7.3: Ануїтети
Для більшості з нас сьогодні ми не в змозі покласти велику суму грошей в банк. Замість цього ми економимо на майбутнє, вносячи меншу суму грошей з кожної зарплати в банк. Ця ідея називається ощадним ануїтетом. Більшість пенсійних планів, таких як 401k плани або IRA плани є прикладами ощадних ануїтетів.
Ануїтет можна описати рекурсивно досить простим способом. Нагадаємо, що основні складні відсотки випливають з відносин.
P_m = \left(1 + \dfrac{r}{k}\right)P_{m-1} \nonumber
Для ощадної ануїтету нам просто потрібно додати депозитd, на рахунок з кожним періодом складання:
P_m = \left(1 + \dfrac{r}{k}\right)P_{m-1} + d \nonumber
Прийняти це рівняння від рекурсивної форми до явної форми трохи складніше, ніж зі складними відсотками. Це буде найпростіше побачити, працюючи з прикладом, а не працюючи в цілому.
Припустимо, ми будемо вносити 100 доларів щомісяця на рахунок, сплачуючи 6% відсотків. Ми припускаємо, що рахунок збільшується з тією ж частотою, що і ми робимо депозити, якщо не вказано інше. У цьому прикладі:
r = 0.06 (6\%)
k = 12(12 сполук/депозитів на рік)
d = $100(наш депозит на місяць)
Виписання рекурсивного рівняння дає
P_m = \left(1 + \dfrac{0.06}{12}\right)P_{m-1} + 100 = (1.005)P_{m-1} + 100
Припускаючи, що ми починаємо з порожнього облікового запису, ми можемо почати використовувати цей зв'язок:
P_0 = 0
P_1 = (1.005)P_0 + 100 = 100
P_2 = (1.005)P_1 + 100 = (1.005)(100) + 100 = 100(1.005) + 100
P_3 = (1.005)P_2 + 100 = (1.005)(100(1.005 + 100)) + 100 = 100(1.005)^2 + 100(1.005) + 100
Продовжуючи цю модель, післяm депозитів ми б зберегли
P_m = 100(1.005)^{m-1} + 100(1.005)^{m-2} +...+ 100(1.005) + 100
Іншими словами, черезm місяці перший депозит буде заробляти складні відсоткиm-1 місяцями. Другий депозит буде заробляти відсоткиm-2 місяцями. Останні місяці депозит заробив би тільки один місяць на суму відсотків. Останній депозит ще не заробив відсотків.
Це рівняння залишає бажати кращого, хоча - це не полегшує обчислення кінцевого балансу! Щоб спростити речі, помножте обидві сторони рівняння на1.005:
1.005P_m = 1.005(100(1.005)^{m-1} + 100(1.005)^{m-2} +...+ 100(1.005) + 100)
Розподіл по правій частині рівняння дає
1.005P_m = 100(1.005)^{m} + 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005)^{2} + 100(1.005)
Тепер ми будемо вирівняти це з подібними термінами з нашого вихідного рівняння, і відняти кожну сторону
1.005P_m = 100(1.005)^{m} + 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005)
P_m = 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005) + 100
Майже всі терміни скасовуються з правого боку, коли ми віднімаємо, залишаючи
1.005P_m - P_m = 100(1.005)^{m} - 100
Рішення дляP_m
0.005P_m = 100 \left( (1.005)^{m} - 1 \right)
P_m = \dfrac{100 \left( (1.005)^{m} - 1 \right)}{0.005}
Заміна m місяців з12N, деN вимірюється в роках, дає
P_N = \dfrac{100 \left( (1.005)^{12N} - 1 \right)}{0.005}
Нагадаємо,0.005 був\dfrac{r}{k} і100 був родовищемd. 12булоk, кількість депозитів щороку. Узагальнюючи цей результат, отримаємо формулу ренти заощадження.
P_N = \dfrac{d \left( \left( 1+ \dfrac{r}{k} \right)^{Nk} - 1 \right) }{\left(\dfrac{r}{k}\right)} \nonumber
де
- P_Nзалишок на рахунку черезN роки.
- dце звичайний депозит (сума, яку ви вносите щороку, щомісяця тощо)
- rрічна процентна ставка в десятковій формі.
