1.3: Пропорції та ставки

Якби ви хотіли забезпечити місто Сіетл за допомогою енергії вітру, скільки вітряних млинів вам потрібно було б встановити? На подібні запитання можна відповісти, використовуючи ставки та пропорції.

Тарифи

Норма - це співвідношення (частка) двох величин.

Одиниця ставки - це ставка зі знаменником одиниці.

Приклад 12

Ваш автомобіль може проїхати 300 миль на резервуарі об'ємом 15 галонів. Висловіть це як ставку.

Рішення

Виражається у вигляді ставки,$\frac{300 \text { miles }}{15 \text { gallons }}$. Ми можемо розділити, щоб знайти одиницю ставки:$\frac{20 \text { miles }}{\text { 1gallon }}$, яку ми також могли б написати як$20 \frac{\text { miles }}{\text { gallon }}$, або просто 20 миль на галон.

Рівняння пропорції

Рівняння пропорції - це рівняння, що показує еквівалентність двох ставок або коефіцієнтів.

Приклад 13

Розв'яжіть пропорцію$\frac{5}{3} = \frac{x}{6}$ для невідомого значення$x$.

Рішення

Ця пропорція просить нас знайти дріб зі знаменником 6, який еквівалентний дробу$\frac{5}{3}$. Ми можемо вирішити це, помноживши обидві сторони рівняння на 6, даючи$x=\frac{5}{3} \cdot 6=10$.

Приклад 14

Масштаб карти вказує на те, що$\frac{1}{2}$ дюйм на карті відповідає 3 реальні милі. Скільки миль один від одного два міста, що знаходяться в$2 \frac{1}{4}$ дюймах один від одного на карті?

Рішення

Ми можемо встановити пропорцію, встановивши рівні дві$\frac{\text { map inches }}{\text { real miles }}$ ставки, і ввівши змінну$x$, щоб представити невідому величину - відстань милі між містами.

$\begin{array} {ll} {\frac{\frac{1}{2} \text { map inch }}{3 \text { miles }}=\frac{2 \frac{1}{4} \text { map inches }}{x \text { miles }}} &{\text{Multiply both sides by }x \text{ and rewriting the mixed number}} \\ {\frac{\frac{1}{2}}{3} \cdot x=\frac{9}{4}} & {\text{Multiply both sides by 3}} \\ {\frac{1}{2} x=\frac{27}{4}} &{\text{Multiply both sides by 2 (or divide by }\frac{1}{2})} \\ {x=\frac{27}{2}=13 \frac{1}{2} \text { miles }} &{ } \end{array}$

Багато проблем пропорцій також можуть бути вирішені за допомогою розмірного аналізу, процесу множення кількості на ставки для зміни одиниць.

Приклад 15

Ваш автомобіль може проїхати 300 миль на резервуарі об'ємом 15 галонів. Як далеко він може проїхати на 40 галонів?

Рішення

Ми могли б, звичайно, відповісти на це питання, використовуючи пропорцію:$$\frac{300 \text { miles }}{15 \text { gallons }}=\frac{x \text { miles }}{40 \text { gallons }}$$.

Однак ми раніше виявили, що 300 миль на 15 галонів дає швидкість 20 миль на галон. Якщо ми помножимо задану кількість галонів 40 на цю швидкість, одиниця галонів «скасовується», і ми залишимося з кількістю миль:

$40 \text{gallons} \cdot \frac{20 \text { miles }}{\text { gallon }}=\frac{40 \text { gallons }}{1} \cdot \frac{20 \text { miles }}{\text { gallon }}=800\text{ miles}$

Зверніть увагу, якщо замість цього нас запитали «скільки галонів потрібно проїхати 50 миль?» ми могли б відповісти на це питання, інвертуючи швидкість 20 милі на галон, так що милі одиниця скасовується, і ми залишилися з галонами:

$50 \text{miles} \cdot \frac{\text { lgallon }}{20 \text { miles }}=\frac{50 \text { miles }}{1} \cdot \frac{1 \text { gallon }}{20 \text { miles }}=\frac{50 \text { gallons }}{20}=2.5 \text{ gallons}$

Аналіз розмірів також може бути використаний для перетворення одиниць. Ось деякі перетворення одиниць для довідки.

