7.7: Рішення на час
- Page ID
- 66594
Часто нас цікавить, скільки часу знадобиться для накопичення грошей або скільки часу нам потрібно буде продовжити кредит, щоб знизити платежі до розумного рівня.
У цьому розділі передбачається, що ви розглянули рішення експоненціальних рівнянь за допомогою логарифмів, або в попередніх класах, або в розділі моделей зростання.
Якщо ви інвестуєте 2,000 доларів на 6%, що збільшуються щомісяця, як довго це займе рахунок, щоб подвоїти вартість?
Рішення
Це складна проблема відсотків, оскільки ми вносимо гроші один раз і дозволяємо їм рости. У цій проблемі
Початковий депозит:
\(P_0 = $2000\)
6% річна ставка:
\(r = 0.06\)
12 місяців в 1 році:
\(k = 12\)
Отже, наше загальне рівняння є\(P_N = 2000 \left( 1 + \dfrac{0.06}{12} \right)^{N \times 12} \). Ми також знаємо, що ми хочемо, щоб наша кінцева сума була подвоєною $2,000, що становить 4000 доларів, тому ми шукаємо\(N\) так що\(P_N = 4,000\). Щоб вирішити цю проблему, ми ставимо наше рівняння\(P_N\) рівним\(4,000\).
Розділіть обидві сторони на 2 000.
\(4000 = 2000 \left( 1 + \dfrac{0.06}{12} \right)^{N \times 12} \)
Для вирішення для показника візьміть колоду з обох сторін.
\(2 = (1.005)^{12N}\)
Використовуйте властивість exponent журналів з правого боку.
\( \log(2) = \log \left( (1.005)^{12N} \right) \)
Тепер ми можемо розділити обидві сторони на\(12 \log(1.005)\)
\( \log(2) = 12N \log (1.005) \)
\(\dfrac{\log(2)}{12 \log(1.005)} = N\)
Наблизивши це до трьох знаків після коми, отримаємо\(N = 11.581\). Таким чином, знадобиться близько\(11.581\) років, щоб рахунок подвоївся в ціні.
Зверніть увагу, що ваша відповідь може вийти трохи інакше, якщо ви оцінили журнали до десяткових знаків і округлені під час розрахунків, але ваша відповідь повинна бути близькою. Наприклад, якщо ви округлили\(\ log(2)\) до\(0.301\) і\(\log(1.005)\) до\(0.00217\), то ваша остаточна відповідь була б близько\(11.577\) років.
Якщо ви інвестуєте 100 доларів щомісяця на рахунок, який заробляє 3% щомісяця, як довго він буде рости на рахунку до 10 000 доларів?
Рішення
Це проблема ренти заощаджень, оскільки ми робимо регулярні депозити на рахунок.
Щомісячний депозит:
\(d = $100\)
3% річна ставка:
\(r = 0.03\)
Оскільки ми робимо щомісячні депозити, ми будемо складати щомісяця:
\(k = 12\)
Ми не знаємо\(N\), але\(P_N\) хочемо бути\($10,000\).
Вклавши це в рівняння, отримуємо:
\(10000 = \dfrac{100 \left( \left( 1+ \dfrac{0.03}{12} \right)^{N(12)} -1 \right) }{\left(\dfrac{0.03}{12}\right)} \)
Трохи спрощуємо дроби:
\(10000 = \dfrac{100 \left( \left( 1.0025 \right)^{12N} -1 \right) }{\left( 0.0025 \right)} \)
Ми хочемо, щоб виділити експоненціальний член\(1.0025^{12N}\), так помножити обидві сторони на\(0.0025\).
