9.9: Вирішення на час

Часто нас цікавить, скільки часу знадобиться для накопичення грошей або скільки часу нам потрібно буде продовжити кредит, щоб знизити платежі до розумного рівня.

Примітка: У цьому розділі передбачається, що ви розглянули рішення експоненціальних рівнянь за допомогою логарифмів, або в попередніх класах, або в розділі моделей зростання.

Приклад 15

Якщо ви інвестуєте 2000 доларів на 6%, збільшені щомісяця, як довго це займе рахунок, щоб подвоїти вартість?

Рішення

Це складна проблема відсотків, оскільки ми вносимо гроші один раз і дозволяємо їм рости. У цій проблемі

$\begin{array}{ll} P_0 = \$2000 & \text{the initial deposit} \\ r = 0.06 & 6\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{12 months in 1 year} \end{array}$

Таким чином, наше загальне рівняння є$P_{N}=2000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{N \times 12}$. Ми також знаємо, що ми хочемо, щоб наша кінцева сума була подвійною з$\$ 2000,$ яких$\$ 4000,$ так ми шукаємо$N$ так,$P_{N}=4000 .$ щоб вирішити це, ми встановимо наше рівняння для$P_{N}$ рівних 4000.

$\begin{array}{ll} 4000=2000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{N \times 12} & \text{Divide both sides by 2000} \\ 2=(1.005)^{12 N} & \text{To solve for the exponent, take the log of both sides} \\ \log (2)=\log \left((1.005)^{12 N}\right) & \text{Use the exponent property of logs on the right side} \\ \log (2)=12 N \log (1.005) & \text{Now we can divide both sides by } 12\log{1.005} \\ \frac{\log (2)}{12 \log (1.005)}=N & \text{Approximating this to a decimal} \\ N=11.581 & \end{array}$

Знадобиться близько 11.581 років, щоб рахунок подвоївся в ціні. Зверніть увагу, що ваша відповідь може вийти трохи інакше, якщо ви оцінили журнали до десяткових знаків і округлені під час розрахунків, але ваша відповідь повинна бути близькою. Наприклад, якщо ви округлили журнал (2) до 0,301 і журнал (1,005) до 0,00217, то ваша остаточна відповідь склала б близько 11.577 років.

Приклад 16

Якщо ви інвестуєте 100 доларів щомісяця на рахунок, який заробляє 3% щомісяця, як довго він буде рости на рахунку до 10 000 доларів?

Рішення

Це проблема ощадної ануїтету, оскільки ми робимо регулярні депозити на рахунок.

$\begin{array}{ll} d = \$1000 & \text{the monthly deposit} \\ r = 0.03 & 3\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly deposits, we’ll compound monthly} \end{array}$

Ми не знаємо$N,$, але$P_{N}$ хочемо бути$\$ 10,000$

Вкладаємо це в рівняння:

$\begin{array}{ll} 10,000=\frac{100\left(\left(1+\frac{0.03}{12}\right)^{N(12)}-1\right)}{\left(\frac{0.03}{12}\right)} & \text{ Simplifying the fractions a bit} \\ 10,000=\frac{100\left((1.0025)^{12 N}-1\right)}{0.0025} & \end{array}$

Ми хочемо виділити експоненціальний член$1.0025^{12 N}$, тому помножте обидві сторони на 0,0025

$\begin{array}{ll} 25=100\left((1.0025)^{12 N}-1\right) & \text{Divide both sides by 100} \\ 0.25=(1.0025)^{12 N}-1 & \text{Add 1 to both sides} \\ 1.25=(1.0025)^{12 N} & \text{Now take the log of both sides} \\ \log (1.25)=\log \left((1.0025)^{12 \mathrm{N}}\right) & \text{Use the exponent property of logs} \\ \log (1.25)=12 N \log (1.0025) & \text{Divide by 12log(1.0025)} \\ \frac{\log (1.25)}{12 \log (1.0025)}=N & \text{Approximating to a decimal} \\ N=7.447\text{ years} & \end{array}$

Буде потрібно близько 7,447 років, щоб збільшити рахунок до$\$ 10,000$.

Спробуйте зараз 6

Джоел розглядає можливість поставити покупку ноутбука в розмірі 1000 доларів на свою кредитну картку, яка має процентну ставку 12%, що посилюється щомісяця. Скільки часу йому знадобиться, щоб розрахуватися з покупкою, якщо він здійснює виплати в розмірі 30 доларів на місяць?

Відповідь

$\begin{array}{ll} d= \$30 & \text{The monthly payments} \\ r = 0.12 & 12\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly deposits} \\ P_0 = \$1000 & \text{we’re starting with a \$1,000 loan} \end{array}$

Ми вирішуємо за те$N$, що час погасити кредит

$1,000=\frac{30\left(1-\left(1+\frac{0.12}{12}\right)^{-N(12)}\right)}{\frac{0.12}{12}}$

Рішення для$N$$3.396 .$ дарувань Окупитися з покупкою піде близько 3,4 років.