3.1: Термінологія ймовірності

Ймовірність - це міра, яка пов'язана з тим, наскільки ми впевнені в результатах конкретного експерименту чи діяльності. Експеримент - це планова операція, що проводиться в контрольованих умовах. Якщо результат не визначений, то експеримент, як кажуть, є випадковим експериментом. Перегортання однієї справедливої монети двічі - приклад експерименту.

Результат експерименту називається результатом. Простір вибірки експерименту - це сукупність усіх можливих результатів. Три способи представлення простору зразка: перерахувати можливі результати, створити діаграму дерева або створити діаграму Венна. Прописна буква$S$ використовується для позначення простору зразка. Наприклад, якщо ви перевернете одну справедливу монету,$S = \{H, T\}$ де$H =$ орел і$T =$ решка - це результати.

Подія - це будь-яка комбінація результатів. Великі$A$ літери люблять і$B$ представляють події. Наприклад, якщо експеримент полягає в тому, щоб перевернути одну справедливу монету, подія$A$ може отримати максимум одну голову. Імовірність події$A$ пишеться$P(A)$.

Імовірність будь-якого результату - це довгострокова відносна частота цього результату. Імовірності знаходяться між нулем і одиницею, включно (тобто нуль і одиниця і всі числа між цими значеннями). $P(A) = 0$означає, що подія ніколи не$A$ може статися. $P(A) = 1$означає, що подія$A$ завжди відбувається. $P(A) = 0.5$означає,$A$ що подія однаково ймовірно відбудеться або не відбудеться. Наприклад, якщо перевернути одну чесну монету багаторазово (від 20 до 2000 до 20 000 разів), відносна частота голів наближається до 0,5 (ймовірність голів).

Однаково імовірно означає, що кожен результат експерименту відбувається з однаковою ймовірністю. Наприклад, якщо ви кидаєте справедливу шестигранну смерть, кожне обличчя (1, 2, 3, 4, 5 або 6) так само ймовірно, що відбудеться, як і будь-яке інше обличчя. Якщо ви кидаєте справедливу монету, голова (H) і хвіст (T) однаково ймовірні. Якщо ви випадковим чином вгадаєте відповідь на правдиве/помилкове питання на іспиті, ви з однаковою ймовірністю виберете правильну відповідь або неправильну відповідь.

Для обчислення ймовірності події А, коли всі результати у вибірковому просторі однаково вірогідні, порахуйте кількість результатів для події А та розділіть на загальну кількість результатів у вибірковому просторі. Наприклад, якщо кинути справедливу копейку і справедливий нікель, простір зразка - це місце,$\{HH, TH, HT, TT\}$ де$T =$ хвости і$H =$ голови. Простір вибірки має чотири результати. A = отримання однієї голови. Є два результати, які відповідають цій умові$\{HT, TH\}$, так що$P(A) = \frac{2}{4} = 0.5$.

Припустимо, ви катаєте одну справедливу шестигранну плашку, з цифрами$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ на її гранях. Нехай подія$E =$ прокатки число, яке є принаймні п'ять. Є два результати$\{5, 6\}$. $P(E) = \frac{2}{6}$Якби вам довелося котити плашку лише кілька разів, ви б не здивувалися, якби ваші спостережувані результати не відповідали ймовірності. Якби ви були котити матрицю дуже велику кількість разів, ви б очікували, що в цілому$\frac{2}{6}$ з рулонів призведе до результату «принаймні п'ять». Ви б точно не очікували$\frac{2}{6}$. Довгострокова відносна частота отримання цього результату наближалася б до теоретичної ймовірності,$\frac{2}{6}$ оскільки кількість повторень зростає все більше і більше.

Ця важлива характеристика експериментів ймовірності відома як закон великих чисел, який стверджує, що, як кількість повторень експерименту збільшується, відносна частота, отримана в експерименті, як правило, стає все ближче і ближче до теоретичної ймовірності. Незважаючи на те, що результати не відбуваються за будь-якою встановленою схемою або порядком, загалом довгострокова спостережувана відносна частота наблизиться до теоретичної ймовірності. (Слово емпіричний часто використовується замість спостережуваного слова.)

Важливо розуміти, що в багатьох ситуаціях результати не однаково ймовірні. Монета або померти можуть бути несправедливими або упередженими. Два викладачі математики в Європі мали своїх студентів зі статистики перевірити бельгійську монету євро і виявили, що в 250 випробуваннях голова отримувалася 56% часу, а хвіст отримувався 44% часу. Дані, здається, показують, що монета не є справедливою монетою; більше повторень було б корисно зробити більш точний висновок про таку упередженість. Деякі кістки можуть бути упередженими. Подивіться на кістки в грі, яку ви маєте вдома; плями на кожному обличчі, як правило, невеликі отвори, вирізані, а потім пофарбовані, щоб зробити плями видимими. Ваші кістки можуть бути або не можуть бути упередженими; цілком можливо, що результати можуть впливати незначні відмінності у вазі через різну кількість отворів у гранях. Азартні казино роблять багато грошей залежно від результатів від прокатки кісток, тому кістки казино робляться по-різному, щоб усунути упередженість. Казино-кубики мають плоскі грані; отвори повністю заповнені фарбою, що має таку ж щільність, як і матеріал, з якого зроблені кістки, так що кожна грань однаково вірогідна. Пізніше ми вивчимо методи, які слід використовувати для роботи з ймовірностями подій, які не однаково ймовірні.

