Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.4: Властивості детермінанта

Цілі навчання
  • Вибір для обчислення визначника матриці за допомогою розширення кофактора вздовж будь-якого рядка або стовпця є найбільш корисним, коли є багато того, що в рядку або стовпці?
  • Яка елементарна операція рядка не змінює детермінант матриці?
  • Чому математики рідко посміхаються?
  • T/F: Коли комп'ютери використовуються для обчислення визначника матриці, кофакторне розширення використовується рідко.

У попередньому розділі ми дізналися, як обчислити детермінант. У цьому розділі ми дізнаємося деякі властивості детермінанти, і це дозволить нам легше обчислити детермінанти. У наступному розділі ми побачимо одне застосування детермінант.

Почнемо з теореми, яка дає нам більше свободи при обчисленні детермінант.

Теорема3.4.1

Розширення кофактора вздовж будь-якого рядка або стовпця

AДозволяти бутиn×n матрицею. ВизначникA може бути обчислений за допомогою кофакторного розширення уздовж будь-якого рядка або стовпцяA.

Ми посилалися на цей факт шлях назад після Приклад 3.3.3. Ми щойно дізналися, що таке розширення кофактора, і ми практикували уздовж другого ряду і вниз по третьому стовпчику. Пізніше ми знайшли детермінант цієї матриці шляхом обчислення кофакторного розширення уздовж першого ряду. У всіх трьох випадках ми отримали номер0. Це не було випадковістю. Вищезазначена теорема стверджує, що всі три розширення фактично обчислювали детермінант.

Як це нам допомагає? Надаючи нам свободу вибору будь-якого рядка або стовпця для розширення, ми можемо вибрати рядок або стовпець, який виглядає «найбільш привабливим». Зазвичай це означає «у нього багато нулів». Цей принцип ми демонструємо нижче.

Приклад3.4.1

Знайдіть детермінант

A=[1209230572384102].

Рішення

Наша перша реакція цілком може бути «О ні! Не інший4×4 детермінант!» Однак ми можемо використовувати розширення кофактора вздовж будь-якого рядка або стовпця, який ми вибираємо. Третій стовпець виглядає чудово; в ньому багато нулів. Розширення кофактора уздовж цієї колонки дорівнюєdet(A)=a1,3C1,3+a2,3C2,3+a3,3C3,3+a4,3C4,3=0C1,3+0C2,3+3C3,3+0C4,3

Чудова річ тут полягає в тому, що три наші кофактори множаться на0. Ми не будемо турбувати їх обчислення, оскільки вони не сприятимуть визначенню. Таким чином

det(A)=3C3,3=3(1)3+3|129235412|=3(147)(we computed the determinant of the 3×3 matrixwithout showing our work; it is 147)=447

Вау. Це було набагато простіше, ніж обчислення все, що ми зробили в прикладі 3.3.6. Звичайно, у цьому прикладі у нас не було жодних ярликів, які ми могли б використати.

Приклад3.4.2

Знайдіть детермінант

A=[1234506789001011120001314000015].

Рішення

На перший погляд ми думаємо: «Я не хочу знаходити детермінант5×5 матриці!» Однак, використовуючи наші новоотримані знання, ми бачимо, що все не так вже й погано. Насправді ця проблема дуже легка.

Який рядок або стовпець ми повинні вибрати, щоб знайти детермінант уздовж? Є два очевидних варіанти: перший стовпець або останній рядок. Обидва мають в них 4 нулі. Вибираємо перший стовпець. 1Ми опускаємо більшу частину розширення кофактора, оскільки більша його частина є лише0:

det(A)=1(1)1+1|6789010111200131400015|.

Аналогічно, цей детермінант не погано обчислити; ми знову вирішили використовувати розширення кофактора уздовж першого стовпця. Примітка: технічно це розширення кофактора є6(1)1+1A1,1; ми збираємося відмовитися від(1)1+1 умов звідси в цьому прикладі (це буде багато...).

det(A)=16|101112013140015|.

Ви, напевно, можете побачити тенденцію. Ми закінчимо кроки, не пояснюючи кожен з них.

det(A)=1610|1314015|=16101315=11700

Ми бачимо, що кінцевим визначником є добуток діагональних записів. Це працює для будь-якої трикутної матриці (а оскільки діагональні матриці трикутні, вона працює і для діагональних матриць). Це досить важлива ідея, що ми покладемо її в коробку.

