15.6: Вправи

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 15.5: Складні рекурсивні послідовності
- 16: Криптографія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ітераційні фрактали

Використовуючи показаний ініціатор і генератор, намалюйте наступні два етапи ітераційного фракталу.

1. $fr22.svg$ 2. $fr23.svg$

3. $fr24.svg$ 4. $fr25.svg$

5. $fr26.svg$ 6. $fr27.svg$

7. Створіть власну версію прокладки Sierpinski з додатковою випадковістю.

8. Створіть версію фракталу гілкового дерева з прикладу #3 з доданою випадковістю.

Фрактальна розмірність

9. Визначте фрактальну розмірність кривої Коха.

10. Визначте фрактальну розмірність кривої, створеної у вправі #1

11. Визначте фрактальну розмірність килима Сєрпінського, створеного у вправі #5

12. Визначте фрактальну розмірність множини Кантора, створеної у вправі #4

Комплексні числа

13. Покладіть кожне число в комплексній площині: а) $4$ б $-3 i$ ) в) $-2+3 i$ г) $2+i$

14. Покладіть кожне число в комплексній площині: а) $– 2$ б $4 i$ ) в) $1+2 i$ г) $-1-i$

15. Обчислення: а) $(2+3 i)+(3-4 i)$ б) $(3-5 i)-(-2-i)$

16. Обчислення: а) $(1-i)+(2+4 i)$ б) $(-2-3 i)-(4-2 i)$

17. Помножити: а) $3(2+4 i)$ б $(2 i)(-1-5 i)$ ) в) $(2-4 i)(1+3 i)$

18. Помножити: а) $2(-1+3 i)$ б $(3 i)(2-6 i)$ ) в) $(1-i)(2+5 i)$

19. Ділянка номера $2+3 i$ . Чи $1-i$ перемноження переміщує точку ближче до або далі від початку? Чи обертає він точку, і якщо так в якому напрямку?

20. Ділянка номера $2+3 i$ . Чи $0.75+0.5 i$ перемноження переміщує точку ближче до або далі від початку? Чи обертає він точку, і якщо так в якому напрямку?

Рекурсивні послідовності

21. З огляду на рекурсивний зв'язок $z_{n+1}=i z_{n}+1, \quad z_{0}=2$ , згенерувати наступні 3 члени рекурсивної послідовності.

22. З огляду на рекурсивний зв'язок $z_{n+1}=2 z_{n}+i, \quad z_{0}=3-2 i$ , згенерувати наступні 3 члени рекурсивної послідовності.

23. Використовуючи $c=-0.25$ , обчислити перші 4 члени послідовності Мандельброта.

24. Використовуючи $c=1-i$ , обчислити перші 4 члени послідовності Мандельброта.

Для заданого значення c послідовність Мандельброта може бути описана як втеча (зростаюча велика), притягнута (вона наближається до фіксованого значення) або періодична (вона перескакує між декількома фіксованими значеннями). Періодичний цикл, як правило, описується число, якщо значення, між якими він переходить; 2-цикл переходить між значеннями 2, а 4-цикл переходить між значеннями 4.

Для питань 25 - 30 ви хочете використовувати калькулятор, який може обчислити комплексні числа, або скористатися онлайн-калькулятором, який може обчислити послідовність Мандельброта. Для кожного значення c вивчіть послідовність Мандельброта та визначте, чи здається, що значення є втечею, притягнутим чи періодичним?

25. $c=-0.5+0.25 i$ 26. $c=0.25+0.25 i$ .

27. $c=-1.2$ 28. $c=i$ .

29. $c=0.5+0.25 i$ . 30. $c=-0.5+0.5 i$ .

31. $c=-0.12+0.75 i$ 32. $c=-0.5+0.5 i$ .

Розвідка

Набір Julia для c - ще один фрактал, пов'язаний з набором Мандельброта. Julia Set for $c$ використовує рекурсивну послідовність: $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c, \quad z_{0}=d$ , де c є постійною для будь-якого конкретного набору Julia, і $d$ є числом, що перевіряється. Значення d є частиною набору Julia, $c$ якщо послідовність не збільшується.

Наприклад, Julia Set для -2 буде визначено $z_{n+1}=z_{n}^{2}-2, \quad z_{0}=d$ . Потім ми вибираємо значення для $d$ , і перевіряємо кожен, щоб визначити, чи є він частиною набору Юлії для -2. Якщо так, ми фарбуємо чорним крапку в комплексній площині, що відповідає числу $d$ . Якщо ні, ми можемо розфарбувати точку, $d$ виходячи з того, як швидко вона росте, як ми це робили з набором Мандельброта.

З питань 33-34 ви, ймовірно, захочете знову скористатися онлайн-калькулятором.

33. Визначте, які з цих чисел знаходяться в наборі Юлії за адресою $c=-0.12 i+0.75 i$

а) $0.25 i$ б) $0.1$ в) $0.25+0.25 i$

34. Визначте, які з цих чисел знаходяться в наборі Юлії за адресою $c=-0.75$

а) $0.5 i$ б) $1$ в) $0.5-0.25 i$

Ви можете знайти багато зображень в Інтернеті різних наборів Julia [1].

35. Поясніть, чому жодна точка з початковою відстанню від початку початку більше 2 не буде частиною послідовності Мандельброта

[1] Наприклад, www.jcu.edu/математика/факультет/спіц/juliaset/juliaset.htm,