Перетворення одиниць

Довжина

$\begin{array} {ll} {1 \text { foot (ft)}=12 \text { inches (in)}} & {1 \text{ yard (yd) }=3\text{ feet (ft)}} \\ {1\text{ mile }=5,280\text{ feet}} & { } \\ {1000\text{ millimeters }{mm}=1\text{ meter (m)}} & {100\text{ centimeters (cm)}=1\text{ meter}} \\ {1000\text{ meters (m)}=1\text{ kilometer (km)}} &{2.54\text{ centimeters (cm) }= 1\text{ inch}} \end{array}$

Вага і маса

$\begin{array} {ll} {1\text{ pound (lb) }= 16\text{ ounces (oz)}} & {1\text{ ton }= 2000\text{ pounds}} \\ {1000\text{ milligrams (mg) }= 1\text{ gram (g)}} & {1000\text{ grams }= 1\text{ kilogram (kg)}} \\ {1\text{ kilogram }= 2.2\text{ pounds (on earth)}} & { } \end{array}$

Ємність

$\begin{array} {ll} {1\text{ cup }= 8\text{ fluid ounces (fl oz)}^*} & {1\text{ pint }= 2\text{ cups}} \\ {1\text{ quart }= 2\text{ pints }= 4\text{ cups}} & {1\text{ gallon }= 4\text{ quarts }= 16\text{ cups}} \\ {1000\text{ milliliters (ml) }= 1\text{ liter (L)}} & { } \end{array}$

^* Рідкі унції - це вимір ємності для рідин. 1 рідка унція ≈ 1 унція (вага) тільки для води.

Приклад 16

Велосипед їде зі швидкістю 15 миль на годину. Скільки ніг він покриє за 20 секунд?

Рішення

Щоб відповісти на це питання, нам потрібно перетворити 20 секунд в фути. Якби ми знаємо швидкість велосипеда в футах в секунду, це питання було б простіше. Оскільки ми цього не робимо, нам потрібно буде зробити додаткові перетворення одиниць. Нам потрібно буде знати, що 5280 футів = 1 миля. Ми можемо почати з перетворення 20 секунд у години:

$\begin{array} {ll} {20\text{ seconds } \cdot \frac{1 \text { minute }}{60 \text { seconds }} \cdot \frac{1 \text { hour }}{60 \text { minutes }}=\frac{1}{180}\text{ hour}} & {\text{Now we can multiply by the }15\text{ miles/hr}} \\ {\frac{1}{180} \text { hour } \cdot \frac{15 \text { miles }}{\text { Ihour }}=\frac{1}{12} \text { mile }} & {\text{Now we can convert to feet}} \\ {\frac{1}{12} \text { mile } \cdot \frac{5280 \text { feet }}{1 \text { mile }}=440 \text { feet}} & { } \end{array}$

Ми могли б також зробити весь цей розрахунок в одному довгому наборі продуктів:

$20\text{ seconds }\cdot \frac{1 \text { minute }}{60 \text { seconds }} \cdot \frac{1 \text { hour }}{60 \text { minutes }} \cdot \frac{15 \text { miles }}{1 \text { hour }} \cdot \frac{5280 \text { feet }}{1 \text { mile }}=440\text{ feet}$

Спробуйте зараз 4

Золотник 1000 футів голий мідний дріт 12 калібру важить 19,8 фунтів. Скільки буде 18 дюймів дроту важить, в унціях?

Відповідь

$18 \text { inches } \cdot \frac{1 \text { foot }}{12 \text { inches }} \cdot \frac{19.8 \text { pounds }}{1000 \text { feet }} \cdot \frac{16 \text { ounces }}{1 \text { pound }} \approx 0.475 \text { ounces }$

Зверніть увагу, що з милями на галон приклад, якщо ми подвоїти милі, керовані, ми подвоїти газ використовується. Так само, з прикладом відстані карти, якщо відстань карти подвоюється, реальна відстань подвоюється. Це ключова особливість пропорційних відносин, і одну ми повинні підтвердити, перш ніж припускати, що дві речі пов'язані пропорційно.