Ключова ідея3.4.1: The Determinant of Triangular Matrices

Визначником трикутної матриці є добуток її діагональних елементів.

Зараз знову час почати думати, як математик. Пам'ятайте, математики бачать щось нове і часто запитують: «Як це пов'язано з речами, які я вже знаю?» Отже, тепер ми запитуємо: «Якщо ми змінимо матрицю якимось чином, як це детермінант змінився?»

Стандартний спосіб, яким ми змінюємо матриці, - це елементарні операції рядків. Якщо виконати елементарну рядкову операцію над матрицею, як визначник нової матриці буде порівнюватися з визначником вихідної матриці?

Давайте спочатку поекспериментуємо, а потім офіційно заявимо, що відбувається.

Приклад3.4.3

Нехай

A=[1234].

BДозволяти формуватися зA, виконавши одну з наступних елементарних операцій рядка:

  1. 2R1+R2R2
  2. 5R1R1
  3. R1R2

Знайтиdet(A) так само, як іdet(B) для кожної з операцій рядка вище.

Рішення

Це просто обчислитиdet(A)=2.

BДозволяти формуватися, виконуючи операцію рядка в 1) наA; таким чином

B=[1258].

Зрозумілоdet(B)=2, що, те ж саме, що іdet(A).

ТеперB нехай формується, виконуючи елементарну операцію ряду в 2) наA; тобто

B=[51034].

Ми бачимоdet(B)=10, що, що є5det(A).

Нарешті, нехайB буде сформована операція третього рядка задана; поміняти місцями два рядиA. Ми бачимо, що

B=[3412]

і теdet(B)=2, що є(1)det(A).

Ми бачили в наведеному вище прикладі, що, здається, існує зв'язок між детермінантами матриць «до і після», які змінюються елементарними рядковими операціями. Звичайно, одного прикладу недостатньо, щоб базувати теорію, і ми ще нічого не довели. Незважаючи на це, така теорема вірна.

Теорема3.4.2

Визначні та елементарні операції рядків

AДозволяти бутиn×n матрицею і нехайB утворюються шляхом виконання однієї елементарної операції рядка наA.

  1. ЯкщоB формується зA додаванням скалярного кратного одному ряду до іншого, тоdet(B)=det(A).
  2. ЯкщоB утворюється відA множення одного рядуA на скалярk, тоdet(B)=kdet(A).
  3. ЯкщоB утворюється зA шляхом перемежування двох рядівA, тоdet(B)=det(A).

Давайте поставимо цю теорему для використання в прикладі.

Приклад3.4.4

Нехай

A=[121011111].

Обчислитиdet(A), а потім знайти детермінанти наступних матриць шляхом перевірки за допомогою теореми3.4.2.

B=[111121011]C=[121011777]D=[112011111]

Рішення

Обчисленняdet(A) шляхом розширення кофактора вниз по першому стовпчику або вздовж другого рядка здається найкращим вибором, використовуючи один нуль в матриці. Ми можемо швидко це підтвердитиdet(A)=1.

Щоб обчислитиdet(B), зверніть увагу, що рядкиA були переставлені до формиB. Існують різні способи опису того, що сталося; за словамиR1R2 слідувалиR1R3 виробляєB зA. Так як існували два рядні свопи,det(B)=(1)(1)det(A)=det(A)=1.

Зверніть увагу, щоCA утворюється від множення третього ряду на7. Таким чиномdet(C)=7det(A)=7.

Це займає трохи роздумів, але ми можемоA сформуватисяD від операції3R2+R1R1. Цей тип елементарної операції рядка не змінює детермінант, томуdet(D)=det(A).

Давайте продовжуємо думати, як математики; математики, як правило, згадують «проблеми», з якими вони стикалися в минулому, 2і коли вони дізнаються щось нове, вони намагаються застосувати свої нові знання для вирішення своєї старої проблеми.

Яку «проблему» ми нещодавно розкрили? Ми заявляли в останньому розділі, що навіть комп'ютери не могли обчислити детермінант великих матриць з кофакторним розширенням. Як же тоді обчислити детермінант великих матриць?