Розділіть обидві сторони на 100:
\(25 = 100 \left( (1.0025)^{12N} - 1 \right) \)
Додайте 1 до обох сторін:
\(0.25 = (1.0025)^{12N} - 1 \)
Тепер беремо колоду з обох сторін:
\(1.25 = (1.0025)^{12N} \)
Використовуйте властивість exponent журналу:
\(\log(1.25) = \log \left( (1.0025)^{12N} \right) \)
Розділити на\(12 \log(1.0025)\)
\(\log(1.25) = 12N \log \left( 1.0025 \right) \)
\(\dfrac{\log(1.25)}{12N \log \left( 1.0025 \right)} = N \)
Наблизившись до трьох знаків після коми, отримуємо\(N = 7.447\) роки. Таким чином, буде потрібно близько\(7.447\) років, щоб виростити рахунок до\($10,000\).
Джоел розглядає можливість поставити покупку ноутбука в розмірі 1000 доларів на свою кредитну картку, яка має процентну ставку 12%, що посилюється щомісяця. Скільки часу йому знадобиться, щоб розрахуватися з покупкою, якщо він здійснює виплати в розмірі 30 доларів на місяць?
1. \(I\)=\($30\) інтерес
\(P_0\)=\($500\) основний
\(r\)= невідомий
\(t\)=\(1\) місяць
Використовуючи\(I = P_0rt\), отримуємо\(30 = 500 \cdot r \cdot 1\). Вирішуючи, отримуємо\(r = 0.06\), або\(6 \%\). Оскільки час був щомісячним, це щомісячні відсотки. Річна ставка була б\(12\) раз така:\(72\%\) відсотки.
2. Щоденний депозит:\(d = $5\)
3% річна ставка:\(r = 0.03\)
Оскільки ми робимо щоденні депозити, ми будемо складати щодня:\(k = 365\)
Ми хочемо суму через 10 років:\(N = 10\)
\(P_{10} = \dfrac{5 \left( \left( 1 + \dfrac{0.03}{365} \right)^{365 \times 10} -1 \right) }{\dfrac{0.03}{365}} = $21,282.07\)
Ми б внесли в загальну суму\($5 \cdot 365 \cdot 10 = $18250\),\($3,032.07\) так само від відсотків
3. \(d = \text{ unknown}\)
4% річна ставка:\(r = 0.04\)
Оскільки ми робимо щорічні стипендії:\(k = 1\)
20 років:\(N = 20\)
Ми починаємо з $100,000:\(P_0 = 100,000\)
\(100000 = \dfrac{d \left( 1 - \left(1 + \dfrac{0.04}{1} \right)^{-20 \times 1} \right) }{\dfrac{0.04}{1}}\)
Рішення для\(d\) дає\($7,358.18\) щороку, що вони можуть дати в стипендії.
Варто зазначити, що зазвичай донори замість цього вказують, що для отримання стипендії повинні використовуватися лише відсотки, що робить початкове пожертвування тривалим нескінченно довго. Якби цей донор\($100,000(0.04) = $4,000\) вказав це, рік був би доступний.
4. \(d = \text{ unknown}\)
16% річна ставка:\(r = 0.16\)
Оскільки ми здійснюємо щомісячні платежі:\(k = 12\)
2 роки на погашення:\(N = 2\)
Ми починаємо з позики в розмірі 3,000 доларів:\(P_0 = 3,000\)
\(3000 = \dfrac{d \left( 1 - \left(1 + \dfrac{0.16}{12} \right)^{-2 \times 12} \right) }{\dfrac{0.16}{12}}\)
Рішення для\(d\) дає\($146.89\) як щомісячні платежі.
Загалом вона буде\($3,525.36\) платити магазину, тобто вона буде платити\($525.36\) відсотки протягом двох років.
5. Щомісячні платежі:\(d = $30\)
12% річна ставка:\(r = 0.12\)
Оскільки ми здійснюємо щомісячні платежі:\(k = 12\)
2 роки на погашення:\(N = 2\)
Ми починаємо з позики в розмірі 1000 доларів:\(P_0 = 1,000\)
Ми вирішуємо за те\(N\), що час погасити кредит
\(1000 = \dfrac{30 \left( 1 - \left(1 + \dfrac{0.12}{12} \right)^{-N (12)} \right) }{\dfrac{0.12}{12}}\)
Рішення для\(N\) дарує\(3.396\). Окупитися з покупкою піде близько\(3.4\) років.