7.2: Складні відсотки

З простим інтересом ми припускали, що ми кишені відсотки, коли отримали його. На стандартному банківському рахунку будь-які відсотки, які ми отримуємо, автоматично додаються до нашого балансу, і ми отримуємо відсотки на ці відсотки в наступні роки. Таке реінвестування відсотків називається компаундуванням.

Припустимо, що ми вносимо $1,000 на банківський рахунок, що пропонує 3% відсотків, що складаються щомісяця. Як будуть рости наші гроші?

Відсотки 3% - це річна процентна ставка (APR) - загальна сума відсотків, що підлягають сплаті протягом року. Так як відсотки виплачуються щомісяця, кожен місяць ми будемо заробляти$\dfrac{3 \%}{12} = 0.25 \%$ в місяць.

У перший місяць

$P_0 = $1000$

$r = 0.0025 (0.25\%)$

$I = $1000 (0.0025) = $2.50$

$A = $1000 + $2.50 = $1,002.5$

У перший місяць ми заробимо 2,50 долара відсотка, збільшивши залишок нашого рахунку до $1,002,50. У другому місяці

$P_0 = $1,002.50$

$I = $1002.50 (0.0025) = $2.51$(округлі)

$A = $1002.50 + $2.51 = $1005.01$

Зверніть увагу, що на другому місяці ми заробили більше відсотків, ніж за перший місяць. Це тому, що ми заробили відсотки не тільки на оригінальні $1,000, які ми внесли, але ми також заробили відсотки на 2,50 доларів відсотків, які ми заробили в перший місяць. Це ключова перевага, яку дає нам складання інтересу.

Розраховуємо ще кілька місяців:

Місяць	Стартовий баланс	Зароблені відсотки	Кінцева Баланс
1	1000.00	2.50	1002.50
2	1002.50	2.50	1005.01
3	1005.01	2.51	1007.52
4	1007.52	2.52	1010.04
5	1010.04	2.53	1012.57
6	1012.57	2.53	1015.10
7	1015.10	2.54	1017.64
8	1017.64	2.54	1020.18
9	1020.18	2.55	1022.73
10	1022.73	2.56	1025.29
11	1025.29	2.56	1027.85
12	1027.85	2.57	1030.42

Щоб знайти рівняння для представлення цього, якщо$P_m$ представляє суму грошей через$m$ місяці, то ми могли б написати рекурсивне рівняння:

$P_0 = $1000$

$P_m = (1+0.0025)P_{m-1}$

Ви, напевно, визнаєте це як рекурсивну форму експоненціального зростання. Якщо ні, ми могли б пройти кроки, щоб побудувати явне рівняння для зростання:

$P_0 = $1000$

$P_1 = 1.0025P_0 = 1.0025 (1000)$

$P_2 = 1.0025P_1 = 1.0025 (1.0025 (1000)) = 1.0025 2 (1000)$

$P_3 = 1.0025P_2 = 1.0025 (1.00252 (1000)) = 1.00253 (1000)$

$P_4 = 1.0025P_3 = 1.0025 (1.00253 (1000)) = 1.00254 (1000)$

Спостерігаючи закономірність, ми могли б зробити висновок

$P_m = (1.0025)^m($1000)$

Зверніть увагу, що $1000 в рівнянні була$P_0$, початкова сума. Ми знайшли 1.0025, додавши один до темпу зростання, розділеного на 12, оскільки ми складали 12 разів на рік. Узагальнюючи наш результат, ми могли б написати

$$P_m = P_0 \left(1 + \dfrac{r}{k} \right)^m \nonumber$$

У цій формулі:

• $m$кількість періодів компаундирования (місяців у нашому прикладі)
• $r$річна процентна ставка
• $k$це кількість з'єднань на рік.

Хоча ця формула працює нормально, частіше використовувати формулу, яка включає кількість років, а не кількість періодів складання. $N$Якщо число років, то$m=Nk$. Внесення цієї зміни дає нам стандартну формулу складних відсотків.