Щойно ми дізналися два цікавих і корисних факту про матричні детермінанти. По-перше, визначник трикутної матриці легко обчислити: досить помножити діагональні елементи. По-друге, ми знаємо, як елементарні операції рядків впливають на визначник. З'єднайте ці дві ідеї разом: задавши будь-яку квадратну матрицю, ми можемо використовувати елементарні операції рядків, щоб поставити матрицю в трикутну форму, 3знайти детермінант нової матриці (що легко), а потім відрегулювати це число, згадавши, які елементарні операції ми виконали. Давайте практикуємо це.

Приклад3.4.5

Знайдіть детермінант,A попередньо поклавшиA в трикутну форму, де

A=[242125321].

Рішення

ВводячиA в трикутну форму, нам не потрібно турбуватися про отримання провідних1 s, але це, як правило, полегшує наше життя, оскільки ми вирішуємо проблему вручну. Отже, давайте масштабуємо перший рядок за допомогою1/2:

12R1R1[121125321].

Тепер давайте0 отримаємо нижче цього провідного1:

R1+R2R23R1+R3R3[121004044].

Ми можемо закінчити в один крок; міняючи рядки,2 і3 ми будемо мати нашу матрицю в трикутній формі.

R2R3[121044004].

Давайте назвемо цю останню матрицюB. ВизначникB легко обчислити, оскільки він трикутний;det(B)=16. Ми можемо використовувати це, щоб знайтиdet(A).

Згадайте кроки, в які ми використовували дляA перетворенняB. Ними є:

12R1R1

R1+R2R2

3R1+R3R3

R2R3

Перша операція множимо рядA на12. Це означає, що отримана матриця мала детермінант, який був12 детермінантоюA.

Наступні дві операції ніяк не вплинули на визначник. Остання операція, підкачка рядків, змінила знак. Поєднуючи ці ефекти, ми знаємо, що16=det(B)=(1)12det(A).

Рішення дляdet(A) нас це єdet(A)=32.

На практиці нам не потрібно відстежувати операції, коли ми додаємо кратні одному рядку до іншого; вони просто не впливають на детермінант. Також на практиці ці кроки виконуються комп'ютером, а комп'ютери не дбають про провідні 1s. Тому операції масштабування рядків використовуються рідко. Єдине, що потрібно відстежувати, - це свопи рядків, і навіть тоді все, що ми дбаємо про це кількість свопів рядків. Непарна кількість рядків свопів означає, що вихідний детермінант має протилежний знак матриці трикутної форми; парна кількість свопів рядків означає, що вони мають однаковий детермінант.

Давайте практикуємо це ще раз.

Приклад3.4.6

МатрицяB була сформована зA використання наступних елементарних рядкових операцій, хоча і не обов'язково в такому порядку. Знайтиdet(A).

B=[123045006]2R1R113R3R3R1R26R1+R2R2

Рішення

Це легко обчислитиdet(B)=24. In looking at our list of elementary row operations, we see that only the first three have an effect on the determinant. Therefore

24=det(B)=213(1)det(A)

і, отже,

det(A)=36.

У попередньому прикладі у нас, можливо, виникла спокуса «перебудувати»A за допомогою елементарних операцій рядків, а потім обчислити детермінант. Це можна зробити, але загалом це погана ідея; це займає занадто багато роботи, і занадто легко помилитися.

Давайте подумаємо, що деякі більше схожі на математика. Як визначник працює з іншими відомими нам матричними операціями? Зокрема, як визначник взаємодіє з додаванням матриць, скалярним множенням, множенням матриць, транспонуванням та слідом? Ми знову зробимо приклад, щоб отримати уявлення про те, що відбувається, а потім дати теорему, щоб заявити, що правда.

Приклад3.4.7

Нехай

A=[1234]andB=[2135].

Знайдіть детермінанти матрицьA,B,A+B,3A,ABATA1, і порівняйте детермінант цих матриць з їх слідом.

Рішення

Ми можемо швидко обчислити, щоdet(A)=2 і теdet(B)=7.

det(AB)=det([1234][2135])=|1101|=1

Важко знайти зв'язок міжdet(Ab),det(A) іdet(B).

det(3A)=|36912|=18

Ми можемо зрозуміти це; множення одного рядкаA на3 збільшує детермінант на коефіцієнт3; роблячи це знову (і, отже, множення обох рядків на3) збільшує детермінант знову на коефіцієнт3. det(3A)=33det(A)Тому або32A.

det(AB)=det([1234][2135])=|8111823|=14

Це здається зрозумілим;det(AB)=det(A)det(B).

det(AT)=|1324|=2

Очевидноdet(AT)=det(A); чи завжди це буде так? Якщо задуматися, то можна побачити, що розширення кофактора вздовж першого рядуA дасть нам такий же результат, як розширення кофактора уздовж першого стовпцяA. 4

det(A1)=|213/21/2|=13/2=1/2

Здається, ніби

det(A1)=1det(A).

