9.2: Простий інтерес

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Обговорення відсотків починається з основної суми, або сума вашого рахунку починається з. Це може бути стартова інвестиція або стартова сума позики. Відсотки, в найпростішому його вигляді, розраховуються як відсоток від основної суми. Наприклад, якщо ви позичили 100 доларів у одного і згодні погасити його з 5% відсотками, то сума відсотків, яку ви б заплатили, склала б просто 5% від 100: $\$ 100(0.05)=\$ 5$ . Загальна сума, яку ви б погасили, становила б 105 доларів, початковий основний плюс відсотки.

Простий одноразовий відсоток

$I=P_{0} r \nonumber$

$A=P_{0}+I=P_{0}+P_{0} r=P_{0}(1+r) \nonumber$

де

$I$ це інтерес
$A$ кінцева сума: основна сума плюс відсотки
$P_0$ основна сума (стартова сума)
$r$ процентна ставка (в десятковій формі. Приклад: $5\% = 0.05$ )

Приклад 1

Друг просить позичити 300 доларів і погоджується погасити його через 30 днів з 3% відсотками. Скільки відсотків ви будете заробляти?

Рішення

\ (\ begin {масив} {ll} P_ {0} =\ $300 &\ текст {основний}\\ r=0.03 & 3\%\ текст {швидкість}\\
I=\ $300 (0.03) =\ $9. &\ text {Ви заробляєте}\ $9\ текст {відсотки.} \ end {масив}\)

Разові прості відсотки поширені лише для вкрай короткострокових кредитів. Для довгострокових кредитів зазвичай відсотки сплачуються щодня, щомісяця, щокварталу або щорічно. У такому випадку відсотки будуть зароблятися регулярно. Наприклад, облігації - це, по суті, кредит, наданий емітенту облігацій (компанії або уряду) вами, власником облігацій. Натомість на кредит емітент погоджується виплачувати відсотки, часто щорічно. Облігації мають дату погашення, в цей час емітент повертає початкову вартість облігацій.

Приклад 2

Припустимо, ваше місто будує новий парк, і випускає облігації, щоб зібрати гроші на його будівництво. Ви отримуєте облігацію в розмірі 1,000 доларів, яка щорічно виплачує 5% відсотків, що дозріває через 5 років. Скільки відсотків ви будете заробляти?

Рішення

Щороку ви б заробляли 5% відсотків: $\$ 1000(0.05)=\$ 50$ у відсотках. Таким чином, протягом п'яти років, ви б заробити в цілому $250 відсотків. Коли облігація дозріває, ви отримаєте назад 1,000 доларів, які ви спочатку заплатили, залишивши вас із загальною сумою $1,250.

Ми можемо узагальнити цю ідею, яка представляє простий інтерес з часом.

Простий інтерес з плином часу

$I=P_{0} r t$

$A=P_{0}+I=P_{0}+P_{0} r t=P_{0}(1+r t)$

де

$I$ це інтерес
$A$ кінцева сума: основна сума плюс відсотки
$P_0$ основна сума (стартова сума)
$r$ процентна ставка в десятковій формі
$t$ це час

Одиниці виміру (роки, місяці і т.д.) за час повинні збігатися з часовим періодом для процентної ставки.

APR - Річна процентна ставка

Процентні ставки, як правило, вказуються як річна процентна ставка (APR) - загальна сума відсотків, які будуть виплачені в році. Якщо відсотки сплачуються з меншими часовими приростами, APR буде розділена вгору.

Наприклад, щомісяця сплачується $6 \%$ річна плата буде розділена на дванадцять $0.5 \%$ платежів.
$4 \%$ Річна ставка, що сплачується щоквартально, буде розділена на чотири $1 \%$ платежі.

Приклад 3: Казначейські купюри

Казначейські ноти (T-ноти) - це облігації, випущені федеральним урядом для покриття своїх витрат. Припустимо, ви отримуєте T-ноту в розмірі 1000 доларів США з річною ставкою 4%, виплачувану піврічно, зі терміном погашення через 4 роки. Скільки відсотків ви будете заробляти?

Рішення

Оскільки відсотки виплачуються піврічно (двічі на рік), відсотки 4% будуть розділені на два 2% платежі.

\ (\ begin {масив} {ll} P_ {0} =\ $1000 &\ text {принципал}\\ r=0.02 & 2\%\ текст {ставка за півріччя}\\ t = 8 &\ text {4 роки = 8 півріччя}\\
I=\ $1000 (0.02) (8) =\ $160. &\ text {Ви заробляєте}\ $160\ text {загальна сума відсотків за чотири роки.} \ end {масив}\)

Спробуйте зараз 1

Кредитна компанія стягує відсотки 30 доларів за один місяць позики в розмірі 500 доларів. Знайдіть річну процентну ставку, яку вони стягують.

Відповідь

$I=\$ 30$ за інтересами

$P_{0}=\$ 500$ принципал

$r= \frac{30}{500} = 0.06$ на місяць

$(0.06)(12) = 0.72$ за рік

Вони стягують річну процентну ставку в розмірі 72%.