9.4: Ануїтети

Для більшості з нас сьогодні ми не в змозі покласти велику суму грошей в банк. Замість цього ми економимо на майбутнє, вносячи меншу суму грошей з кожної зарплати в банк. Ця ідея називається ощадним ануїтетом. Більшість пенсійних планів, таких як 401k плани або IRA плани є прикладами ощадних ануїтетів.

Ануїтет можна описати рекурсивно досить простим способом. Нагадаємо, що основні складні відсотки випливають з відносин.

$P_{m}=\left(1+\frac{r}{k}\right) P_{m-1}$

Для ощадної ануїтету нам просто потрібно додати депозит$d$, на рахунок з кожним періодом складання:

$P_{m}=\left(1+\frac{r}{k}\right) P_{m-1}+d$

Прийняти це рівняння від рекурсивної форми до явної форми трохи складніше, ніж зі складними відсотками. Це буде найпростіше побачити, працюючи з прикладом, а не працюючи в цілому.

Припустимо, ми будемо вносити 100 доларів щомісяця на рахунок, сплачуючи 6% відсотків. Ми припускаємо, що рахунок ускладнюється з тією ж частотою, що і ми робимо депозити, якщо не вказано інше. У цьому прикладі:

$r = 0.06$(6%)

$k = 12$(12 сполук/депозитів на рік)

$d = \$100$(наш депозит на місяць)

Виписання рекурсивного рівняння дає

$P_{m}=\left(1+\frac{0.06}{12}\right) P_{m-1}+100=(1.005) P_{m-1}+100$

Припускаючи, що ми починаємо з порожнього облікового запису, ми можемо почати використовувати цей зв'язок:

$P_{0}=0$

$P_{1}=(1.005) P_{0}+100=100$

$P_{2}=(1.005) P_{1}+100=(1.005)(100)+100=100(1.005)+100$

$P_{3}=(1.005) P_{2}+100=(1.005)(100(1.005)+100)+100=100(1.005)^{2}+100(1.005)+100$

Продовжуючи цю модель, після$m$ депозитів ми б зберегли:

$P_{m}=100(1.005)^{m-1}+100(1.005)^{m-2}+\cdots+100(1.005)+100$

Іншими словами, через$m$ місяці перший депозит буде заробляти складні відсотки$m-1$ місяцями. Другий депозит буде заробляти відсотки$m­-2$ місяцями. Останні місяці депозит заробив би тільки один місяць на суму відсотків. Останній депозит ще не заробив відсотків.

Це рівняння залишає бажати кращого, хоча - це не полегшує обчислення кінцевого балансу! Щоб спростити речі, помножте обидві сторони рівняння на 1,005:

$1.005 P_{m}=1.005\left(100(1.005)^{m-1}+100(1.005)^{m-2}+\cdots+100(1.005)+100\right)$

Розподіл по правій частині рівняння дає

$1.005 P_{m}=100(1.005)^{m}+100(1.005)^{m-1}+\cdots+100(1.005)^{2}+100(1.005)$

Тепер ми будемо вирівняти це з подібними термінами з нашого вихідного рівняння, і відняти кожну сторону

\ (\ почати {масив} {rll} 1,005 П_ {м} &= 100 (1,005) ^ {м} +&100 (1,005) ^ {м-1} +\ cdots+\ quad 100 (1.005)\\
P_ {м} &= &100 (1,005) ^ {м-1} +\ cdots+\ quad 100 (1.005) +100\ кінець {масив}\)

Майже всі терміни скасовуються з правого боку, коли ми віднімаємо, залишаючи

$1.005 P_{m}-P_{m}=100(1.005)^{m}-100$

Рішення для$P_m$

$0.005 P_{m}=100\left((1.005)^{m}-1\right)$

$P_{m}=\frac{100\left((1.005)^{m}-1\right)}{0.005}$

Заміна$m$ місяців з$12N$, де$N$ вимірюється роками, дає

$P_{N}=\frac{100\left((1.005)^{12 \mathrm{V}}-1\right)}{0.005}$

Нагадаємо, 0.005 було$\frac{r}{k}$ і 100 був депозит$d$. 12 було$k$, кількість депозитів щороку. Узагальнюючи цей результат, отримаємо формулу ренти заощадження.

Формула ануїтету

$P_{N}=\frac{d\left(\left(1+\frac{r}{k}\right)^{N k}-1\right)}{\left(\frac{r}{k}\right)}$

$P_N$залишок на рахунку після N років.

$d$це звичайний депозит (сума, яку ви вносите щороку, щомісяця тощо)

$r$річна процентна ставка в десятковій формі.

