3.4: Кардинальність

Часто нас цікавить кількість елементів у множині або підмножині. Це називається кардинальністю набору.

Визначення: Кардинальність

Кількість елементів у наборі - це кардинальність цього набору.

Кардинальність множини часто$A$ позначається як$|A|$ або n$(A)$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Нехай$A$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} і$B$ = {2, 4, 6, 8}. У чому полягає кардинальність$B$? $A ⋃ B$,$A ⋂ B$?

Рішення

Кардинальність$B$ дорівнює 4, так як в наборі 4 елементи.

Кардинальність$A ⋃ B$ дорівнює 7, оскільки$A ⋃ B$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, який містить 7 елементів.

Кардинальність$A ⋂ B$ дорівнює 3, оскільки$A ⋂ B$ = {2, 4, 6}, яка містить 3 елементи.

Приклад$\PageIndex{2}$

Яка кардинальність$P$ = набір англійських імен для місяців року?

Рішення

Кардинальність цього набору становить 12, так як в році налічується 12 місяців.

Іноді нас може зацікавити кардинальність об'єднання або перетину множин, але не знати фактичних елементів кожної множини. Це часто зустрічається в геодезичних зйомках.

Приклад$\PageIndex{3}$

Опитування запитує 200 людей «Який напій ви п'єте вранці», і пропонує вибір

• Тільки чай
• Тільки кава
• І кава, і чай

Припустимо, 20 повідомляють тільки про чай, 80 повідомляють лише про каву, 40 повідомляють обидва. Скільки людей п'ють чай вранці? Скільки людей не п'ють ні чаю, ні кави?

Рішення

На це питання найлегше відповісти, створивши діаграму Венна. Ми бачимо, що ми можемо знайти людей, які п'ють чай, додаючи тих, хто п'є лише чай, до тих, хто п'є обох: 60 людей.

Ми також можемо бачити, що ті, хто не п'є, не містяться ні в одній з трьох інших груп, тому ми можемо порахувати їх, віднімаючи з кардинальності універсального набору 200. 200 - 20 - 80 - 40 = 60 людей, які не п'ють ні.

Приклад$\PageIndex{4}$

Опитування запитує: Якими онлайн-сервісами ви користувалися за останній місяць?

• Twitter
• Facebook
• Використовували обидва

Результати показують,$40\%$ що опитані використовували Twitter,$70\%$ використовували Facebook і$20\%$ використовували обидва. Скільки людей не користувалися ні Twitter, ні Facebook?

Рішення

Нехай$T$ буде набір всіх людей, які використовували Twitter, і$F$ бути набір всіх людей, які використовували Facebook. Зверніть увагу, що, хоча кардинальність$F$ є$70\%$ і кардинальність$T$ є$40\%$, кардинальність не просто$70\% + 40\%$, оскільки$F ⋃ T$ це буде вважати тих, хто користується обома послугами двічі. Щоб знайти кардинальність$F ⋃ T$, ми можемо додати кардинальність$F$ і кардинальність$T$, а потім відняти ті в перетині, які ми підрахували двічі. В символах,

$\text{n}(F ⋃ T) = \text{n}(F) + \text{n}(T) – \text{n}(F ⋂ T)$

$\text{n}(F ⋃ T) = 70\% + 40\% – 20\% = 90\%$

Тепер, щоб дізнатися, скільки людей не користувалися жодною послугою, ми шукаємо кардинальність$(F ⋃ T)^c$. Оскільки універсальний$100\%$ набір містить людей і кардинальність$F ⋃ T = 90\%$, кардинальність$(F ⋃ T)^c$ повинна бути іншою$10\%$.

Попередній приклад ілюстрував дві важливі властивості.

Визначення: Властивості кардинальності

$\text{n}(A ⋃ B) = \text{n}(A) + \text{n}(B) – \text{n}(A ⋂ B)$

$\text{n}(A^c) = \text{n}(U) – \text{n}(A)$

Зверніть увагу, що перше властивість також можна записати в еквівалентній формі, вирішивши для кардинальності перетину:

$\text{n}(A ⋂ B) = \text{n}(A) + \text{n}(B) – \text{n}(A ⋃ B)$

Приклад$\PageIndex{5}$

П'ятдесят студентів були опитані, і запитали, чи вони беруть соціальні науки (SS), гуманітарні науки (HM) або природничі науки (NS) курс наступного кварталу.

• 21 пройшли курс SS
• 26 проходили курс HM
• 19 проходили курс NS
• 9 приймали СС і HM
• 7 приймали СС і НС
• 10 приймали HM і NS
• 3 взяли всі три
• 7 не брали жодного

Скільки студентів тільки проходять курс СС?

Рішення

Це може допомогти подивитися на діаграму Венна. З наведених даних ми знаємо, що в області 3 студенти$e$ та 7 студентів в області$h$.

Оскільки 7 студентів проходили курс SS та NS, ми це знаємо$\text{n}(d) + \text{n}(e) = 7$. Оскільки ми знаємо, що в регіоні 3 студенти 3, у регіоні має бути 7 — 3 = 4 студенти$d$.

Аналогічно, оскільки є 10 студентів, які приймають HM та NS$f$, що включає регіони$e$ та, у регіоні має бути 10 — 3 = 7 студентів$f$.

Оскільки 9 студентів приймали SS та HM, у регіоні має бути 9 — 3 = 6 студентів$b$.

Тепер ми знаємо, що 21 студент проходив курс СС. Сюди входять учні з регіонів$a$$b$,,$d$, і$e$. Оскільки ми знаємо кількість студентів у всіх, окрім регіону$a$, ми можемо визначити, що 21 — 6 — 4 — 3 = 8 студентів у регіоні$a$.

8 студентів проходять тільки курс SS.

Спробуйте зараз 4

Було опитано сто п'ятдесят людей і запитали, чи вірять вони в НЛО, привидів і снігових людей.

• 43 повірили в НЛО
• 44 повірили в привидів
• 25 повірили в снігової людини
• 10 повірили в НЛО і привидів
• 8 вірили в привидів і снігових людей
• 5 повірили в НЛО і снігової людини
• 2 вірили у всіх трьох

Скільки опитаних людей вірили хоча б в одну з цих речей?

Спробуйте зараз Відповіді

1. Є кілька відповідей: Безліч всіх непарних чисел менше 10. Безліч всіх непарних чисел. Безліч всіх цілих чисел. Безліч всіх дійсних чисел.

2. $A ⋃ C$= {червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, синій фіолетовий}$B^c ⋂ A$ = {зелений, синій}

3. $A ⋃ B ⋂ C^c$

4. Починаючи з перетину всіх трьох кіл, опрацьовуємо вихід. Так як 10 людей вірять в НЛО і привидів, а 2 вірять у всіх трьох, то залишає 8, які вірять тільки в НЛО і привидів. Ми відпрацьовуємо свій вихід, заповнюючи всі регіони. Після того, як ми це зробимо, ми можемо скласти всі ці регіони, отримавши 91 людина в об'єднанні всіх трьох наборів. Це залишає 150 - 91 = 59, які не вірять ні в кого.