9.3: Складні відсотки
- Page ID
- 66095
З простим інтересом ми припускали, що ми кишені відсотки, коли отримали його. На стандартному банківському рахунку будь-які відсотки, які ми отримуємо, автоматично додаються до нашого балансу, і ми отримуємо відсотки на ці відсотки в наступні роки. Таке реінвестування відсотків називається компаундуванням.
Припустимо, що ми вносимо 1000 доларів на банківський рахунок, що пропонує 3% відсотків, що складаються щомісяця. Як будуть рости наші гроші?
Відсотки 3% - це річна процентна ставка (APR) - загальна сума відсотків, що підлягають сплаті протягом року. Оскільки відсотки виплачуються щомісяця, кожен місяць ми будемо заробляти\(\frac{3 \%}{12}=0.25 \%\) щомісяця.
У перший місяць
\(P_{0}=\$ 1000\)
\(r=0.0025(0.25 \%)\)
\(I=\$ 1000(0.0025)=\$ 2.50\)
\(A=\$ 1000+\$ 2.50=\$ 1002.50\)
У перший місяць ми заробимо 2,50 долара відсотка, збільшивши залишок нашого рахунку до $1002.50.
У другому місяці
\(P_{0}=\$ 1002.50\)
\(I=\$ 1002.50(0.0025)=\$ 2.51\)(округлі)
\(A=\$ 1000+\$ 2.50=\$ 1002.50\)
Зверніть увагу, що на другому місяці ми заробили більше відсотків, ніж за перший місяць. Це тому, що ми заробили відсотки не тільки на оригінальні 1000 доларів, які ми внесли, але ми також заробили відсотки на 2,50 доларів відсотків, які ми заробили в перший місяць. Це ключова перевага, яку дає нам складання інтересу.
Розрахунок ще кілька місяців:
\ (\ begin {масив} {|l|l|l|}
\ hline\ textbf {Місяць} &\ textbf {Початковий баланс} &\ textbf {Зароблені відсотки} &\ textbf {Кінцевий баланс}
\\ hline 1 & 1000.00 & 2.50\\
\ hline 2 & 1002.50 & 1002.50 & 2.51 & 1005.01\\\
\ hline 3 & 1005.01 & 2.51 & 1007.52
\\ hline 4 & 1007.52 & 2.52 & 1010.04
\\ Лінія 5 & 1010.04 & 2.53 & 1012.57
\\ лінія 6 & 1012.57 & 2.53 & 1015.10\
\ лінія 7 & 1015.10 & 2.54 & 1017. 64\
\ Хлайн 8 & 1017.64 & 2.54 & 1020.18\
\ Хлайн 9 & 1020.18 & 2.55 & 1022.73\
\ Хлайн 10 & 1022.73 & 2.56 & 1025.29\
\ Хлайн 11 & 1025.29 & 2.56 & 1027.85\
\ Хлайн 12 & 1027.85 & 2.57 & 1030.42\\
\ hline
\ кінець {масив}\)
Щоб знайти рівняння для представлення цього, якщо\(P_{m}\) представляє суму грошей через\(m\) місяці, то ми могли б написати рекурсивне рівняння:
\(P_{0}=\$ 1000\)
\(P_{m}=(1+0.0025) P_{m-1}\)
Ви, напевно, визнаєте це як рекурсивну форму експоненціального зростання. Якщо ні, ми могли б пройти кроки, щоб побудувати явне рівняння для зростання:
\(P_{0}=\$ 1000\)
\(P_{1}=1.0025 P_{0}=1.0025(1000)\)
\(P_{2}=1.0025 P_{1}=1.0025(1.0025(1000))=1.0025^{2}(1000)\)
\(P_{3}=1.0025 P_{2}=1.0025\left(1.0025^{2}(1000)\right)=1.0025^{3}(1000)\)
\(P_{4}=1.0025 P_{3}=1.0025\left(1.0025^{3}(1000)\right)=1.0025^{4}(1000)\)
Спостерігаючи закономірність, ми могли б зробити висновок
\(P_{m}=(1.0025)^{m}(\$ 1000)\)
Зверніть увагу, що $1000 в рівнянні була\(P_0\), початкова сума. Ми знайшли 1.0025, додавши один до темпу зростання, розділеного на 12, оскільки ми складали 12 разів на рік.