$\cup$«Подія: Союз

Результат є в тому випадку,$A \cup B$ якщо результат знаходиться в A або знаходиться в B або в обох A і B Наприклад, нехай$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ і$B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Зверніть увагу, що 4 і 5 НЕ перераховані двічі.

$\cap$«Подія: Перехрестя

Результат є в тому випадку,$A \cap B$ якщо результат знаходиться в обох A і B одночасно. Наприклад, нехай$A$ і$B$ бути$\{1, 2, 3, 4, 5\}$ і$\{4, 5, 6, 7, 8\}$, відповідно. Потім$A \cap B = \{4, 5\}$.

Доповнення події А позначається A′ (читати «A prime»). A′ складається з усіх результатів, які НЕ знаходяться в A. зверніть увагу, що$P(A) + P(A′) = 1$. Наприклад, нехай$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ і нехай$A = \{1, 2, 3, 4\}$. Потім,$A′ = \{5, 6\}$. $P(A) = \frac{4}{6}$,$P(A′) = \frac{2}{6}$, і$P(A) + P(A′) = \frac{4}{6}+\frac{2}{6}=1$

Записується умовна ймовірність$A$$B$ заданого$P(A|B)$. $P(A|B)$ймовірність того, що подія$A$ відбудеться з огляду на те, що подія$B$ вже відбулася. Умовне зменшує простір вибірки. Обчислимо ймовірність A з зменшеного простору вибірки$B$. Формула для обчислення$P(A|B)$ -$P(B)$ це$P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ де більше нуля.

Наприклад, припустимо, що ми кидаємо одну справедливу, шестигранну вмирає. Простір зразка$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Нехай$A =$ обличчя 2 або 3, а$B =$ обличчя рівне$(2, 4, 6)$. Для обчислення$P(A|B)$ підраховуємо кількість результатів 2 або 3 в просторі вибірки$B = \{2, 4, 6\}$. Потім ми розділимо це на кількість результатів$B$ (а не$S$).

Такий же результат отримуємо, скориставшись формулою. Пам'ятайте, що$S$ має шість результатів.

$P(A|B) = \frac{\frac{(\text { the number of outcomes that are } 2 \text { or } 3 \text { and even in } S)}{6}}{\frac{(\text { the number of outcomes that are even in } S)}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{3}$

Коефіцієнти

Шанси на подію представляє ймовірність як співвідношення успіху до невдачі. Це поширене в різних форматах азартних ігор. Математично шанси на подію можна визначити як:

$$\frac{P(A)}{1-P(A)}\nonumber$$

$P(A)$де ймовірність успіху і звичайно$1 − P(A)$ ж ймовірність невдачі. Коефіцієнти завжди цитуються як «чисельник до знаменника», наприклад 2 до 1. Тут ймовірність виграшу вдвічі більше, ніж у програшу; таким чином, ймовірність виграшу дорівнює 0,66. Імовірність виграшу 0,60 призведе до шансів на користь виграшу від 3 до 2. Хоча розрахунок коефіцієнтів може бути корисним в гральних закладах при визначенні сум виплати, це не корисно для розуміння ймовірності або статистичної теорії.

Розуміння термінології та символів

Важливо уважно прочитати кожну проблему, щоб подумати і зрозуміти, що таке події. Розуміння формулювання - це перший дуже важливий крок у вирішенні ймовірнісних завдань. Перечитайте проблему кілька разів, якщо це необхідно. Чітко визначте подію, що цікавить. Визначте, чи є умова, викладене в формулюванні, яке вказувало б на те, що ймовірність умовна; уважно визначте умова, якщо така є.

Рішення 3.3

1. $P(M) = 0.52$
2. $P(F) = 0.48$
3. $P(R) = 0.87$
4. $P(L) = 0.13$
5. $P(M \cap R) = 0.43$
6. $P(F \cap L) = 0.04$
7. $P(M \cup F) = 1$
8. $P(M \cup R) = 0.96$
9. $P(F \cup L) = 0.57$
10. $P(M') = 0.48$
11. $P(R|M) = 0.8269$(округлено до чотирьох знаків після коми)
12. $P(F|L) = 0.3077$(округлено до чотирьох знаків після коми)
13. $P(L|F) = 0.0833$