3.3: Детермінант

Цілі навчання

• T/F: Детермінант матриці завжди позитивний.
• T/F: Щоб обчислити детермінант\(3\times 3\) матриці, потрібно обчислити детермінанти\(3\)\(2\times 2\) матриць.
• Наведіть приклад\(2\times 2\) матриці з детермінантою\(3\).

У цій главі досі ми дізналися про транспонування (операцію над матрицею, яка повертає іншу матрицю) та трасування (операція над квадратною матрицею, яка повертає число). У цьому розділі ми дізнаємося ще одну операцію над квадратними матрицями, яка повертає число, яке називається детермінантою. Наведемо псевдовизначення детермінанти тут.

Визначення: Детермінант

Детермінант\(n\times n\) матриці\(A\) - це число, що позначається\(\text{det}(A)\), тобто визначається\(A\).

Це визначення не призначене для пояснення всього; воно просто змушує нас зрозуміти, що детермінант - це число. Детермінант - це свого роду складна річ для визначення. Після того, як ви це знаєте і зрозумієте, це не так складно, але почати роботу трохи складно. \(^{1}\)Починаємо просто; визначаємо детермінант для\(2 \times 2\) матриць.

Визначення: Детермінант\(2\times 2\) Matrices

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right].\nonumber \]

Детермінант\(A\), що позначається

\[\text{det}(A)\text{ or }\left|\begin{array}{cc}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right|,\nonumber \]

є\(ad-bc\).

Ми бачили вираз\(ad-bc\) раніше. У розділі 2.6 ми побачили, що\(2\times2\) матриця\(A\) має зворотну

\[\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{array}\right]\nonumber \]

до тих пір, поки\(ad-bc\neq 0\); в іншому випадку зворотного не існує. Ми можемо перефразувати вищевказане твердження зараз: Якщо\(\text{det}(A)\neq 0\), то

\[A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\left[\begin{array}{cc}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{array}\right].\nonumber \]

Коротке слово про позначення: зверніть увагу, що ми можемо посилатися на детермінант, використовуючи те, що виглядає як абсолютні бари значень навколо записів матриці. Ми обговорювали в кінці останнього розділу ідею вимірювання «розміру» матриці, і згадали, що існує безліч різних способів вимірювання розміру. Детермінант - один з таких способів. Подібно до того, як абсолютне значення числа вимірює його розмір (і ігнорує його знак), визначником матриці є вимірювання розміру матриці. (Будьте обережні, хоча:\(\text{det}(A)\) може бути негативним!)

Давайте потренуємося.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайти детермінант\(A\),\(B\) і\(C\) де

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc}{3}&{-1}\\{2}&{7}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad C=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-3}\\{-2}&{6}\end{array}\right].\nonumber \]

Рішення

Знаходження детермінанта\(A\):

\[\begin{align*}\begin{aligned}\text{det}(A)&=\left|\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right| \\ &=1(4)-2(3) \\ &=-2.\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Подібні обчислення показують, що\(\det{(B)} = 3(7)- (-1)(2) = 23\) і\(\det{(C)} = 1(6) - (-3)(-2) = 0\).

Знайти детермінант\(2\times2\) матриці досить просто. Природно запитати далі: «Як ми обчислюємо детермінант матриць, які не є\(2\times2\)?» Для початку потрібно визначитися з деякими термінами. \(^{2}\)

Визначення: Матриця Мінор, Кофактор

\(A\)Дозволяти бути\(n\times n\) матрицею. The\(i\),\(j\) minor of\(A\), позначається\(A_{i,j}\), є визначником\((n − 1)\times (n − 1)\) матриці, утвореної шляхом видалення\(i^{\text{th}}\) рядка і\(j^{\text{th}}\) стовпця\(A\).

The\(i\),\(j\) - \(A\)кофактор числа

\[C_{ij}=(-1)^{i+j}A_{i,j}.\nonumber \]

Зверніть увагу, що це визначення посилається на прийняття детермінанта матриці, хоча ми ще не визначили, що детермінант виходить за межі\(2\times 2\) матриць. Ми визнаємо цю проблему і побачимо, як далеко ми можемо піти, перш ніж вона стане проблемою.

Приклади допоможуть.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{0}&{8}\\{-3}&{5}&{7}&{2}\\{-1}&{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}\right].\nonumber \]

Знайти\(A_{1,3}\),\(A_{3,2}\),\(B_{2,1}\),\(B_{4,3}\) і їх відповідні кофактори.