Складні відсотки

$$P_N = P_0 \left(1 + \dfrac{r}{k} \right)^{Nk} \nonumber$$

• $P_N$залишок на рахунку через$N$ роки.
• $P_0$початковий залишок рахунку (також називається початковим депозитом, або основним)
• $r$річна процентна ставка в десятковій формі
• $k$кількість періодів компаундирования в одному році.

Якщо компаундування проводиться щорічно (один раз на рік),$k = 1$.

Якщо компаундування проводиться щоквартально,$k = 4$.

Якщо компаундування проводиться щомісяця,$k = 12$.

Якщо компаундування проводиться щодня,$k = 365$.

Найголовніше, що потрібно пам'ятати про використання цієї формули, це те, що вона передбачає, що ми поклали гроші на рахунок один раз і нехай сидимо там, заробляючи відсотки.

Приклад$\PageIndex{1}$

Депозитний сертифікат (CD) - це ощадний інструмент, який пропонують багато банків. Зазвичай це дає більш високу процентну ставку, але ви не можете отримати доступ до своїх інвестицій протягом певного періоду часу. Припустимо, ви вносите $3000 на компакт-диску, сплачуючи 6% відсотків, що складаються щомісяця. Скільки у вас буде на рахунку через 20 років?

Рішення

У цьому прикладі

Початковий депозит:

$P_0 = $3000$

6% річна ставка:

$r = 0.06$

12 місяців в 1 році:

$k = 12$

Оскільки ми шукаємо, скільки у нас буде через 20 років

$N = 20$

Отже,

$P_{20} = 3000 \left(1 + \dfrac{0.06}{12} \right)^{20 \times 12} = $9930.61$(округлити відповідь до найближчої копійки)

Давайте порівняємо суму грошей, зароблених від компаундирования, з сумою, яку ви б отримали від простих відсотків.

Років	Простий відсоток ($15 на місяць)	6% посилюється щомісяця = 0,5% щомісяця.
5	$3900	$4046,55
10	$4800	$5458.19
15	$5700	$7362,28
20	$6600	$9930,61
25	$7500	$13394,91
30	$8400	$18067,73
35	$9300	$24370,65

Як бачите, протягом тривалого періоду часу компаундування робить велику різницю в балансі рахунку. Ви можете визнати це як різницю між лінійним зростанням та експоненціальним зростанням.

Оцінка показників на калькуляторі

Коли нам потрібно обчислити щось$5^3$ подібне, досить просто просто помножити$5 \cdot 5 \cdot 5=125$. Але коли нам потрібно обчислити щось на кшталт$1.0052^{40}$, було б дуже нудно обчислити це, помноживши$1.005$ на себе$240$ рази! Тож, щоб полегшити ситуацію, ми можемо використати силу наших наукових калькуляторів.

Більшість наукових калькуляторів мають кнопку для експонентів. Зазвичай це або позначено як:

$^$,$y^x$, або$x^y$

Для оцінки$1.0052^{40}$ ми б набрати$1.0052$$^$$40$, або$1.0052$$y^x$$40$. Спробуйте - у вас повинно вийти щось навколо$3.3102044758$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Ви знаєте, що вам знадобиться 40 000 доларів на освіту вашої дитини через 18 років. Якщо ваш рахунок заробляє 4% щоквартально, скільки вам потрібно буде внести зараз, щоб досягти своєї мети?

Рішення

У цьому прикладі ми шукаємо$P_0$.

4%:

$r = 0.04$

4 квартали в 1 рік:

$k = 4$

Так як ми знаємо баланс в 18 років:

$N = 18$

Сума, яку ми маємо в 18 років:

$P_{18} = $40000$

У цьому випадку, ми будемо мати, щоб налаштувати рівняння і вирішити для$P_0$.