Узагальнюючи наш результат, ми могли б написати
\(P_{m}=P_{0}\left(1+\frac{r}{k}\right)^{m}\)
У цій формулі:
\(m\)кількість періодів складання (місяців в нашому прикладі)
\(r\)річна процентна ставка
\(k\)це кількість з'єднань на рік.
Хоча ця формула працює нормально, частіше використовувати формулу, яка включає кількість років, а не кількість періодів складання. \(N\)Якщо число років, то\(m = N k\). Внесення цієї зміни дає нам стандартну формулу складних відсотків.
\(P_{N}=P_{0}\left(1+\frac{r}{k}\right)^{N k}\)
\(P_N\)залишок на рахунку після N років.
\(P_0\)початковий залишок рахунку (також називається початковим депозитом, або основним)
\(r\)річна процентна ставка в десятковій формі
\(k\)кількість періодів компаундирования в одному році.
Якщо компаундування проводиться щорічно (один раз на рік),\(k = 1\).
Якщо компаундування проводиться щоквартально,\(k = 4\).
Якщо компаундування проводиться щомісяця,\(k = 12\).
Якщо компаундування проводиться щодня,\(k = 365\).
Найголовніше, що потрібно пам'ятати про використання цієї формули, це те, що вона передбачає, що ми поклали гроші на рахунок один раз і нехай сидимо там, заробляючи відсотки.
Депозитний сертифікат (CD) - це ощадний інструмент, який пропонують багато банків. Зазвичай це дає більш високу процентну ставку, але ви не можете отримати доступ до своїх інвестицій протягом певного періоду часу. Припустимо, ви вносите $3000 на компакт-диску, сплачуючи 6% відсотків, що складаються щомісяця. Скільки у вас буде на рахунку через 20 років?
Рішення
У цьому прикладі
\(\begin{array} {ll} P_{0}=\$ 3000 & \text{the initial deposit} \\ r = 0.06 & 6\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{12 months in 1 year} \\ N = 20 & \text{since we’re looking for how much we’ll have after 20 years} \end{array}\)
Отже\(P_{20}=3000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{20 \times 12}=\$ 9930.61\) (округлите свою відповідь до найближчої копійки)
Порівняємо суму грошей, зароблених від компаундирования, з сумою, яку ви б заробили від простих відсотків.
\ (\ begin {масив} {|l|r|r|}
\ hline\ текст {роки} &\ begin {масив} {l}
\ текст {Простий інтерес}
\\ текст {(\ $15 на місяць)}
\ кінець {масив} &\ begin {масив} {l}
6\%\ текст {складений}\
\ текст {щомісяця} =0.5\%\\
\ текст {кожен місяць.}
\ кінець {масив}\
\ hline 5 &\ $3900 &\ $4046.55\
\ hline 10 &\ $4800 &\ $5458.19\
\ hline 15 &\ $5700 &\ $7362.28\\
\ hline 20 &\ $6600 &\ $9930.61\\
\ hline 25 &\ $7500 &\ $13394.91\\
\ hline 30 &\ $8400 &\ $18067.73\\
\ hline 35 &\ $9300 &\ $24370.65\\
\ hline
\ кінець {масив}\)
Як бачите, протягом тривалого періоду часу складання робить велику різницю в балансі рахунку. Ви можете визнати це як різницю між лінійним зростанням та експоненціальним зростанням.
Коли нам потрібно обчислити щось\(5^3\) подібне, досить просто просто помножити\(5 \cdot 5 \cdot 5=125\). Але коли нам потрібно обчислити щось на кшталт\(1.005^{240}\), було б дуже нудно обчислити це, помноживши 1,005 на себе 240 разів! Щоб полегшити ситуацію, ми можемо використовувати силу наших наукових калькуляторів.
Більшість наукових калькуляторів мають кнопку для експонентів. Зазвичай це або позначено як:
\([\wedge ]\),\([y^x]\), або\([x^y]\)
Для оцінки\(1.005^{240}\) ми б набрати 1.005\([\wedge ]\) 240, або 1.005\([y^x]\) 240. Спробуйте - у вас повинно вийти щось близько 3.3102044758.
