7.4: Ануїтети виплат
- Page ID
- 66578
В останньому розділі ви дізналися про ануїтети. У ануїтеті ви починаєте ні з чого, регулярно вкладаєте гроші на рахунок і в кінцевому підсумку отримуєте гроші на своєму рахунку. У цьому розділі ми дізнаємося про варіацію під назвою ануїтет виплат. З ануїтетом виплат ви починаєте з грошей на рахунку і регулярно витягуєте гроші з рахунку. Будь-які залишилися гроші на рахунку заробляють відсотки. Через фіксовану кількість часу рахунок залишиться порожнім.
Виплата ануїтетів зазвичай використовуються після виходу на пенсію. Можливо, ви заощадили 500 000 доларів на пенсію, і хочете щомісяця знімати гроші з рахунку, щоб жити далі. Ви хочете, щоб гроші тривали вам 20 років. Це ануїтет виплат. Формула виводиться аналогічно тому, як ми робили для ощадних ануїтетів. Деталі тут опущені.
\[P_0 = \dfrac{d \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{r}{k} \right)^{-Nk} \right) }{\left(\dfrac{r}{k}\right)} \label{payout} \]
де
- \(P_0\)залишок на рахунку на початку (стартова сума, або основна сума).
- \(d\)це регулярне зняття (сума, яку ви знімаєте щороку, щомісяця тощо)
- \(r\)річна процентна ставка (в десятковій формі. Приклад:\(5\% = 0.05\))
- \(k\)кількість періодів компаундирования в одному році.
- \(N\)це кількість років, які ми плануємо взяти зняття
Як і у випадку з ануїтетами, частота складання не завжди явно дається, але визначається тим, як часто ви приймаєте зняття коштів.
Виплата ануїтетів передбачає, що ви берете гроші з рахунку за звичайним графіком (щомісяця, року, кварталу і т.д.) а решта нехай сидять там, заробляючи відсотки.
- Складні відсотки: Один депозит
- Аннуїтет: Багато депозитів
- Виплата ануїтет: Багато зняття
Після виходу на пенсію ви хочете мати можливість брати 1000 доларів щомісяця в цілому 20 років з вашого пенсійного рахунку. На рахунку заробляє 6% відсотків. Скільки вам знадобиться в особистому кабінеті при виході на пенсію?
Рішення
У цьому прикладі
Щомісячне зняття:
\(d = $1000\)
6% річна ставка:
\(r = 0.06\)
Оскільки ми робимо щомісячні зняття коштів, ми будемо складати щомісяця:
\(k = 12\)
Так як брали зняття коштів протягом 20 років:
\(N = 20\)
Ми шукаємо\(P_0\); скільки грошей має бути на рахунку на початку. Поклавши це в рівняння\ ref {виплата}, отримуємо
\[\begin{align*} P_0 &= \dfrac{1000 \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{0.06}{12} \right)^{-20(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.06}{12}\right)} \\[4pt] &= \dfrac{1000 \times \left( 1 - \left( 1.005 \right)^{-240} \right) }{\left( 0.005 \right)} \\[4pt] &= \dfrac{1000 \times \left( 1 - 0.302 \right) }{\left( 0.005 \right)} = $139,600 \end{align*} \nonumber \]
Вам потрібно буде мати\($139,600\) в своєму обліковому записі, коли ви вийдете на пенсію.
Зверніть увагу, що ви зняли в цілому\($240,000\) (\($1000\)місяць протягом\(240\) місяців). Різниця між тим, що ви витягнули, і тим, з чого ви почали, - це зароблені відсотки. В даному випадку це\($240,000 - $139,600 = $100,400\) в інтересах.
При цих проблемах потрібно підняти цифри до негативних сил. Більшість калькуляторів мають окрему кнопку для заперечення числа, відмінного від кнопки віднімання. Деякі калькулятори позначають це\((-)\), деякі з\(+/-\). Кнопка часто знаходиться біля\(=\) ключа або десяткової крапки.
Якщо ваш калькулятор відображає операції на ньому (як правило, калькулятор з багаторядковим дисплеєм), для обчислення\(1.005^{-240}\) потрібно ввести щось на кшталт\(1.005\)\(^\)\((-)\)\(240\)
Якщо ваш калькулятор показує лише одне значення за раз, то зазвичай ви натискаєте\((-)\) клавішу після числа, щоб скасувати його, тому ви вводите\(1.005\)\(y^x\)\((-)\)\(240\)\(=\)
Дайте йому спробувати,\(-\) ви повинні отримати\(1.005^{-240} = 0.302096\)
Ви знаєте, що у вас буде 500 000 доларів на вашому рахунку, коли ви вийдете на пенсію. Ви хочете мати можливість щомісячно знімати кошти з рахунку протягом 30 років. Ваш пенсійний рахунок заробляє 8% відсотків. Скільки ви зможете знімати щомісяця?
Рішення
У цьому прикладі ми шукаємо\(d\).
8% річна ставка:
\(r = 0.08\)
Оскільки ми знімаємо щомісяця:
\(k = 12\)
30 років:
\(N= 30\)
Ми починаємо з $500 000:
\(P_{30} = $500,000\)
У цьому випадку ми будемо мати, щоб налаштувати Equation\ ref {виплата}, і вирішити для\(d\).
\(500000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1+ \dfrac{0.08}{12} \right)^{-30(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.08}{12}\right)} \)
\(500000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1.00667 \right)^{-360} \right) }{\left( 0.00667 \right)} \)
\(500000 = d(136.232) \)
\(d = \dfrac{500000}{136.232} = $3670.21 \)
Ви зможете знімати\($3,670.21\) щомісяця протягом\(30\) багатьох років.
Загалом, якщо ми хочемо отримати суму кожного зняття, ми можемо переписати формулу ануїтету виплат (Equation\ ref {pout}) як
\[d = \dfrac{P_0 \cdot \dfrac{r}{k}}{\left( 1 - \left( 1 + \dfrac{r}{k} \right)^{-Nk} \right)} \nonumber \]
Донор дає 100 000 доларів університету, і вказує, що він буде використовуватися для надання щорічних стипендій на наступні 20 років. Якщо вуз може заробляти 4% відсотків, скільки вони можуть давати стипендії щороку?