Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.3: Ануїтети

Для більшості з нас сьогодні ми не в змозі покласти велику суму грошей в банк. Замість цього ми економимо на майбутнє, вносячи меншу суму грошей з кожної зарплати в банк. Ця ідея називається ощадним ануїтетом. Більшість пенсійних планів, таких як 401k плани або IRA плани є прикладами ощадних ануїтетів.

Ануїтет можна описати рекурсивно досить простим способом. Нагадаємо, що основні складні відсотки випливають з відносин.

P_m = \left(1 + \dfrac{r}{k}\right)P_{m-1} \nonumber

Для ощадної ануїтету нам просто потрібно додати депозитd, на рахунок з кожним періодом складання:

P_m = \left(1 + \dfrac{r}{k}\right)P_{m-1} + d \nonumber

Прийняти це рівняння від рекурсивної форми до явної форми трохи складніше, ніж зі складними відсотками. Це буде найпростіше побачити, працюючи з прикладом, а не працюючи в цілому.

Припустимо, ми будемо вносити 100 доларів щомісяця на рахунок, сплачуючи 6% відсотків. Ми припускаємо, що рахунок збільшується з тією ж частотою, що і ми робимо депозити, якщо не вказано інше. У цьому прикладі:

r = 0.06 (6\%)

k = 12(12 сполук/депозитів на рік)

d = $100(наш депозит на місяць)

Виписання рекурсивного рівняння дає

P_m = \left(1 + \dfrac{0.06}{12}\right)P_{m-1} + 100 = (1.005)P_{m-1} + 100

Припускаючи, що ми починаємо з порожнього облікового запису, ми можемо почати використовувати цей зв'язок:

P_0 = 0

P_1 = (1.005)P_0 + 100 = 100

P_2 = (1.005)P_1 + 100 = (1.005)(100) + 100 = 100(1.005) + 100

P_3 = (1.005)P_2 + 100 = (1.005)(100(1.005 + 100)) + 100 = 100(1.005)^2 + 100(1.005) + 100

Продовжуючи цю модель, післяm депозитів ми б зберегли

P_m = 100(1.005)^{m-1} + 100(1.005)^{m-2} +...+ 100(1.005) + 100

Іншими словами, черезm місяці перший депозит буде заробляти складні відсоткиm-1 місяцями. Другий депозит буде заробляти відсоткиm-2 місяцями. Останні місяці депозит заробив би тільки один місяць на суму відсотків. Останній депозит ще не заробив відсотків.

Це рівняння залишає бажати кращого, хоча - це не полегшує обчислення кінцевого балансу! Щоб спростити речі, помножте обидві сторони рівняння на1.005:

1.005P_m = 1.005(100(1.005)^{m-1} + 100(1.005)^{m-2} +...+ 100(1.005) + 100)

Розподіл по правій частині рівняння дає

1.005P_m = 100(1.005)^{m} + 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005)^{2} + 100(1.005)

Тепер ми будемо вирівняти це з подібними термінами з нашого вихідного рівняння, і відняти кожну сторону

1.005P_m = 100(1.005)^{m} + 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005)

P_m = 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005) + 100

Майже всі терміни скасовуються з правого боку, коли ми віднімаємо, залишаючи

1.005P_m - P_m = 100(1.005)^{m} - 100

Рішення дляP_m

0.005P_m = 100 \left( (1.005)^{m} - 1 \right)

P_m = \dfrac{100 \left( (1.005)^{m} - 1 \right)}{0.005}

Заміна m місяців з12N, деN вимірюється в роках, дає

P_N = \dfrac{100 \left( (1.005)^{12N} - 1 \right)}{0.005}

Нагадаємо,0.005 був\dfrac{r}{k} і100 був родовищемd. 12булоk, кількість депозитів щороку. Узагальнюючи цей результат, отримаємо формулу ренти заощадження.

Формула ануїтету

P_N = \dfrac{d \left( \left( 1+ \dfrac{r}{k} \right)^{Nk} - 1 \right) }{\left(\dfrac{r}{k}\right)} \nonumber

де

  • P_Nзалишок на рахунку черезN роки.
  • dце звичайний депозит (сума, яку ви вносите щороку, щомісяця тощо)
  • rрічна процентна ставка в десятковій формі.
  • kкількість періодів компаундирования в одному році.
  • Якщо частота компаундування явно не вказана, припустимо, що існує така ж кількість сполук на рік, як є поклади, зроблені за рік.

