7.4: Ануїтети виплат

В останньому розділі ви дізналися про ануїтети. У ануїтеті ви починаєте ні з чого, регулярно вкладаєте гроші на рахунок і в кінцевому підсумку отримуєте гроші на своєму рахунку. У цьому розділі ми дізнаємося про варіацію під назвою ануїтет виплат. З ануїтетом виплат ви починаєте з грошей на рахунку і регулярно витягуєте гроші з рахунку. Будь-які залишилися гроші на рахунку заробляють відсотки. Через фіксовану кількість часу рахунок залишиться порожнім.

Виплата ануїтетів зазвичай використовуються після виходу на пенсію. Можливо, ви заощадили 500 000 доларів на пенсію, і хочете щомісяця знімати гроші з рахунку, щоб жити далі. Ви хочете, щоб гроші тривали вам 20 років. Це ануїтет виплат. Формула виводиться аналогічно тому, як ми робили для ощадних ануїтетів. Деталі тут опущені.

Формула ануїтету виплат

$$P_0 = \dfrac{d \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{r}{k} \right)^{-Nk} \right) }{\left(\dfrac{r}{k}\right)} \label{payout}$$

де

• $P_0$залишок на рахунку на початку (стартова сума, або основна сума).
• $d$це регулярне зняття (сума, яку ви знімаєте щороку, щомісяця тощо)
• $r$річна процентна ставка (в десятковій формі. Приклад:$5\% = 0.05$)
• $k$кількість періодів компаундирования в одному році.
• $N$це кількість років, які ми плануємо взяти зняття

Як і у випадку з ануїтетами, частота складання не завжди явно дається, але визначається тим, як часто ви приймаєте зняття коштів.

Коли ви це робите

Виплата ануїтетів передбачає, що ви берете гроші з рахунку за звичайним графіком (щомісяця, року, кварталу і т.д.) а решта нехай сидять там, заробляючи відсотки.

• Складні відсотки: Один депозит
• Аннуїтет: Багато депозитів
• Виплата ануїтет: Багато зняття

Приклад$\PageIndex{1}$

Після виходу на пенсію ви хочете мати можливість брати 1000 доларів щомісяця в цілому 20 років з вашого пенсійного рахунку. На рахунку заробляє 6% відсотків. Скільки вам знадобиться в особистому кабінеті при виході на пенсію?

Рішення

У цьому прикладі

Щомісячне зняття:

$d = $1000$

6% річна ставка:

$r = 0.06$

Оскільки ми робимо щомісячні зняття коштів, ми будемо складати щомісяця:

$k = 12$

Так як брали зняття коштів протягом 20 років:

$N = 20$

Ми шукаємо$P_0$; скільки грошей має бути на рахунку на початку. Поклавши це в рівняння\ ref {виплата}, отримуємо

$$\begin{align*} P_0 &= \dfrac{1000 \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{0.06}{12} \right)^{-20(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.06}{12}\right)} \\[4pt] &= \dfrac{1000 \times \left( 1 - \left( 1.005 \right)^{-240} \right) }{\left( 0.005 \right)} \\[4pt] &= \dfrac{1000 \times \left( 1 - 0.302 \right) }{\left( 0.005 \right)} = $139,600 \end{align*} \nonumber$$

Вам потрібно буде мати$$139,600$ в своєму обліковому записі, коли ви вийдете на пенсію.

Зверніть увагу, що ви зняли в цілому$$240,000$ ($$1000$місяць протягом$240$ місяців). Різниця між тим, що ви витягнули, і тим, з чого ви почали, - це зароблені відсотки. В даному випадку це$$240,000 - $139,600 = $100,400$ в інтересах.

Оцінка негативних показників на калькуляторі

При цих проблемах потрібно підняти цифри до негативних сил. Більшість калькуляторів мають окрему кнопку для заперечення числа, відмінного від кнопки віднімання. Деякі калькулятори позначають це$(-)$, деякі з$+/-$. Кнопка часто знаходиться біля$=$ ключа або десяткової крапки.

Якщо ваш калькулятор відображає операції на ньому (як правило, калькулятор з багаторядковим дисплеєм), для обчислення$1.005^{-240}$ потрібно ввести щось на кшталт$1.005$$^$$(-)$$240$

Якщо ваш калькулятор показує лише одне значення за раз, то зазвичай ви натискаєте$(-)$ клавішу після числа, щоб скасувати його, тому ви вводите$1.005$$y^x$$(-)$$240$$=$

Дайте йому спробувати,$-$ ви повинні отримати$1.005^{-240} = 0.302096$

Приклад$\PageIndex{2}$

Ви знаєте, що у вас буде 500 000 доларів на вашому рахунку, коли ви вийдете на пенсію. Ви хочете мати можливість щомісячно знімати кошти з рахунку протягом 30 років. Ваш пенсійний рахунок заробляє 8% відсотків. Скільки ви зможете знімати щомісяця?

Рішення

У цьому прикладі ми шукаємо$d$.

8% річна ставка:

$r = 0.08$

Оскільки ми знімаємо щомісяця:

$k = 12$

30 років:

$N= 30$

Ми починаємо з $500 000:

$P_{30} = $500,000$

У цьому випадку ми будемо мати, щоб налаштувати Equation\ ref {виплата}, і вирішити для$d$.

$500000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1+ \dfrac{0.08}{12} \right)^{-30(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.08}{12}\right)}$

$500000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1.00667 \right)^{-360} \right) }{\left( 0.00667 \right)}$

$500000 = d(136.232)$

$d = \dfrac{500000}{136.232} = $3670.21$

Ви зможете знімати$$3,670.21$ щомісяця протягом$30$ багатьох років.

Загалом, якщо ми хочемо отримати суму кожного зняття, ми можемо переписати формулу ануїтету виплат (Equation\ ref {pout}) як

$$d = \dfrac{P_0 \cdot \dfrac{r}{k}}{\left( 1 - \left( 1 + \dfrac{r}{k} \right)^{-Nk} \right)} \nonumber$$

Спробуйте зараз 3

Донор дає 100 000 доларів університету, і вказує, що він буде використовуватися для надання щорічних стипендій на наступні 20 років. Якщо вуз може заробляти 4% відсотків, скільки вони можуть давати стипендії щороку?