9.7: Залишок залишку кредиту

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66106

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

З кредитами часто бажано визначити, яким буде залишок кредиту через деяку кількість років. Наприклад, якщо ви купуєте будинок і плануєте продати його через п'ять років, ви можете знати, скільки залишку кредиту ви будете погашені і скільки вам доведеться заплатити від продажу.

Щоб визначити залишок кредиту через деяку кількість років, нам спочатку потрібно знати платежі по кредиту, якщо ми їх ще не знаємо. Пам'ятайте, що лише частина ваших кредитних платежів йде до залишку кредиту; частина збирається піти на відсотки. Наприклад, якщо ваші платежі становили 1000 доларів на місяць, через рік ви не виплатите 12 000 доларів залишку кредиту.

Щоб визначити залишок залишку кредиту, ми можемо подумати «скільки кредиту зможуть ці платежі по кредиту погасити в решту часу по кредиту?»

Приклад 13

Якщо іпотека під 6% процентною ставкою має виплати в розмірі 1000 доларів на місяць, скільки буде залишок кредиту 10 років з моменту закінчення кредиту?

Рішення

Щоб визначити це, шукаємо суму кредиту, яку можна погасити по 1000 доларів на місяць платежами через 10 років. Іншими словами, ми шукаємо,$P_0$ коли

$\begin{array}{ll} d = \$1,000 & \text{the monthly loan payment} \\ r = 0.06 & 6\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly payments, we’ll compound monthly} \\ N = 10 & \text{since we’re making monthly payments for 10 more years} \end{array} $

\ [\ почати {вирівнювати*} P_ {0} & =\ dfrac {1000\ ліворуч (1-\ ліворуч (1+\ dfrac {0.06} {12}\ праворуч) ^ {-10 (12)}\ праворуч)} {\ dfrac {0.06} {12}\ праворуч)}\
\ [4pt] &=\ dfrac {1000\ ліворуч (1- (1.005) ^ {-120}\ праворуч)} {(0.005)}
\\ [4pt] &=\ dfrac {1000\ ліворуч (1- (1.005) ^ {-120}\ праворуч)} {(0.005)}
\\ [4pt] & амп; =\ дфрак {1000 (1-0.5496)} {(0.005)}
\\[4pt] &=\$ 90,073.45 \end{align*} \nonumber \]

Залишок кредиту з 10 роками, що залишилися по кредиту, складе$\$ 90,073.45$

Часто відповідь на інші питання балансу вимагає двох кроків:

Розрахунок щомісячних платежів по кредиту
Розрахунок залишку залишку кредиту виходячи з часу, що залишився по кредиту

Приклад 14

Пара купує житло з$\$ 180,000$ іпотекою$4 \%$ на 30 років з щомісячними платежами. Яким буде залишок залишку по їх іпотеці через 5 років?

Рішення

Спочатку розрахуємо їх щомісячні платежі.

Ми шукаємо$d$.

$\begin{array}{ll} r = 0.04 & 4\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since they’re paying monthly} \\ N = 30 & \text{30 years} \\ P_0 = \$180,000 & \text{the starting loan amount} \end{array} $

Налаштовуємо рівняння і вирішуємо для$d$.

\ [\ почати {вирівнювати*} 180,000 &=\ dfrac {d\ ліворуч (1-\ ліворуч (1+\ dfrac {0.04} {12}\ праворуч) ^ {-30 (12)}\ праворуч)} {\ dfrac {0.04} {12}\ праворуч)}
\\ [4pt] 180,000 &=\ dfrac {d\ ліворуч (1- (1.00333) ^ {-360}\ праворуч)} {(0.00333)}
\\ [4pt] 180,000 &= d (209.562)
\\ [4pt] д &=\ dfrac {180,000} { 209.562}
\\[4pt] &=\$ 858.93 \end{align*} \nonumber \]

Тепер, коли ми знаємо щомісячні платежі, ми можемо визначити залишок залишку. Ми хочемо залишок залишку через 5 років, коли 25 років залишиться по кредиту, тому ми розраховуємо залишок кредиту, який буде погашено щомісячними платежами за ці 25 років.

$\begin{array}{ll} d = \$858.93 & \text{the monthly loan payment we calculated above} \\ r = 0.04 & 4\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since they’re paying monthly} \\ N = 25 & \text{since they’d be making monthly payments for 25 more years} \end{array} $

\ [\ почати {вирівнювати*} P_ {0} &=\ dfrac {858.93\ ліворуч (1-\ ліворуч (1+\ dfrac {0.04} {12}\ праворуч) ^ {-25 (12)}\ праворуч)} {\ dfrac {0.04} {12}\ праворуч)}
\\ [4pt] &=\ dfrac {858.93\ ліворуч (1- (1.00333) ^ {-300}\ праворуч)} {(0.00333)}
\\ [4pt] &=\ dfrac {858.93 (1-0.369)} {(0.00333)}
\\[4pt] & \approx \$ 162,758 \end{align*} \nonumber \]

Залишок кредиту через 5 років, при цьому 25 років, що залишилися на кредиті, складе$\$ 162,758$

За ці 5 років подружжя погасило$\$ 180,000-\$ 162,758=\$ 17,242$ залишок по кредиту. Вони заплатили загалом$\$ 858.93$ місяць протягом 5 років (60 місяців), загалом, тому$\$ 51,535.80-\$ 17,242=\$ 34,292.80$ з того$\$ 51,535.80$, що вони заплатили до цього часу, було відсотками.