Якщо частота компаундування не вказана, використовуйте їх як правило:

  • Якщо ви робите свої депозити щомісяця, використовуйте щомісячне складання,k = 12.
  • Якщо ви робите свої депозити щороку, використовуйте щорічне складання,k = 1.
  • Якщо ви робите свої депозити щокварталу, використовуйте квартальне складання,k = 4.

і так далі.

Коли ви використовуєте це

Ануїтети припускають, що ви вкладаєте гроші на рахунок за звичайним графіком (кожен місяць, рік, квартал і т.д.) і нехай сидить там заробляючи відсотки.

Складні відсотки припускають, що ви поклали гроші на рахунок один раз і нехай сидіти там заробляють відсотки.

  • Складні відсотки: Один депозит
  • Аннуїтет: Багато депозитів.

Приклад\PageIndex{1}

Традиційний індивідуальний пенсійний рахунок (IRA) - це особливий тип пенсійного рахунку, в якому гроші, які ви інвестуєте, звільняються від податку на прибуток, поки ви не знімете їх. Якщо ви вносите $100 щомісяця в IRA заробляє 6% відсотків, скільки ви будете мати на рахунку через 20 років?

Рішення

У цьому прикладі

Щомісячний депозит:

d = $100

6% річна ставка:

r = 0.06

Оскільки ми робимо щомісячні депозити, ми будемо складати щомісяця:

k = 12

Ми хочемо суму через 20 років:

N= 20

Вклавши це в рівняння, отримуємо

P_{20} = \dfrac{100 \left( \left( 1+ \dfrac{0.06}{12} \right)^{20(12)} - 1 \right) }{\left(\dfrac{0.06}{12}\right)}

P_{20} = \dfrac{100 \left( \left( 1.005 \right)^{240} - 1 \right) }{(0.005)}

P_{20} = \dfrac{100 \left( 3.310 - 1 \right) }{(0.005)}

P_{20} = \dfrac{100 \left( 2.310 \right) }{(0.005)} = $46,200

Рахунок зросте$46,200 до 20 років.

Зверніть увагу, що ви внесли на рахунок в цілому$24,000 ($100місяць протягом240 місяців). Різниця між тим, що ви закінчуєте, і скільки ви вклали, - це зароблені відсотки. В даному випадку вона є$46200 - $24000 = $22200.

Приклад\PageIndex{2}

Ви хочете мати $200,000 на вашому рахунку, коли ви вийдете на пенсію через 30 років. Ваш пенсійний рахунок заробляє 8% відсотків. Скільки потрібно вносити щомісяця, щоб досягти своєї пенсійної мети?

Рішення

У цьому прикладі ми шукаємоd.

8% річна ставка:

r = 0.08

Оскільки ми щомісяця вносимо депозит:

k = 12

30 років:

N= 30

Сума, яку ми хочемо мати через 30 років:

P_{30} = $200,000

У цьому випадку, ми будемо мати, щоб налаштувати рівняння, і вирішити дляd.

200000 = \dfrac{d \left( \left( 1+ \dfrac{0.08}{12} \right)^{30(12)} - 1 \right) }{\left(\dfrac{0.08}{12}\right)}

200000 = \dfrac{d \left( \left( 1.00667 \right)^{360} - 1 \right) }{\left( 0.00667\right)}

200000 = d(1491.57)

d = \dfrac{200000}{1491.57} = $134.09

Отже, вам потрібно буде вносити депозит$134.09 щомісяця, щоб мати$200,000 через 30 років, якщо ваш рахунок заробляє8\% відсотки

Загалом, якщо нам потрібно отримати суму вкладів, ми можемо просто переписати формулу ануїтету як

d = \dfrac{P_N \cdot \dfrac{r}{k}}{\left( 1 + \dfrac{r}{k} \right)^{Nk} - 1 } \nonumber

Спробуйте зараз 2

Більш консервативний інвестиційний рахунок платить 3% відсотків. Якщо ви вносите 5 доларів на день на цей рахунок, скільки у вас буде через 10 років? Скільки коштує від відсотків?

  • Was this article helpful?