Рішення

Щоб обчислити мінор\(A_{1,3}\), видаляємо перший рядок і третій стовпець,\(A\) потім беремо детермінант.

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{\cancel{1}}&{\cancel{2}}&{\cancel{3}}\\{4}&{5}&{\cancel{6}}\\{7}&{8}&{\cancel{9}}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}{4}&{5}\\{7}&{8}\end{array}\right]\nonumber \]

\[A_{1,3}=\left|\begin{array}{cc}{4}&{5}\\{7}&{8}\end{array}\right| =32-35=-3.\nonumber \]

Відповідним кофактором,\(C_{1,3}\), є\[C_{1,3} = (-1)^{1+3}A_{1,3} = (-1)^4(-3) = -3.\nonumber \]

Мінор\(A_{3,2}\) знаходять, видаливши третій ряд і другий стовпець,\(A\) потім беручи визначник.

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{1}&{\cancel{2}}&{3}\\{4}&{\cancel{5}}&{6}\\{\cancel{7}}&{\cancel{8}}&{\cancel{9}}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{4}&{6}\end{array}\right]\nonumber \]

\[A_{3,2}=\left|\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{4}&{6}\end{array}\right| =6-12=-6.\nonumber \]

Відповідним кофактором,\(C_{3,2}\), є\[C_{3,2} = (-1)^{3+2}A_{3,2} = (-1)^5(-6) = 6.\nonumber \]

Мінор\(B_{2,1}\) знаходять, видаливши другий рядок і перший стовпець,\(B\) потім беручи визначник.

\[B=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{0}&{8}\\{-3}&{5}&{7}&{2}\\{-1}&{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\Rightarrow B=\left[\begin{array}{cccc}{\cancel{1}}&{2}&{0}&{8}\\{\cancel{-3}}&{\cancel{5}}&{\cancel{7}}&{\cancel{2}}\\{\cancel{-1}}&{9}&{-4}&{6}\\{\cancel{1}}&{1}&{1}&{1}\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{2}&{0}&{8}\\{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\nonumber \]

\[B_{2,1}=\left|\begin{array}{ccc}{2}&{0}&{8}\\{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right| \stackrel{!}{=}?\nonumber \]

Ми трохи застрягли. Ми не знаємо, як знайти детермінант цієї\(3\times 3\) матриці. Ми повернемося до цього пізніше. Відповідний кофактор - це\[C_{2,1} = (-1)^{2+1}B_{2,1} = -B_{2,1},\nonumber \] те, що це число трапляється.

Мінор\(B_{4,3}\) знаходять, видаливши четвертий ряд і третій стовпець,\(B\) потім беручи визначник.

\[B=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{0}&{8}\\{-3}&{5}&{7}&{2}\\{-1}&{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\Rightarrow B=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{\cancel{0}}&{8}\\{-3}&{5}&{\cancel{7}}&{2}\\{-1}&{9}&{\cancel{-4}}&{6}\\{\cancel{1}}&{\cancel{1}}&{\cancel{1}}&{\cancel{1}}\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{8}\\{-3}&{5}&{2}\\{-1}&{9}&{6}\end{array}\right]\nonumber \]

\[B_{4,3}=\left|\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{8}\\{-3}&{5}&{2}\\{-1}&{9}&{6}\end{array}\right|\stackrel{!}{=}?\nonumber \]

Знову ми застрягли. Ми не зможемо повністю обчислити\(C_{4,3}\); все, що ми знаємо досі, це те, що

\[C_{4,3} = (-1)^{4+3}B_{4,3} = (-1)B_{4,3}.\nonumber \]

Як тільки ми дізнаємося, як обчислювати детермінанти для матриць більше, ніж\(2\times 2\) ми можемо повернутися і закінчити цю вправу.

У нашому попередньому прикладі ми зіткнулися з невеликою неприємністю. За нашим визначенням, для того, щоб обчислити мінор\(n\times n\) матриці, нам потрібно було обчислити детермінант\((n-1)\times(n-1)\) матриці. Це було добре, коли ми почали з\(3\times3\) матриці, але коли ми піднялися до\(4\times4\) матриці (і більше) ми зіткнулися з неприємностями.

Ми майже готові визначити детермінант для будь-якої квадратної матриці; нам потрібно одне останнє визначення.

Визначення: Розширення кофактора

\(A\)Дозволяти бути\(n\times n\) матрицею.