- kкількість періодів компаундирования в одному році.
- Якщо частота компаундування явно не вказана, припустимо, що існує така ж кількість сполук на рік, як є поклади, зроблені за рік.
Якщо частота компаундування не вказана, використовуйте їх як правило:
- Якщо ви робите свої депозити щомісяця, використовуйте щомісячне складання,k = 12.
- Якщо ви робите свої депозити щороку, використовуйте щорічне складання,k = 1.
- Якщо ви робите свої депозити щокварталу, використовуйте квартальне складання,k = 4.
і так далі.
Ануїтети припускають, що ви вкладаєте гроші на рахунок за звичайним графіком (кожен місяць, рік, квартал і т.д.) і нехай сидить там заробляючи відсотки.
Складні відсотки припускають, що ви поклали гроші на рахунок один раз і нехай сидіти там заробляють відсотки.
- Складні відсотки: Один депозит
- Аннуїтет: Багато депозитів.
Традиційний індивідуальний пенсійний рахунок (IRA) - це особливий тип пенсійного рахунку, в якому гроші, які ви інвестуєте, звільняються від податку на прибуток, поки ви не знімете їх. Якщо ви вносите $100 щомісяця в IRA заробляє 6% відсотків, скільки ви будете мати на рахунку через 20 років?
Рішення
У цьому прикладі
Щомісячний депозит:
d = $100
6% річна ставка:
r = 0.06
Оскільки ми робимо щомісячні депозити, ми будемо складати щомісяця:
k = 12
Ми хочемо суму через 20 років:
N= 20
Вклавши це в рівняння, отримуємо
P_{20} = \dfrac{100 \left( \left( 1+ \dfrac{0.06}{12} \right)^{20(12)} - 1 \right) }{\left(\dfrac{0.06}{12}\right)}
P_{20} = \dfrac{100 \left( \left( 1.005 \right)^{240} - 1 \right) }{(0.005)}
P_{20} = \dfrac{100 \left( 3.310 - 1 \right) }{(0.005)}
P_{20} = \dfrac{100 \left( 2.310 \right) }{(0.005)} = $46,200
Рахунок зросте$46,200 до 20 років.
Зверніть увагу, що ви внесли на рахунок в цілому$24,000 ($100місяць протягом240 місяців). Різниця між тим, що ви закінчуєте, і скільки ви вклали, - це зароблені відсотки. В даному випадку вона є$46200 - $24000 = $22200.
Ви хочете мати $200,000 на вашому рахунку, коли ви вийдете на пенсію через 30 років. Ваш пенсійний рахунок заробляє 8% відсотків. Скільки потрібно вносити щомісяця, щоб досягти своєї пенсійної мети?
Рішення
У цьому прикладі ми шукаємоd.
8% річна ставка:
r = 0.08
Оскільки ми щомісяця вносимо депозит:
k = 12
30 років:
N= 30
Сума, яку ми хочемо мати через 30 років:
P_{30} = $200,000
У цьому випадку, ми будемо мати, щоб налаштувати рівняння, і вирішити дляd.
200000 = \dfrac{d \left( \left( 1+ \dfrac{0.08}{12} \right)^{30(12)} - 1 \right) }{\left(\dfrac{0.08}{12}\right)}
200000 = \dfrac{d \left( \left( 1.00667 \right)^{360} - 1 \right) }{\left( 0.00667\right)}
200000 = d(1491.57)
d = \dfrac{200000}{1491.57} = $134.09
Отже, вам потрібно буде вносити депозит$134.09 щомісяця, щоб мати$200,000 через 30 років, якщо ваш рахунок заробляє8\% відсотки
Загалом, якщо нам потрібно отримати суму вкладів, ми можемо просто переписати формулу ануїтету як
d = \dfrac{P_N \cdot \dfrac{r}{k}}{\left( 1 + \dfrac{r}{k} \right)^{Nk} - 1 } \nonumber
Більш консервативний інвестиційний рахунок платить 3% відсотків. Якщо ви вносите 5 доларів на день на цей рахунок, скільки у вас буде через 10 років? Скільки коштує від відсотків?