8.5: Гіпотеза континууму та узагальнена гіпотеза континуу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65000

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Слово «континуум» в назві цього розділу використовується для позначення множин точок, які мають певну властивість безперервності. Наприклад, в реальному проміжку можна переходити з однієї точки в іншу, плавно, ніколи не виходячи з інтервалу. У діапазоні раціональних чисел це неможливо, оскільки між кожною парою раціональних є ірраціональні значення. Існує багато множин, які поводяться як континуум - інтервали\((a, b)\) або\([a, b]\), вся реальна лінія\(\mathbb{R}\),\(x\) -\(y\) площина\(\mathbb{R} × \mathbb{R}\), об'єм у\(3\) -вимірному просторі (або, що має значення, весь простір\(\mathbb{R}^3\)). Виходить, що всі ці набори мають однаковий розмір.

Кардинальність континууму, що позначається c, - це кардинальність всіх перерахованих вище множин.

У попередньому розділі ми згадували гіпотезу континууму та про те, як розлютився Кантор, коли хтось (Кеніг) намагався довести, що це помилково. У цьому розділі ми заглибимося трохи глибше в те, що говорить гіпотеза континууму, і навіть поглянемо на старшого брата CH, GCH. Перш ніж це зробити, здається гарною ідеєю подивитися на еквіваленти, які ми стверджували про всі ці набори вище, які (якщо ви довіряєте нам) мають кардинальність c.

Ми вже бачили, що інтервал еквівалентний всій реальній лінії, але уявлення про те, що вся нескінченна декартова площина не має більше точок в ньому, ніж інтервал довжиною один дюйм кидає виклик нашій інтуїції. Наше уявлення про вимірність змушує нас думати, що речі вищого виміру повинні бути більшими, ніж речі нижчого виміру. Це попередження помилкове, як ми бачимо, демонструючи, що\(1×1\) квадрат може бути поставлений у відповідність один до одного з одиничним інтервалом. Дозволяти\(S = \{(x, y) 0 < x < 1 ∧ 0 < y < 1\}\) і нехай\(I\) буде відкритий інтервал одиниці\((0, 1)\). Ми можемо використовувати теорему Кантора-Бернштейна-Шредера, щоб показати, що\(S\) і\(I\) є рівноправними - нам просто потрібно знайти ін'єкції від\(I\) до\(S\) і навпаки. З огляду на елемент\(r\) в\(I\) ми можемо зіставити його ін'єкційно до точки\((r, r)\) в\(S\). Щоб піти в іншому напрямку, розглянемо точку\((a, b)\) в\(S\) і випишіть десяткові розширення\(a\) і\(b\):

\(a = 0.a_1a_2a_3a_4a_5 . . .\)

\(b = 0.b_1b_2b_3b_4b_5 . . .\)

як завжди, якщо є два десяткові розширення для\(a\) та/або\(b\) ми зробимо послідовний вибір — скажімо нескінченне.

З цих десяткових розширень, ми можемо створити десяткове розширення числа в\(I\) шляхом чергування цифр\(a\) і\(b\). Нехай

\(s = 0.a_1b_1a_2b_2a_3b_3 . . \).

бути іміджем\((a, b)\). Якщо дві різні точки прив'язані до одного і того ж значення s, то обидві точки мають\(x\) і\(y\) координати, які узгоджуються в кожній позиції їх десяткового розширення (тому вони дійсно повинні бути рівними). Трохи складніше створити двооб'єктивну функцію від\(S\) до\(I\) (і, таким чином, показати еквівалентність безпосередньо, не звертаючись до C-B-S). Проблема полягає в тому, що, знову ж таки, нам потрібно розібратися з неєдиністю десяткових уявлень дійсних чисел. Якщо ми зробимо вибір, що всякий раз, коли буде зроблено вибір, ми будемо використовувати незакінчувані десяткові розширення для наших дійсних чисел, будуть елементи\(I\) не в зображенні карти, визначені чергуванням цифр (наприклад\(0.15401050902060503\), чергування цифр після десяткова\(π = 3.141592653\) крапка в.. і\(\dfrac{1}{2} = 0.5\), це явно елемент,\(I\) але він не може бути на зображенні нашої карти, оскільки\(\dfrac{1}{2}\) повинен бути представлений\(0.49\) відповідно до нашої конвенції. Якщо ми спробуємо інші умовності для боротьби з неунікальністю, можна знайти інші приклади, які показують, що просте чергування не буде суб'єктивним. Потрібен трохи більш тонкий підхід.

Припустимо, що всі десяткові розширення є незавершеними (як ми можемо, WLOG), і використовуйте наступний підхід: Випишіть десяткове розширення координат точки\((a, b)\) в\(S\). Сформуйте цифри в блоки з якомога більшою\(0\) кількістю цифр, а потім ненульовою цифрою. Нарешті, чергуємо ці блоки.