Кофакторне розширення\(A\) по\(i^{\text{th}}\) ряду - це сума

\[a_{i,1}C_{i,1} + a_{i,2}C_{i,2} +\cdots + a_{i,n}C_{i,n}.\nonumber \]

Кофакторне розширення\(A\) по\(j^{\text{th}}\) ряду - це сума

\[a_{1,j}C_{1,j} + a_{2,j}C_{2,j} +\cdots + a_{n,j}C_{n,j} .\nonumber \]

Позначення цього визначення може бути трохи страхітливим, тому давайте розглянемо приклад.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right].\nonumber \]

Знайдіть розширення кофактора уздовж другого рядка і вниз по першому стовпчику.

Рішення

За визначенням, кофакторне розширення по другому ряду - це сума\[a_{2,1}C_{2,1} + a_{2,2}C_{2,2} + a_{2,3}C_{2,3}.\nonumber \] (Обов'язково порівняйте наведену вище рядок з визначенням кофакторного розширення, і подивіться, як «\(i\)» у визначенні замінюється на «2» тут.)

Ми знайдемо кожен кофактор, а потім обчислимо суму.

\[C_{2,1}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc}{2}&{3}\\{8}&{9}\end{array}\right| =(-1)(-6)=6\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the second row and}} \\{\text{first column of }A\text{ to compute the}} \\ {\text{minor}}\end{array}\right)\nonumber \]

\[C_{2,2}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{7}&{9}\end{array}\right| =(1)(-12)=-12\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the second row and}} \\{\text{second column of }A\text{ to compute}} \\ {\text{the minor}}\end{array}\right)\nonumber \]

\[C_{2,3}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{7}&{8}\end{array}\right| =(-1)(-6)=6\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the second row and}} \\{\text{third column of }A\text{ to compute}} \\ {\text{the minor}}\end{array}\right)\nonumber \]

Таким чином, розширення кофактора уздовж другого ряду становить

\[\begin{align*}\begin{aligned} a_{2,1}C_{2,1} + a_{2,2}C_{2,2} + a_{2,3}C_{2,3} &= 4(6) + 5(-12) + 6(6) \\ &= 24-60+36\\ &= 0\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

На даний момент ми не знаємо, що робити з цим розширенням кофактора; ми щойно успішно його знайшли.

Переходимо до пошуку кофакторного розширення вниз по першій колонці. За визначенням ця сума

\[a_{1,1}C_{1,1} + a_{2,1}C_{2,1} + a_{3,1}C_{3,1}.\nonumber \]

(Знову ж таки, порівняйте це з вищевказаним визначенням і подивіться, як ми замінили «\(j\)» на «1.»)

Знаходимо кожен кофактор:

\[C_{1,1}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}{5}&{6}\\{8}&{9}\end{array}\right| =(1)(-3)=-3\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the first row and first}} \\{\text{column of }A\text{ to compute the minor}} \end{array}\right)\nonumber \]

\[C_{2,1}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc}{2}&{3}\\{8}&{9}\end{array}\right| =(-1)(-6)=6\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we computed this cofactor above}} \end{array}\right)\nonumber \]

\[C_{3,1}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{cc}{2}&{3}\\{5}&{6}\end{array}\right| =(1)(-3)=-3\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the third row and first}} \\{\text{column of }A\text{ to compute the minor}} \end{array}\right)\nonumber \]

Розширення кофактора вниз по першій колонці

\[\begin{align*}\begin{aligned} a_{1,1}C_{1,1} + a_{2,1}C_{2,1} + a_{3,1}C_{3,1} &= 1(-3) + 4(6) + 7(-3) \\ &= -3+24-21\\ &=0\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Це збіг, що обидва розширення кофактора були 0? Ми відповімо на це через деякий час.

Цей розділ називається «Детермінант», але ми ще не знаємо, як його обчислити, крім\(2\times 2\) матриць. Ми нарешті визначимо його зараз.

Визначення: Детермінант

Визначник\(n\times n\) матриці\(A\), що позначається\(\text{det}(A)\) або\(|A|\), - це число, яке задається наступним:

• якщо\(A\)\(1\times 1\) матриця\(A=[a]\), то\(\text{det}(A)=a\).
• якщо\(A\) є\(2\times 2\) матрицею,
  \[A=\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right],\nonumber \]
  то\(\text{det}(A)=ad-bc\).
• \(A\)if -\(n\times n\) матриця, де\(n\geq 2\),\(\text{det}(A)\) то число, знайдене шляхом прийняття кофакторного розширення уздовж першого ряду\(A\). Тобто,
  \[\text{det}(A)=a_{1,1}C_{1,1}+a_{1,2}C_{1,2}+\cdots +a_{1,n}C_{1,n}.\nonumber \]