$40000 = P_0 \left(1 + \dfrac{0.04}{4} \right)^{18 \times 4}$

$40000 = P_0 \left( 2.0472 \right)$

$P_0 = \dfrac{40000}{2.0472} = $19539.84$

Отже, вам потрібно було б внести депозит$$19,539.84$ зараз, щоб мати$18$ протягом$$40,000$ багатьох років.

Визначення: Округлення

Важливо дуже обережно ставитися до округлення при обчисленні речей з показниками. Загалом, ви хочете зберегти якомога більше десяткових знаків під час обчислень. Обов'язково зберігайте хоча б 3 значущі цифри (числа після будь-яких провідних нулів). Округлення 0.00012345 до 0.000123 зазвичай дає вам «досить близьку» відповідь, але зберігати більше цифр завжди краще.

Приклад$\PageIndex{3}$

Причина, по якій ми не повинні «надмірно круглі», відображається в цьому прикладі. Припустимо, ви інвестували 1,000 доларів під 5% відсотків щомісяця протягом 30 років.

Рішення

Початковий депозит:

$P_0 = $1000$

5%:

$r = 0.05$

12 місяців в 1 році:

$k = 12$

Оскільки ми шукаємо суму після 30 років:

$N = 30$

Якщо ми спочатку обчислимо$\dfrac{r}{k}$, ми знаходимо$\dfrac{0.05}{12} = 0.00416666666667$

Ось ефект округлення цього до різних значень:

$\dfrac{r}{k}$округляється до:	$P_{30}$Дає бути:	Помилка
\ (\ dfrac {r} {k}\) округлено до: ">0.004	\ (P_ {30}\) бути: ">$4208.59	$259.15
\ (\ dfrac {r} {k}\) округлено до: ">0.0042	\ (P_ {30}\) має бути: ">$4521.45	$53.71
\ (\ dfrac {r} {k}\) округлено до: ">0.00417	\ (P_ {30}\) бути: ">$4473.09	$5.35
\ (\ dfrac {r} {k}\) округлено до: ">0.004167	\ (P_ {30}\) бути: ">$4468.28	$0.54
\ (\ dfrac {r} {k}\) округлено до: ">0.0041667	\ (P_ {30}\) має бути: ">$4467.80	$0.06
\ (\ dfrac {r} {k}\) округлено до: ">Без округлення	\ (P_ {30}\) має бути: ">$4467.74

Якщо ви працюєте в банку, звичайно, ви б взагалі не округлили. Для наших цілей відповідь, яку ми отримали шляхом округлення до$0.00417$, трьох значущих цифр, досить близький -$$5$ вимкнено$$4,500$ не так вже й погано. Звичайно, збереження цього четвертого знака після коми не зашкодило б.

Використання калькулятора

Використання калькулятора У багатьох випадках ви можете уникнути округлення повністю, як ви вводите речі у свій калькулятор. Наприклад, в прикладі вище нам знадобилося обчислити

$P_{30} = 1000 \left(1 + \dfrac{0.05}{12} \right)^{12 \times 30}$

Ми можемо швидко розрахувати$12 \times 30 = 360$, даючи$P_{30} = 1000 \left(1 + \dfrac{0.05}{12} \right)^{360}$

Тепер ми можемо скористатися калькулятором.

Введіть це	Калькулятор показує
$0.05\; ÷ \;12 \;=$	0.004166666667
$+\; 1\; =$	1,004166666667
$y^x\; 360\; =$	4.4677443 1400613
$\times \; 1000 \;=$	4467.74431400613

Попередні кроки передбачали, що у вас є калькулятор «одна операція за раз»; більш просунутий калькулятор часто дозволить вам ввести весь вираз, який потрібно оцінити. Якщо у вас є такий калькулятор, вам, ймовірно, просто потрібно буде ввести:

$1000 \; \times \; (1\; +\; 0.05\; ÷ \;12)\; y^x \;360\; =$