7.3: Ануїтети

Для більшості з нас сьогодні ми не в змозі покласти велику суму грошей в банк. Замість цього ми економимо на майбутнє, вносячи меншу суму грошей з кожної зарплати в банк. Ця ідея називається ощадним ануїтетом. Більшість пенсійних планів, таких як 401k плани або IRA плани є прикладами ощадних ануїтетів.

Ануїтет можна описати рекурсивно досить простим способом. Нагадаємо, що основні складні відсотки випливають з відносин.

$$P_m = \left(1 + \dfrac{r}{k}\right)P_{m-1} \nonumber$$

Для ощадної ануїтету нам просто потрібно додати депозит$d$, на рахунок з кожним періодом складання:

$$P_m = \left(1 + \dfrac{r}{k}\right)P_{m-1} + d \nonumber$$

Прийняти це рівняння від рекурсивної форми до явної форми трохи складніше, ніж зі складними відсотками. Це буде найпростіше побачити, працюючи з прикладом, а не працюючи в цілому.

Припустимо, ми будемо вносити 100 доларів щомісяця на рахунок, сплачуючи 6% відсотків. Ми припускаємо, що рахунок збільшується з тією ж частотою, що і ми робимо депозити, якщо не вказано інше. У цьому прикладі:

$r = 0.06 (6\%)$

$k = 12$(12 сполук/депозитів на рік)

$d = $100$(наш депозит на місяць)

Виписання рекурсивного рівняння дає

$P_m = \left(1 + \dfrac{0.06}{12}\right)P_{m-1} + 100 = (1.005)P_{m-1} + 100$

Припускаючи, що ми починаємо з порожнього облікового запису, ми можемо почати використовувати цей зв'язок:

$P_0 = 0$

$P_1 = (1.005)P_0 + 100 = 100$

$P_2 = (1.005)P_1 + 100 = (1.005)(100) + 100 = 100(1.005) + 100$

$P_3 = (1.005)P_2 + 100 = (1.005)(100(1.005 + 100)) + 100 = 100(1.005)^2 + 100(1.005) + 100$

Продовжуючи цю модель, після$m$ депозитів ми б зберегли

$P_m = 100(1.005)^{m-1} + 100(1.005)^{m-2} +...+ 100(1.005) + 100$

Іншими словами, через$m$ місяці перший депозит буде заробляти складні відсотки$m-1$ місяцями. Другий депозит буде заробляти відсотки$m-2$ місяцями. Останні місяці депозит заробив би тільки один місяць на суму відсотків. Останній депозит ще не заробив відсотків.

Це рівняння залишає бажати кращого, хоча - це не полегшує обчислення кінцевого балансу! Щоб спростити речі, помножте обидві сторони рівняння на$1.005$:

$1.005P_m = 1.005(100(1.005)^{m-1} + 100(1.005)^{m-2} +...+ 100(1.005) + 100)$

Розподіл по правій частині рівняння дає

$1.005P_m = 100(1.005)^{m} + 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005)^{2} + 100(1.005)$

Тепер ми будемо вирівняти це з подібними термінами з нашого вихідного рівняння, і відняти кожну сторону

$1.005P_m = 100(1.005)^{m} + 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005)$

$P_m = 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005) + 100$

Майже всі терміни скасовуються з правого боку, коли ми віднімаємо, залишаючи

$1.005P_m - P_m = 100(1.005)^{m} - 100$

Рішення для$P_m$

$0.005P_m = 100 \left( (1.005)^{m} - 1 \right)$

$P_m = \dfrac{100 \left( (1.005)^{m} - 1 \right)}{0.005}$

Заміна m місяців з$12N$, де$N$ вимірюється в роках, дає

$P_N = \dfrac{100 \left( (1.005)^{12N} - 1 \right)}{0.005}$

Нагадаємо,$0.005$ був$\dfrac{r}{k}$ і$100$ був родовищем$d$. $12$було$k$, кількість депозитів щороку. Узагальнюючи цей результат, отримаємо формулу ренти заощадження.

Формула ануїтету

$$P_N = \dfrac{d \left( \left( 1+ \dfrac{r}{k} \right)^{Nk} - 1 \right) }{\left(\dfrac{r}{k}\right)} \nonumber$$

де

• $P_N$залишок на рахунку через$N$ роки.
• $d$це звичайний депозит (сума, яку ви вносите щороку, щомісяця тощо)
• $r$річна процентна ставка в десятковій формі.
• $k$кількість періодів компаундирования в одному році.
• Якщо частота компаундування явно не вказана, припустимо, що існує така ж кількість сполук на рік, як є поклади, зроблені за рік.