Зверніть увагу, що для того, щоб обчислити детермінант\(n\times n\) матриці, нам потрібно обчислити детермінанти\(n\)\((n-1)\times (n-1)\) матриць. Це може бути багато роботи. Пізніше ми дізнаємося, як скоротити деякі з цього. Для початку давайте потренуємося.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть детермінант

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right].\nonumber \]

Рішення

Зверніть увагу, що це матриця з Приклад\(\PageIndex{3}\). Розширення кофактора вздовж першого рядка\[\text{det}(A) = a_{1,1}C_{1,1}+a_{1,2}C_{1,2}+a_{1,3}C_{1,3}.\nonumber \] ми обчислимо кожен кофактор спочатку, а потім візьмемо відповідну суму.

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,1}&=(-1)^{1+1}A_{1,1} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{cc}{5}&{6}\\{8}&{9}\end{array}\right| \\ &=45-48 \\ &=-3\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,2}&=(-1)^{1+2}A_{1,2} \\ &=(-1)\cdot\left|\begin{array}{cc}{4}&{6}\\{7}&{9}\end{array}\right| \\ &=(-1)(36-42) \\ &=6\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,3}&=(-1)^{1+3}A_{1,3} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{cc}{4}&{5}\\{7}&{8}\end{array}\right| \\ &=32-35 \\ &=-3\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Тому детермінант\(a\) є\[\text{det}(A) = 1(-3) + 2(6)+3(-3) = 0.\nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть детермінант

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{6}&{7}\\{0}&{2}&{-1}\\{3}&{-1}&{1}\end{array}\right].\nonumber \]

Рішення

Спочатку ми обчислимо кожен кофактор, а потім знайдемо детермінант.

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,1}&=(-1)^{1+1}A_{1,1} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{cc}{2}&{-1}\\{-1}&{1}\end{array}\right| \\ &=2-1 \\ &=1\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,2}&=(-1)^{1+2}A_{1,2} \\ &=(-1)\cdot\left|\begin{array}{cc}{0}&{-1}\\{3}&{1}\end{array}\right| \\ &=(-1)(0+3) \\ &=-3\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,3}&=(-1)^{1+3}A_{1,3} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{cc}{0}&{2}\\{3}&{-1}\end{array}\right| \\ &=0-6 \\ &=-6\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Таким чином, детермінантом є\[\text{det}(A) = 3(1)+6(-3)+7(-6) = -57.\nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Знайдіть детермінант

\[A=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{1}&{2}\\{-1}&{2}&{3}&{4}\\{8}&{5}&{-3}&{1}\\{5}&{9}&{-6}&{3}\end{array}\right].\nonumber \]

Рішення

Це, відверто кажучи, займе зовсім небагато роботи. Для того щоб обчислити цей детермінант, нам потрібно обчислити 4 неповнолітніх, кожен з яких вимагає знаходження детермінанта\(3\times 3\) матриці! Скарга не наблизить нас до рішення, \(^{3}\)тому давайте почнемо. Спочатку обчислюємо кофактори:

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,1}&=(-1)^{1+1}A_{1,1} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{5}&{-3}&{1}\\{9}&{-6}&{3}\end{array}\right|\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we must compute the determinant}} \\ {\text{of this }3\times 3\text{ matrix}}\end{array}\right) \\ &=2\cdot (-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}{-3}&{1}\\{-6}&{3}\end{array}\right| +3\cdot (-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{9}&{3}\end{array}\right| +4\cdot (-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}{5}&{-3}\\{9}&{-6}\end{array}\right| \\ &=2(-3)+3(-6)+4(-3) \\ &=-36\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,2}&=(-1)^{1+2}A_{1,2} \\ &=(-1)\cdot\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{3}&{4}\\{8}&{-3}&{1}\\{5}&{-6}&{3}\end{array}\right|\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we must compute the determinant}} \\ {\text{of this }3\times 3\text{ matrix}}\end{array}\right) \\ &\underset{\text{the determinant of the }3\times 3\text{ matrix}}{=(-1)\underbrace{\left[ (-1)\cdot (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{cc}{-3}&{1}\\{-6}&{3}\end{array}\right| +3\cdot (-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}{8}&{1}\\{5}&{3}\end{array}\right| +4\cdot (-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}{8}&{-3}\\{5}&{-6}\end{array}\right|\right]}} \\ &= (−1) [(−1)(−3) + 3(−19) + 4(−33)] \\ &=186\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,3}&=(-1)^{1+3}A_{1,3} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{4}\\{8}&{5}&{1}\\{5}&{9}&{3}\end{array}\right|\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we must compute the determinant}} \\ {\text{of this }3\times 3\text{ matrix}}\end{array}\right) \\ &=(-1)\cdot (-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{9}&{3}\end{array}\right| +2\cdot (-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}{8}&{1}\\{5}&{3}\end{array}\right| +4\cdot (-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}{8}&{5}\\{5}&{9}\end{array}\right| \\ &=(-1)(6)+2(-19)+4(47) \\ &=144\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,4}&=(-1)^{1+4}A_{1,4} \\ &=(-1)\cdot\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{3}\\{8}&{5}&{-3}\\{5}&{9}&{-6}\end{array}\right|\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we must compute the determinant}} \\ {\text{of this }3\times 3\text{ matrix}}\end{array}\right) \\ &\underset{\text{the determinant of the }3\times 3\text{ matrix}}{=(-1)\underbrace{\left[ (-1)\cdot (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{cc}{5}&{-3}\\{9}&{-6}\end{array}\right| +2\cdot (-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}{8}&{-3}\\{5}&{-6}\end{array}\right| +3\cdot (-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}{8}&{5}\\{5}&{9}\end{array}\right|\right]}} \\ &= (−1) [(−1)(−3) + 2(33) + 3(47)] \\ &=-210\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Ми обчислили наші чотири кофактори. Залишилося лише обчислити розширення кофактора.

\[\text{det}(A) = 1(-36) + 2(186)+1(144)+2(-210) = 60.\nonumber \]

Як спосіб «візуалізації» цього, давайте випишемо розширення кофактора ще раз, але включивши матриці на їх місце.

\[\begin{align*}\begin{aligned} \text{det}(A)&=a_{1,1}C_{1,1} + a_{1,2}C_{1,2} + a_{1,3}C_{1,3} + a_{1,4}C_{1,4} \\ &=1(-1)^{2}\underset{=-36}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{5}&{-3}&{1}\\{9}&{-6}&{3}\end{array}\right|}} +2(-1)^{3}\underset{=-186}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{3}&{4}\\{8}&{-3}&{1}\\{5}&{-6}&{3}\end{array}\right|}} \\ &+ 1(-1)^{4}\underset{=144}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{4}\\{8}&{5}&{1}\\{5}&{9}&{3}\end{array}\right|}} +2(-1)^{5}\underset{=210}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{3}\\{8}&{5}&{-3}\\{5}&{9}&{-6}\end{array}\right|}} \\ &=60\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Це, звичайно, зайняло деякий час; це вимагало більше 50 множень (ми не рахували доповнень). Щоб обчислити детермінант\(5\times5\) матриці, нам потрібно буде обчислити детермінанти п'яти\(4\times 4\) матриць, а це означає, що нам знадобиться більше 250 множень! Мало того, що це багато роботи, але є просто занадто багато способів зробити дурні помилки. \(^{4}\)Є кілька хитрощів, щоб полегшити цю роботу, але незалежно від того, ми бачимо необхідність використовувати технології. Вже тоді технологія швидко заболочується. \(25 \times 25\)Матриця вважається «маленькою» за сьогоднішніми мірками, \(^{5}\)але комп'ютеру по суті неможливо обчислити її детермінант лише за допомогою кофакторного розширення; йому теж потрібно використовувати «хитрощі».

У наступному розділі ми дізнаємося деякі з цих хитрощів, коли дізнаємося деякі властивості детермінанта. Прямо зараз давайте розглянемо основи того, що ми дізналися.

1. Визначник квадратної матриці - це число, яке визначається матрицею.
2. Знаходимо детермінант шляхом обчислення кофакторного розширення уздовж першого ряду.
3. Щоб обчислити детермінант\(n\times n\) матриці, нам потрібно обчислити\(n\) детермінанти\((n-1)\times(n-1)\) матриць.

Виноски

[1] Це схоже на навчання їздити на велосипеді. Їзда сама по собі не важко, це починається, що 's важко.

[2] Це стандартне визначення цих двох термінів, хоча існують незначні варіації.

[3] Але це може змусити нас почуватись трохи краще. Погляд вперед: чи бачите, скільки роботи нам належить зробити?!?

[4] Автор зробив три, коли наведений вище приклад був спочатку набраний.

[5] Для математиків, вчених та інженерів прийнято розглядати лінійні системи з тисячами рівнянь та змінних.