Ви знаєте, що вам знадобиться 40 000 доларів на освіту вашої дитини через 18 років. Якщо ваш рахунок заробляє 4% щоквартально, скільки вам потрібно буде внести зараз, щоб досягти своєї мети?
Рішення
Ми шукаємо\(P_0\).
\(\begin{array} {ll} r = 0.04 & 4\% \\ k = 4 & \text{4 quarters in 1 year} \\ N = 18 & \text{Since we know the balance in 18 years} \\ P_{18} = \$40,000 & \text{The amount we have in 18 years} \end{array}\)
У цьому випадку, ми будемо мати, щоб налаштувати рівняння, і вирішити для\(P_0\).
\(40000=P_{0}\left(1+\frac{0.04}{4}\right)^{18 \times 4}\)
\(40000=P_{0}(2.0471)\)
\(P_{0}=\frac{40000}{2.0471}=\$ 19539.84\)
Таким чином, вам потрібно буде внести $19,539.84 зараз, щоб мати $40,000 в 18 років.
Важливо дуже обережно ставитися до округлення при обчисленні речей з показниками. Загалом, ви хочете зберегти якомога більше десяткових знаків під час обчислень. Обов'язково зберігайте хоча б 3 значущі цифри (числа після будь-яких провідних нулів). Округлення 0.00012345 до 0.000123 зазвичай дає вам «досить близьку» відповідь, але зберігати більше цифр завжди краще.
Щоб зрозуміти, чому не надмірне округлення настільки важливо, припустимо, ви інвестували 1000 доларів США під 5% відсотків щомісяця протягом 30 років.
Рішення
\(\begin{array} {ll} P_0 = \$1000 & \text{the initial deposit} \\ r = 0.05 & 5\% \\ k = 12 & \text{12 months in 1 year} \\ N = 30 & \text{since we’re looking for the amount after 30 years} \end{array}\)
Якщо ми спочатку обчислимо\(\frac{r}{k}\), ми знаходимо\(\frac{0.05}{12} = 0.00416666666667\)
Ось ефект округлення цього до різних значень:
\ (\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline r/k\ текст {округлений до:} &\ текст {Дає}\ напівжирний символ {P} _ {30}\ текст {бути:} &\ текст {Помилка}
\\ hline 0.004 &\ $4208.59 &\ $259.15
\\ hline 0.0042 & $4521.45\ $53.71\
\\ лінія 0. 00417 &\ $4473.09 &\ $5.35\
\ hline 0.004167 &\ $4468.28 &\ $0.54\
\ hline 0.0041667 &\ $4467.80 &\ $0.06\\
\ hline\\ текст {без округлення} &\ $4467.74 &\\
\ hline
\ кінець {масив}\)
Якщо ви працюєте в банку, звичайно, ви б взагалі не округлили. Для наших цілей відповідь, яку ми отримали шляхом округлення до 0.00417, три значущі цифри, досить близька - 5 доларів від $4500 не так вже й погано. Звичайно, збереження цього четвертого знака після коми не зашкодило б.
У багатьох випадках ви можете уникнути округлення повністю, як ви вводите речі у свій калькулятор. Наприклад, в прикладі вище нам знадобилося обчислити
\(P_{30}=1000\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{12 \times 30}\)
Ми можемо швидко розрахувати\(12 \times 30=360\), даючи\(P_{30}=1000\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{360}\).
Тепер ми можемо скористатися калькулятором.
\ (\ begin {масив} {|c|c|}
\ hline\ textbf {Введіть це} &\ textbf {Калькулятор показує}
\\ hline 0.05 [\ div] 12 [=] & 0.00416666666667
\\ hline [+] 1 [=] & 1.00416666666667
\\ hline [\ mathrm {y} {\ математична {x}}] 360 [=] & 4.46774431400613\\
\ hline [\ раз] 1000 [=] & 4467.74431400613\
\ hline\ hline
\ кінець {масив}\)
Попередні кроки передбачали, що у вас є калькулятор «одна операція за раз»; більш просунутий калькулятор часто дозволить вам ввести весь вираз для обчислення. Якщо у вас є такий калькулятор, вам, ймовірно, просто потрібно буде ввести:
1000\([\times]\) (1\([+]\) 0.05\([\div]\) 12)\([y^x]\) 360\([=]\)