Якщо частота компаундування не вказана, використовуйте їх як правило:

• Якщо ви робите свої депозити щомісяця, використовуйте щомісячне складання,$k = 12$.
• Якщо ви робите свої депозити щороку, використовуйте щорічне складання,$k = 1$.
• Якщо ви робите свої депозити щокварталу, використовуйте квартальне складання,$k = 4$.

і так далі.

Коли ви використовуєте це

Ануїтети припускають, що ви вкладаєте гроші на рахунок за звичайним графіком (кожен місяць, рік, квартал і т.д.) і нехай сидить там заробляючи відсотки.

Складні відсотки припускають, що ви поклали гроші на рахунок один раз і нехай сидіти там заробляють відсотки.

• Складні відсотки: Один депозит
• Аннуїтет: Багато депозитів.

Приклад$\PageIndex{1}$

Традиційний індивідуальний пенсійний рахунок (IRA) - це особливий тип пенсійного рахунку, в якому гроші, які ви інвестуєте, звільняються від податку на прибуток, поки ви не знімете їх. Якщо ви вносите $100 щомісяця в IRA заробляє 6% відсотків, скільки ви будете мати на рахунку через 20 років?

Рішення

У цьому прикладі

Щомісячний депозит:

$d = $100$

6% річна ставка:

$r = 0.06$

Оскільки ми робимо щомісячні депозити, ми будемо складати щомісяця:

$k = 12$

Ми хочемо суму через 20 років:

$N= 20$

Вклавши це в рівняння, отримуємо

$P_{20} = \dfrac{100 \left( \left( 1+ \dfrac{0.06}{12} \right)^{20(12)} - 1 \right) }{\left(\dfrac{0.06}{12}\right)}$

$P_{20} = \dfrac{100 \left( \left( 1.005 \right)^{240} - 1 \right) }{(0.005)}$

$P_{20} = \dfrac{100 \left( 3.310 - 1 \right) }{(0.005)}$

$P_{20} = \dfrac{100 \left( 2.310 \right) }{(0.005)} = $46,200$

Рахунок зросте$$46,200$ до 20 років.

Зверніть увагу, що ви внесли на рахунок в цілому$$24,000$ ($$100$місяць протягом$240$ місяців). Різниця між тим, що ви закінчуєте, і скільки ви вклали, - це зароблені відсотки. В даному випадку вона є$$46200 - $24000 = $22200$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Ви хочете мати $200,000 на вашому рахунку, коли ви вийдете на пенсію через 30 років. Ваш пенсійний рахунок заробляє 8% відсотків. Скільки потрібно вносити щомісяця, щоб досягти своєї пенсійної мети?

Рішення

У цьому прикладі ми шукаємо$d$.

8% річна ставка:

$r = 0.08$

Оскільки ми щомісяця вносимо депозит:

$k = 12$

30 років:

$N= 30$

Сума, яку ми хочемо мати через 30 років:

$P_{30} = $200,000$

У цьому випадку, ми будемо мати, щоб налаштувати рівняння, і вирішити для$d$.

$200000 = \dfrac{d \left( \left( 1+ \dfrac{0.08}{12} \right)^{30(12)} - 1 \right) }{\left(\dfrac{0.08}{12}\right)}$

$200000 = \dfrac{d \left( \left( 1.00667 \right)^{360} - 1 \right) }{\left( 0.00667\right)}$

$200000 = d(1491.57)$

$d = \dfrac{200000}{1491.57} = $134.09$

Отже, вам потрібно буде вносити депозит$$134.09$ щомісяця, щоб мати$$200,000$ через 30 років, якщо ваш рахунок заробляє$8\%$ відсотки

Загалом, якщо нам потрібно отримати суму вкладів, ми можемо просто переписати формулу ануїтету як

$$d = \dfrac{P_N \cdot \dfrac{r}{k}}{\left( 1 + \dfrac{r}{k} \right)^{Nk} - 1 } \nonumber$$

Спробуйте зараз 2

Більш консервативний інвестиційний рахунок платить 3% відсотків. Якщо ви вносите 5 доларів на день на цей рахунок, скільки у вас буде через 10 років? Скільки коштує від відсотків?