$k$кількість періодів компаундирования в одному році.

Якщо частота компаундування явно не вказана, припустимо, що існує така ж кількість сполук на рік, як є поклади, зроблені за рік.

Наприклад, якщо частота компаундування не вказана:

Якщо ви робите свої депозити щомісяця, використовуйте щомісячне складання,$k=12$.

Якщо ви робите свої депозити щороку, використовуйте щорічне складання,$k=1$.

Якщо ви робите свої депозити щокварталу, використовуйте квартальне складання,$k=4$.

І т.д.

Коли ви використовуєте це

Ануїтети припускають, що ви вкладаєте гроші на рахунок за звичайним графіком (кожен місяць, рік, квартал і т.д.) і нехай сидить там заробляючи відсотки.

Складні відсотки припускають, що ви поклали гроші на рахунок один раз і нехай сидіти там заробляють відсотки.

Складні відсотки: Один депозит

Аннуїтет: Багато депозитів.

Приклад 7

Традиційний індивідуальний пенсійний рахунок (IRA) - це особливий тип пенсійного рахунку, в якому гроші, які ви інвестуєте, звільняються від податку на прибуток, поки ви не знімете їх. Якщо ви вносите $100 щомісяця в IRA заробляє 6% відсотків, скільки ви будете мати на рахунку через 20 років?

Рішення

У цьому прикладі

$\begin{array}{ll} d = \$100 & \text{the monthly deposit} \\ r = 0.06 & 6\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly deposits, we’ll compound monthly} \\ N = 20 & \text{we want the amount after 20 years} \end{array}$

Вкладаємо це в рівняння:

$P_{20}=\frac{100\left(\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{20(12)}-1\right)}{\left(\frac{0.06}{12}\right)}$

$P_{20}=\frac{100\left((1.005)^{240}-1\right)}{(0.005)}$

$P_{20}=\frac{100(3.310-1)}{(0.005)}$

$P_{20}=\frac{100(2.310)}{(0.005)}=\$ 46200$

Рахунок зросте до $46 200 через 20 років.

Зверніть увагу, що ви внесли на рахунок в цілому $24000 ($100 на місяць протягом 240 місяців). Різниця між тим, що ви закінчуєте, і скільки ви вклали, - це зароблені відсотки. В даному випадку так і є$\$46,200 - \$24,000 = \$22,200$.

Приклад 8

Ви хочете мати $200,000 на вашому рахунку, коли ви вийдете на пенсію через 30 років. Ваш пенсійний рахунок заробляє 8% відсотків. Скільки потрібно вносити щомісяця, щоб досягти своєї пенсійної мети?

Рішення

У цьому прикладі

Ми шукаємо$d$.

$\begin{array}{ll} r = 0.08 & 8\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly deposits, we’ll compound monthly} \\ N = 30 & \text{30 years} \\ P_{30}=\$ 200,000 & \text{The amount we want to have in 30 years} \end{array}$

У цьому випадку, ми будемо мати, щоб налаштувати рівняння, і вирішити для$d$.

\ (\ почати {вирівняний}
&200,000=\ розрив {d\ лівий (\ лівий (1+\ frac {0.08} {12}\ праворуч) ^ {30 (12)} -1\ праворуч)} {\ ліворуч (\ frac {0.08} {12}\ праворуч)}\\
&200000=\ гідророзриву {d\ ліворуч ((1.00667) ^ {360} -1)} {(0.00667)}\\
&200,000=d (1491.57)\\
&d=\ гідророзриву {200 000} {1491.57} =\ $ 134.09
\ кінець {вирівняний}\)

Таким чином, вам потрібно буде вносити депозит$\$134.09$ щомісяця,$\$200,000$ щоб мати через 30 років, якщо ваш рахунок заробляє 8% відсотків

Спробуйте зараз 2

Більш консервативний інвестиційний рахунок платить 3% відсотків. Якщо ви вносите 5 доларів на день на цей рахунок, скільки у вас буде через 10 років? Скільки коштує від відсотків?

Відповідь

$\begin{array}{ll} d = \$5 & \text{the daily deposit} \\ r = 0.03 & 3\% \text{ annual rate} \\ k = 365 & \text{since we’re doing daily deposits, we’ll compound daily} \\ N = 10 & \text{we want the amount after 10 years} \end{array}$

$P_{10}=\frac{5\left(\left(1+\frac{0.03}{365}\right)^{365 \times 10}-1\right)}{\frac{0.03}{365}}=\$ 21,282.07$

Ми б внесли в загальну суму$\$ 5 \cdot 365 \cdot 10=\$ 18,250$, тому 3 032, 07 доларів - це відсотки