7.3: Ануїтети
Для більшості з нас сьогодні ми не в змозі покласти велику суму грошей в банк. Замість цього ми економимо на майбутнє, вносячи меншу суму грошей з кожної зарплати в банк. Ця ідея називається ощадним ануїтетом. Більшість пенсійних планів, таких як 401k плани або IRA плани є прикладами ощадних ануїтетів.
Ануїтет можна описати рекурсивно досить простим способом. Нагадаємо, що основні складні відсотки випливають з відносин.
Pm=(1+rk)Pm−1
Для ощадної ануїтету нам просто потрібно додати депозитd, на рахунок з кожним періодом складання:
Pm=(1+rk)Pm−1+d
Прийняти це рівняння від рекурсивної форми до явної форми трохи складніше, ніж зі складними відсотками. Це буде найпростіше побачити, працюючи з прикладом, а не працюючи в цілому.
Припустимо, ми будемо вносити 100 доларів щомісяця на рахунок, сплачуючи 6% відсотків. Ми припускаємо, що рахунок збільшується з тією ж частотою, що і ми робимо депозити, якщо не вказано інше. У цьому прикладі:
r=0.06(6%)
k=12(12 сполук/депозитів на рік)
d=$100(наш депозит на місяць)
Виписання рекурсивного рівняння дає
Pm=(1+0.0612)Pm−1+100=(1.005)Pm−1+100
Припускаючи, що ми починаємо з порожнього облікового запису, ми можемо почати використовувати цей зв'язок:
P0=0
P1=(1.005)P0+100=100
P2=(1.005)P1+100=(1.005)(100)+100=100(1.005)+100
P3=(1.005)P2+100=(1.005)(100(1.005+100))+100=100(1.005)2+100(1.005)+100
Продовжуючи цю модель, післяm депозитів ми б зберегли
Pm=100(1.005)m−1+100(1.005)m−2+...+100(1.005)+100
Іншими словами, черезm місяці перший депозит буде заробляти складні відсоткиm−1 місяцями. Другий депозит буде заробляти відсоткиm−2 місяцями. Останні місяці депозит заробив би тільки один місяць на суму відсотків. Останній депозит ще не заробив відсотків.
Це рівняння залишає бажати кращого, хоча - це не полегшує обчислення кінцевого балансу! Щоб спростити речі, помножте обидві сторони рівняння на1.005:
1.005Pm=1.005(100(1.005)m−1+100(1.005)m−2+...+100(1.005)+100)
Розподіл по правій частині рівняння дає
1.005Pm=100(1.005)m+100(1.005)m−1+...+100(1.005)2+100(1.005)
Тепер ми будемо вирівняти це з подібними термінами з нашого вихідного рівняння, і відняти кожну сторону
1.005Pm=100(1.005)m+100(1.005)m−1+...+100(1.005)
Pm=100(1.005)m−1+...+100(1.005)+100
Майже всі терміни скасовуються з правого боку, коли ми віднімаємо, залишаючи
1.005Pm−Pm=100(1.005)m−100
Рішення дляPm
0.005Pm=100((1.005)m−1)
Pm=100((1.005)m−1)0.005
Заміна m місяців з12N, деN вимірюється в роках, дає
PN=100((1.005)12N−1)0.005
Нагадаємо,0.005 бувrk і100 був родовищемd. 12булоk, кількість депозитів щороку. Узагальнюючи цей результат, отримаємо формулу ренти заощадження.
PN=d((1+rk)Nk−1)(rk)
де
- PNзалишок на рахунку черезN роки.
- dце звичайний депозит (сума, яку ви вносите щороку, щомісяця тощо)
- rрічна процентна ставка в десятковій формі.
- kкількість періодів компаундирования в одному році.
- Якщо частота компаундування явно не вказана, припустимо, що існує така ж кількість сполук на рік, як є поклади, зроблені за рік.
Якщо частота компаундування не вказана, використовуйте їх як правило:
- Якщо ви робите свої депозити щомісяця, використовуйте щомісячне складання,k=12.
- Якщо ви робите свої депозити щороку, використовуйте щорічне складання,k=1.
- Якщо ви робите свої депозити щокварталу, використовуйте квартальне складання,k=4.
і так далі.
Ануїтети припускають, що ви вкладаєте гроші на рахунок за звичайним графіком (кожен місяць, рік, квартал і т.д.) і нехай сидить там заробляючи відсотки.
Складні відсотки припускають, що ви поклали гроші на рахунок один раз і нехай сидіти там заробляють відсотки.
- Складні відсотки: Один депозит
- Аннуїтет: Багато депозитів.
Традиційний індивідуальний пенсійний рахунок (IRA) - це особливий тип пенсійного рахунку, в якому гроші, які ви інвестуєте, звільняються від податку на прибуток, поки ви не знімете їх. Якщо ви вносите $100 щомісяця в IRA заробляє 6% відсотків, скільки ви будете мати на рахунку через 20 років?
Рішення
У цьому прикладі
Щомісячний депозит:
d=$100
6% річна ставка:
r=0.06
Оскільки ми робимо щомісячні депозити, ми будемо складати щомісяця:
k=12
Ми хочемо суму через 20 років:
N=20
Вклавши це в рівняння, отримуємо
P20=100((1+0.0612)20(12)−1)(0.0612)
P20=100((1.005)240−1)(0.005)
P20=100(3.310−1)(0.005)
P20=100(2.310)(0.005)=$46,200
Рахунок зросте$46,200 до 20 років.
Зверніть увагу, що ви внесли на рахунок в цілому$24,000 ($100місяць протягом240 місяців). Різниця між тим, що ви закінчуєте, і скільки ви вклали, - це зароблені відсотки. В даному випадку вона є$46200−$24000=$22200.
Ви хочете мати $200,000 на вашому рахунку, коли ви вийдете на пенсію через 30 років. Ваш пенсійний рахунок заробляє 8% відсотків. Скільки потрібно вносити щомісяця, щоб досягти своєї пенсійної мети?
Рішення
У цьому прикладі ми шукаємоd.
8% річна ставка:
r=0.08
Оскільки ми щомісяця вносимо депозит:
k=12
30 років:
N=30
Сума, яку ми хочемо мати через 30 років:
P30=$200,000
У цьому випадку, ми будемо мати, щоб налаштувати рівняння, і вирішити дляd.
200000=d((1+0.0812)30(12)−1)(0.0812)
200000=d((1.00667)360−1)(0.00667)
200000=d(1491.57)
d=2000001491.57=$134.09
Отже, вам потрібно буде вносити депозит$134.09 щомісяця, щоб мати$200,000 через 30 років, якщо ваш рахунок заробляє8% відсотки
Загалом, якщо нам потрібно отримати суму вкладів, ми можемо просто переписати формулу ануїтету як
d=PN⋅rk(1+rk)Nk−1
Більш консервативний інвестиційний рахунок платить 3% відсотків. Якщо ви вносите 5 доларів на день на цей рахунок, скільки у вас буде через 10 років? Скільки коштує від відсотків?