex{3}$, однаково вірогідна.

Оскільки (3, 6) є одним з таких результатів, ймовірність отримання (3, 6) дорівнює 1/36.

Щойно розглянутий нами приклад складався лише з одного результату зразкового простору. Ми часто зацікавлені у пошуку ймовірностей кількох результатів, представлених подією.

Подія є підмножиною простору зразка. Якщо подія складається тільки з одного результату, вона називається простою подією.

Приклад$\PageIndex{5}$

Якщо кинуті два кубика, знайдіть ймовірність того, що сума граней кубика дорівнює 7.

Рішення

Нехай Е представляють подію, що сума граней двох кубиків дорівнює 7.

Можливі випадки, коли сума дорівнює 7: (1, 6), (2,5), (3, 4), (4, 3), (5, 2)
та (6, 1), тому подія Е є

Е = {(1, 6), (2,5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

Імовірність події Е дорівнює

Р (Е) = 6/36 або 1/6.

Приклад$\PageIndex{6}$

Банка містить 3 червоних, 4 білих та 3 синіх мармуру. Якщо мармур обраний навмання, яка ймовірність того, що мармур - це червоний мармур або синій мармур?

Рішення

Ми припускаємо, що кульки є$r_1$$r_2$,$r_3$,$w_1$,,$w_2$,$w_3$,$w_4$,$b_1$,,$b_2$,$b_3$. Нехай подія$\mathrm{C}$ представляє, що мармур червоний або синій.

Простір зразка$\mathrm{S}=\left\{\mathrm{r}_{1}, \mathrm{r}_{2}, \mathrm{r}_{3}, \mathrm{w}_{1}, \mathrm{w}_{2}, \mathrm{w}_{3}, \mathrm{w}_{4}, \mathrm{b}_{1}, \mathrm{b}_{2}, \mathrm{b}_{3}\right\} $.

І подія$\mathrm{C}=\left\{\mathrm{r}_{1}, \mathrm{r}_{2}, \mathrm{r}_{3}, \mathrm{b}_{1}, \mathrm{b}_{2}, \mathrm{b}_{3}\right\}$

Тому ймовірність того$\mathrm{C}$,

\[\mathrm{P}(\mathrm{C})=6 / 10 \text { or } 3 / 5 \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{7}$

Банка містить три кульки під номером 1, 2 і 3. Якщо два кульки намальовані без заміни, яка ймовірність того, що сума чисел дорівнює 5?

Примітка: Два кульки в цьому прикладі малюються послідовно без заміни. Це означає, що після того, як мармур намальований, він не замінюється в банку, і тому більше не доступний для вибору на другому розіграші.

Рішення

Оскільки два кульки малюються без заміни, простір зразка складається з наступних шести можливостей.

\[\mathrm{S}=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\} \nonumber \]

Зауважте, що (1,1), (2,2) та (3,3) не вказані у зразковому просторі. Ці результати неможливі при малюванні без заміни, оскільки після того, як перший мармур намальований, але не замінений у банку, цей мармур не доступний у банку, який слід вибрати знову на другому розіграші.

Нехай подія$\mathrm{E}$ представляє, що сума чисел дорівнює п'яти. Тоді

\[\mathrm{E}=\{(2,3),(3,2)\} \nonumber \]

Тому$\mathrm{E}$ ймовірність

\[\mathrm{P}(\mathrm{E})=2 / 6 \text { or } 1 / 3 \nonumber. \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{8}$

Банка містить три кульки під номером 1, 2 і 3. Якщо два кульки намальовані без заміни, яка ймовірність того, що сума чисел становить не менше 4?

Рішення

Простір зразків, як у прикладі$\PageIndex{7}$, складається з наступних шести можливостей.

\[\mathrm{S}=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\} \nonumber \]

Нехай подія$\mathrm{F}$ представляє, що сума чисел не менше чотирьох. Тоді

\[\mathrm{F}=\{(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\} \nonumber \]

Тому$\mathrm{F}$ ймовірність

\[\mathrm{P}(\mathrm{F})=4 / 6 \text { or } 2 / 3 \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{9}$

Банка містить три кульки під номером 1, 2 і 3. Якщо два кульки намальовані з заміною, яка ймовірність того, що сума чисел дорівнює 5?

Примітка: Два кульки в цьому прикладі малюються послідовно з заміною. Це означає, що після того, як мармур намальований, він замінюється в банку, і тому доступний для вибору знову на другому розіграші.

Рішення

Коли два кульки малюються із заміною, простір зразка складається з наступних дев'яти можливостей.

\[\mathrm{S}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \nonumber \]

Зауважте, що (1,1), (2,2) та (3,3) перераховані у проміжку зразків. Ці результати можливі при малюванні із заміною, оскільки після того, як перший мармур намальований та замінений, цей мармур не доступний у банці, яку потрібно намалювати знову.

Нехай подія E представляє, що сума чисел дорівнює чотирьом. Тоді

\[ \mathrm{E} = {(2, 3), (3, 2) } \nonumber \]

Тому ймовірність$\mathrm{F}$ є$\mathrm{P}(\mathrm{E}) = 2/9$

Зверніть увагу, що в прикладі,$\PageIndex{9}$ коли ми вибрали кульки з заміною, ймовірність змінилася від Приклад,$\PageIndex{7}$ де ми вибрали кульки без заміни.

Приклад$\PageIndex{10}$

Банка містить три кульки під номером 1, 2 і 3. Якщо два кульки намальовані з заміною, яка ймовірність того, що сума чисел становить не менше 4?

Рішення

Простір зразка при малюванні з заміною складається з наступних дев'яти можливостей.

\[ \mathrm{S} = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3,3)} \nonumber \]

Нехай подія$\mathrm{F}$ представляє, що сума чисел не менше чотирьох. Тоді

\[ \mathrm{F} = {(1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (2,2), (3,3)} \nonumber \]

Тому$\mathrm{F}$ ймовірність

\[\mathrm{P}(\mathrm{F}) = 6/9 \text{ or } 2/3 \nonumber. \nonumber \]

Зверніть увагу, що в прикладі,$\PageIndex{10}$ коли ми вибрали кульки з заміною, ймовірність така ж, як у прикладі,$\PageIndex{8}$ де ми вибрали кульки без заміни.

Таким чином, вибірка з заміною або без неї МОЖЕ змінювати ймовірності, але не може, залежно від ситуації в конкретній проблемі, що розглядається. Ми переглянемо поняття вибірки з заміною та без неї в розділі 8.3.

Приклад$\PageIndex{11}$

Одна 6-стороння матриця прокатується один раз. Знайдіть ймовірність того, що результат більше 4.

Рішення

Простір зразків складається з наступних шести можливостей у наборі$\mathrm{S}$:$\mathrm{S}={1,2,3,4,5,6}$

$\mathrm{E}$Дозволяти подія, що число прокату більше чотирьох:$\mathrm{E}={5,6} $

Тому ймовірність$\mathrm{E}$ становить:$\mathrm{P}(\mathrm{E}) = 2/6 \text{ or } 1/3$.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Визначення: Ймовірність

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\)