Приклад 17

Припустимо, ви облицьовуєте підлогу 10 футів на 10 футів кімнати, і виявите, що 100 плитки будуть потрібні. Скільки плитки знадобиться для плитки підлоги 20 футів на 20 футів кімнати?

Рішення

При цьому, поки ширина кімнати збільшилася вдвічі, площа збільшилася в чотири рази. Так як кількість необхідної плитки відповідає площі підлоги, а не ширині, знадобиться 400 плиток. Ми могли б знайти це, використовуючи пропорцію, засновану на площах кімнат:

$\frac{100 \text { tiles }}{100 \mathrm{ft}^{2}}=\frac{n \text { tiles }}{400 \mathrm{ft}^{2}}$

Інші величини просто не масштабуються пропорційно взагалі.

Приклад 18

Припустимо, невелика компанія витрачає 1000 доларів на рекламну кампанію, і отримує від неї 100 нових клієнтів. Скільки нових клієнтів вони повинні очікувати, якщо вони витратять $10,000?

Рішення

Хоча спокусливо сказати, що вони наберуть 1000 нових клієнтів, цілком ймовірно, що додаткова реклама буде менш ефективною, ніж початкова реклама. Наприклад, якщо компанія є магазином гарячої ванни, є, ймовірно, лише фіксована кількість людей, зацікавлених у покупці гарячої ванни, тому в місті може навіть не бути 1000 людей, які були б потенційними клієнтами.

Іноді при роботі зі ставками, пропорціями та відсотками процес може бути більш складним за величиною задіяних чисел. Іноді, великі цифри просто важко осягнути.

Приклад 19

Порівняйте військовий бюджет США 2010 року в 683,7 мільярда доларів з іншими величинами.

Тут у нас дуже велика кількість, виписано близько 683 700 000 000 доларів. Звичайно, уявити мільярд доларів дуже складно, тому це може допомогти порівняти його з іншими величинами.

Якби ця сума грошей була використана для виплати зарплат 1,4 мільйона співробітників Walmart у США, кожен заробив би понад 488,000 доларів.

У США налічується близько 300 мільйонів чоловік. Військовий бюджет становить близько 2200 доларів на людину.

Якби ви поклали 683,7 мільярда доларів на 100 купюр і підрахували 1 в секунду, це займе 216 років, щоб закінчити підрахунок.

Приклад 20

Порівняйте споживання електроенергії на душу населення в Китаї зі ставкою в Японії.

Для вирішення цього питання нам спочатку знадобляться дані. З веб-сайту ЦРУ [1] ми можемо знайти споживання електроенергії в 2011 році для Китаю становило 4 693 000 000 000 кВт-год (кіловат-години), або 4,693 трлн кВт-год, тоді як споживання для Японії становило 859 700 000 000, або 859,7 млрд кВт-год. Щоб знайти ставку на душу населення (на людину), нам також знадобиться населення двох країн. З Світового банку [2] ми можемо виявити, що населення Китаю становить 1 344 130 000, або 1,344 мільярда, а населення Японії - 127 817 277, або 127,8 мільйона.

Рішення

Обчислення споживання на душу населення для кожної країни:

Китай:$\frac{4,693,000,000,000 \mathrm{KWH}}{1,344,130,000 \text { people }} \approx 3491.5$ кВт-год на особу

Японія:$\frac{859,700,000,000 \mathrm{KWH}}{127,817,277 \text { people }} \approx 6726$ КВт-год на особу

Хоча Китай використовує понад 5 разів більше електроенергії Японії в цілому, оскільки населення Японії набагато менше, виявляється, Японія використовує майже вдвічі більше електроенергії на людину порівняно з Китаєм.

---

[1] www.cia.gov/бібліотека/публікація... /2042rank.html

[2] http://data.worldbank.org/indicator/SP.POP.TOT