Наприклад, якщо

\(a = 0.124520047019902 . . .\)

\(b = 0.004015648000031 . . .\)

ми б розділили цифри на блоки наступним чином:

\(a = 0.1 \;\;\;\;2 \;\;\;\;4 \;\;\;\;5 \;\;\;\;2\;\;\;\; 004\;\;\;\; 7\;\;\;\; 01 \;\;\;\;9 \;\;\;\;9 \;\;\;\;02 . . .\)

\(b = 0.004\;\;\;\; 01\;\;\;\; 5 \;\;\;\;6\;\;\;\; 4\;\;\;\; 8 \;\;\;\;00003 \;\;\;\;1 . . .\)

і число, утворене шляхом їх перемежування, буде

\(s = 0.10042014556240048 . . .\)

Ми показали, що квадрат одиниці та інтервал одиниці мають однакову кардинальність.\(S\)\(I\) Ці аргументи можуть бути розширені, щоб показати, що всі R × R також мають цю кардинальність (c).

Отже, тепер звернемося до гіпотези континууму.

Ми згадували раніше в цьому розділі, що\(\mathbb{N}\) позначається кардинальність\(ℵ_0\). Той факт, що ця велика літера aleph носить підстроковий індекс повинен змусити вас замислитися, які інші aleph-sub-щось або-інші існують там. Що таке\(ℵ_1\)? А як щодо\(ℵ_2\)? Кантор припускав, що існує послідовність кардинальних чисел (яка сама по собі, звичайно ж, нескінченна), які дають всі можливі нескінченності. Найменший нескінченний набір, який хтось, здається, може уявити\(\mathbb{N}\), - це, тому Кантор назвав цю кардинальність\(ℵ_0\). Те, що коли-небудь «наступний» нескінченний кардинал, називається\(ℵ_1\). Можна припустити, що насправді немає «наступного» нескінченного кардинала після\(ℵ_0\) - це може бути так, що колекція нескінченних кардинальних чисел не є добре впорядкованою! У будь-якому випадку, якщо існує «наступний» нескінченний кардинал, що це таке? Теорема Кантора показує, що існує спосіб побудувати якийсь нескінченний кардинальний більший, ніж\(ℵ_0\) - просто застосувати конструкцію набору потужності. Гіпотеза континууму просто говорить, що ця більша кардинальність, яку ми отримуємо, застосовуючи конструкцію набору потужності, полягає в тому, що «наступна» кардинальність, про яку ми говорили.

Для повторної ітерації ми показали, що набір потужності\(\mathbb{N}\) еквівалентний інтервалу,\((0, 1)\) який є одним із множин, чиї кардинальність є \(\text{c}\). Отже, гіпотеза континууму, річ, яка так сильно нагріла Георга Кантора, зводиться до того, щоб стверджувати, що

\(ℵ_1 =\)c.

Там дійсно повинен бути великий знак питання над цим. Дійсно великий знак питання. Виявляється, гіпотеза континууму живе в дійсно дивному світі. До цього дня ніхто не має найменшого уявлення про те, правда це чи брехня. Але почекайте! Це ще не все! Справжня дивавість полягає в тому, що, здавалося б, неможливо вирішити. Ну, це не так вже й погано - зрештою, ми говорили про невизначені речення ще на початку глави 2. Гаразд, так ось кінцева дивавість. Доведено, що гіпотезу континууму довести неможливо. Також доведено, що не можна спростувати гіпотезу континууму.

Досягнувши цього етапу в книзі про доведення речей, я сподіваюся, що останні два речення в попередньому абзаці викликали якусь думку у напрямку «ну, добре, стосовно яких аксіом?» бігати по голові. Отже, якщо ви думали щось уздовж цих ліній, погладити себе по спині. І якщо ви тоді не визнали, що вам потрібно починати думати так - речі доведені або спростовуються лише відносним чином, це залежить від того, з якими аксіомами ви дозволяєте собі працювати. Звичайні аксіоми для математики називаються ZFC; аксіоми теорії множин Цермело-Френкеля разом з аксіомою вибору. «Кінцева дивавість», яку ми описували про гіпотезу континууму, є результатом завдяки джентльмену на ім'я Пол Коен, який говорить: «CH не залежить від ZFC». Більш педантично — неможливо ні довести, ні спростувати гіпотезу континууму в рамках системи аксіом ZFC.

Було б дуже приємно закінчити цю главу згадкою Пола Коена, але є одна остання річ, яку ми хотіли б досягти - пояснити, що означає GCH. Так ось йде.

Узагальнена гіпотеза континууму говорить про те, що побудова набору потужності - це в основному єдиний спосіб перейти від однієї нескінченної кардинальності до іншої. Іншими словами, GCH каже, що не тільки\(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) має кардинальність, відому як\(ℵ_1\), але й будь-яке інше число алефа може бути реалізовано, застосовуючи конструкцію набору потужності купу разів. Деякі люди висловили б це символічно, написавши

\[∀n ∈ \mathbb{N}, \;\;\;\;\; ℵ_{n+1} = 2^{ℵ_n} .\]

Я дійсно вважаю за краще не доводити цю главу до кінця з цією жахливістю, тому замість цього я думаю, що я просто скажу

Пол Коен.

Ха! У мене це вийшло! Я закінчив главу на sayi. Хун? Ох.

Пол Коен.