Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.3: Ануїтети

Для більшості з нас сьогодні ми не в змозі покласти велику суму грошей в банк. Замість цього ми економимо на майбутнє, вносячи меншу суму грошей з кожної зарплати в банк. Ця ідея називається ощадним ануїтетом. Більшість пенсійних планів, таких як 401k плани або IRA плани є прикладами ощадних ануїтетів.

Ануїтет можна описати рекурсивно досить простим способом. Нагадаємо, що основні складні відсотки випливають з відносин.

Pm=(1+rk)Pm1

Для ощадної ануїтету нам просто потрібно додати депозитd, на рахунок з кожним періодом складання:

Pm=(1+rk)Pm1+d

Прийняти це рівняння від рекурсивної форми до явної форми трохи складніше, ніж зі складними відсотками. Це буде найпростіше побачити, працюючи з прикладом, а не працюючи в цілому.

Припустимо, ми будемо вносити 100 доларів щомісяця на рахунок, сплачуючи 6% відсотків. Ми припускаємо, що рахунок збільшується з тією ж частотою, що і ми робимо депозити, якщо не вказано інше. У цьому прикладі:

r=0.06(6%)

k=12(12 сполук/депозитів на рік)

d=$100(наш депозит на місяць)

Виписання рекурсивного рівняння дає

Pm=(1+0.0612)Pm1+100=(1.005)Pm1+100

Припускаючи, що ми починаємо з порожнього облікового запису, ми можемо почати використовувати цей зв'язок:

P0=0

P1=(1.005)P0+100=100

P2=(1.005)P1+100=(1.005)(100)+100=100(1.005)+100

P3=(1.005)P2+100=(1.005)(100(1.005+100))+100=100(1.005)2+100(1.005)+100

Продовжуючи цю модель, післяm депозитів ми б зберегли

Pm=100(1.005)m1+100(1.005)m2+...+100(1.005)+100

Іншими словами, черезm місяці перший депозит буде заробляти складні відсоткиm1 місяцями. Другий депозит буде заробляти відсоткиm2 місяцями. Останні місяці депозит заробив би тільки один місяць на суму відсотків. Останній депозит ще не заробив відсотків.

Це рівняння залишає бажати кращого, хоча - це не полегшує обчислення кінцевого балансу! Щоб спростити речі, помножте обидві сторони рівняння на1.005:

1.005Pm=1.005(100(1.005)m1+100(1.005)m2+...+100(1.005)+100)

Розподіл по правій частині рівняння дає

1.005Pm=100(1.005)m+100(1.005)m1+...+100(1.005)2+100(1.005)

Тепер ми будемо вирівняти це з подібними термінами з нашого вихідного рівняння, і відняти кожну сторону

1.005Pm=100(1.005)m+100(1.005)m1+...+100(1.005)

Pm=100(1.005)m1+...+100(1.005)+100

Майже всі терміни скасовуються з правого боку, коли ми віднімаємо, залишаючи

1.005PmPm=100(1.005)m100

Рішення дляPm

0.005Pm=100((1.005)m1)

Pm=100((1.005)m1)0.005

Заміна m місяців з12N, деN вимірюється в роках, дає

PN=100((1.005)12N1)0.005

Нагадаємо,0.005 бувrk і100 був родовищемd. 12булоk, кількість депозитів щороку. Узагальнюючи цей результат, отримаємо формулу ренти заощадження.

Формула ануїтету

PN=d((1+rk)Nk1)(rk)

де

  • PNзалишок на рахунку черезN роки.
  • dце звичайний депозит (сума, яку ви вносите щороку, щомісяця тощо)
  • rрічна процентна ставка в десятковій формі.
  • kкількість періодів компаундирования в одному році.
  • Якщо частота компаундування явно не вказана, припустимо, що існує така ж кількість сполук на рік, як є поклади, зроблені за рік.

Якщо частота компаундування не вказана, використовуйте їх як правило:

  • Якщо ви робите свої депозити щомісяця, використовуйте щомісячне складання,k=12.
  • Якщо ви робите свої депозити щороку, використовуйте щорічне складання,k=1.
  • Якщо ви робите свої депозити щокварталу, використовуйте квартальне складання,k=4.

і так далі.

Коли ви використовуєте це

Ануїтети припускають, що ви вкладаєте гроші на рахунок за звичайним графіком (кожен місяць, рік, квартал і т.д.) і нехай сидить там заробляючи відсотки.

Складні відсотки припускають, що ви поклали гроші на рахунок один раз і нехай сидіти там заробляють відсотки.

  • Складні відсотки: Один депозит
  • Аннуїтет: Багато депозитів.

Приклад7.3.1

Традиційний індивідуальний пенсійний рахунок (IRA) - це особливий тип пенсійного рахунку, в якому гроші, які ви інвестуєте, звільняються від податку на прибуток, поки ви не знімете їх. Якщо ви вносите $100 щомісяця в IRA заробляє 6% відсотків, скільки ви будете мати на рахунку через 20 років?

Рішення

У цьому прикладі

Щомісячний депозит:

d=$100

6% річна ставка:

r=0.06

Оскільки ми робимо щомісячні депозити, ми будемо складати щомісяця:

k=12

Ми хочемо суму через 20 років:

N=20

Вклавши це в рівняння, отримуємо

P20=100((1+0.0612)20(12)1)(0.0612)

P20=100((1.005)2401)(0.005)

P20=100(3.3101)(0.005)

P20=100(2.310)(0.005)=$46,200

Рахунок зросте$46,200 до 20 років.

Зверніть увагу, що ви внесли на рахунок в цілому$24,000 ($100місяць протягом240 місяців). Різниця між тим, що ви закінчуєте, і скільки ви вклали, - це зароблені відсотки. В даному випадку вона є$46200$24000=$22200.

Приклад7.3.2

Ви хочете мати $200,000 на вашому рахунку, коли ви вийдете на пенсію через 30 років. Ваш пенсійний рахунок заробляє 8% відсотків. Скільки потрібно вносити щомісяця, щоб досягти своєї пенсійної мети?

Рішення

У цьому прикладі ми шукаємоd.

8% річна ставка:

r=0.08

Оскільки ми щомісяця вносимо депозит:

k=12

30 років:

N=30

Сума, яку ми хочемо мати через 30 років:

P30=$200,000

У цьому випадку, ми будемо мати, щоб налаштувати рівняння, і вирішити дляd.

200000=d((1+0.0812)30(12)1)(0.0812)

200000=d((1.00667)3601)(0.00667)

200000=d(1491.57)

d=2000001491.57=$134.09

Отже, вам потрібно буде вносити депозит$134.09 щомісяця, щоб мати$200,000 через 30 років, якщо ваш рахунок заробляє8% відсотки

Загалом, якщо нам потрібно отримати суму вкладів, ми можемо просто переписати формулу ануїтету як

d=PNrk(1+rk)Nk1

Спробуйте зараз 2

Більш консервативний інвестиційний рахунок платить 3% відсотків. Якщо ви вносите 5 доларів на день на цей рахунок, скільки у вас буде через 10 років? Скільки коштує від відсотків?

  • Was this article helpful?