Ми закінчуємо тим, що, здається, немає ніякого зв'язку між слідом матриці та її детермінантою. Ми залишаємо читачеві обчислити слід для деяких з перерахованих вище матриць і підтвердити це твердження.

Тепер ми викладемо теорему, яка підтвердить наші припущення з попереднього прикладу.

Теорема3.4.3

Властивості детермінанти

ABДозволяти і бутиn×n матриці і нехайk бути скалер. Вірно наступне:

  1. det(kA)=kndet(A)
  2. det(AT)=det(A)
  3. det(AB)=det(A)det(B)
  4. ЯкщоA оборотний, то
    det(A1)=1det(A).
  5. МатрицяA обертається тоді і тільки тоді, колиdet(A)0.

Це останнє твердження вищезгаданої теореми є значущим: що станеться, якщоdet(A)=0? Здаєтьсяdet(A1)="1/0", що не визначено. Тут насправді немає проблеми; виявляється, що якщоdet(A)=0, то неA є зворотним (отже, частина 5 Теореми3.4.3). Це дозволяє нам додати до нашої теореми про оборотну матрицю.

Теорема3.4.4

Теорема про оборотну матрицю

AДозволяти бутиn×n матрицею. Наступні твердження рівнозначні.

  1. Aє оборотним.
  2. det(A)0.

Це нове доповнення до теореми про інвертабельну матрицю є дуже корисним; ми повернемося до нього в розділі 4, коли ми обговорюємо власні значення.

Закінчуємо цей розділ ярликом для обчислення детермінант3×3 матриць. Розглянемо матрицюA:

[123456789].

Ми можемо обчислити його детермінант за допомогою кофакторного розширення, як ми це робили в прикладі 3.3.4. Після того, як хтось стає досвідченим у цьому методі, обчислення3×3 визначника a не все так важко. Однак спосіб, який багато хто вважає простішим, починається з перезапису матриці без дужок і повторення першого і другого стовпців в кінці, як показано нижче. 123124564578978

У цьому3×5 масиві чисел є 3 повні діагоналі «від верхнього лівого до нижнього правого» та 3 повних діагоналі «верхнього правого нижнього лівого», як показано нижче зі стрілками.

clipboard_e04f783fe138b528de689d901006a099f.png

Числа, які з'являються на кінцях кожної зі стрілок, обчислюються шляхом множення знайдених по стрілках цифр. Наприклад,105 походить від множення357=105. Визначник знаходять шляхом складання чисел праворуч, і віднімання суми чисел зліва. Тобто,det(A)=(45+84+96)(105+48+72)=0.

Щоб нагадати собі цей ярлик, ми зробимо його ключовою ідеєю.

Ключова ідея3.4.2: 3×3 Determinant Shortcut

AДозволяти бути3×3 матрицею. Створіть3×5 масив, повторюючи перші2 стовпці і розгляньте добутки діагоналей3 «правої руки» і діагоналей3 «лівої руки», як показано раніше. Тоді

det(A)="(the sum of the right hand numbers)(the sum of the left hand numbers)".

Ми ще раз попрактикуємося в контексті прикладу.

Приклад3.4.8

Знайти визначникA використання раніше описаного ярлика, де

A=[139234572].

Рішення

Переписування першого2 columns, drawing the proper diagonals, and multiplying, we get:

clipboard_e520ead7ae2beb80d062d0a37132b0de2.png

Підсумовуючи числа праворуч і віднімаючи суму чисел зліва, отримуємоdet(A)=(660126)(135+2812)=61.

In the next section we’ll see how the determinant can be used to solve systems of linear equations.

Footnotes

[1] We do not choose this because it is the better choice; both options are good. We simply had to make a choice.

[2] which is why mathematicians rarely smile: they are remembering their problems

[3] or echelon form

[4] This can be a bit tricky to think out in your head. Try it with a 3×3 matrix A and see how it works. All the 2×2 submatrices that are created in AT are the transpose of those found in A; this doesn’t matter since it is easy to see that the determinant isn’t affected by the transpose in a 2×2 matrix.

  • Was this article helpful?