Processing math: 94%
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.3: Детермінант

Цілі навчання
  • T/F: Детермінант матриці завжди позитивний.
  • T/F: Щоб обчислити детермінант3×3 матриці, потрібно обчислити детермінанти32×2 матриць.
  • Наведіть приклад2×2 матриці з детермінантою3.

У цій главі досі ми дізналися про транспонування (операцію над матрицею, яка повертає іншу матрицю) та трасування (операція над квадратною матрицею, яка повертає число). У цьому розділі ми дізнаємося ще одну операцію над квадратними матрицями, яка повертає число, яке називається детермінантою. Наведемо псевдовизначення детермінанти тут.

Визначення: Детермінант

Детермінантn×n матриціA - це число, що позначаєтьсяdet(A), тобто визначаєтьсяA.

Це визначення не призначене для пояснення всього; воно просто змушує нас зрозуміти, що детермінант - це число. Детермінант - це свого роду складна річ для визначення. Після того, як ви це знаєте і зрозумієте, це не так складно, але почати роботу трохи складно. 1Починаємо просто; визначаємо детермінант для2×2 матриць.

Визначення: Детермінант2×2 Matrices

Нехай

A=[abcd].

ДетермінантA, що позначається

det(A) or |abcd|,

єadbc.

Ми бачили виразadbc раніше. У розділі 2.6 ми побачили, що2×2 матрицяA має зворотну

1adbc[dbca]

до тих пір, покиadbc0; в іншому випадку зворотного не існує. Ми можемо перефразувати вищевказане твердження зараз: Якщоdet(A)0, то

A1=1det(A)[dbca].

Коротке слово про позначення: зверніть увагу, що ми можемо посилатися на детермінант, використовуючи те, що виглядає як абсолютні бари значень навколо записів матриці. Ми обговорювали в кінці останнього розділу ідею вимірювання «розміру» матриці, і згадали, що існує безліч різних способів вимірювання розміру. Детермінант - один з таких способів. Подібно до того, як абсолютне значення числа вимірює його розмір (і ігнорує його знак), визначником матриці є вимірювання розміру матриці. (Будьте обережні, хоча:det(A) може бути негативним!)

Давайте потренуємося.

Приклад3.3.1

Знайти детермінантA,B іC де

A=[1234],B=[3127]andC=[1326].

Рішення

Знаходження детермінантаA:

det(A)=|1234|=1(4)2(3)=2.

Подібні обчислення показують, щоdet(B)=3(7)(1)(2)=23 іdet(C)=1(6)(3)(2)=0.

Знайти детермінант2×2 матриці досить просто. Природно запитати далі: «Як ми обчислюємо детермінант матриць, які не є2×2?» Для початку потрібно визначитися з деякими термінами. 2

Визначення: Матриця Мінор, Кофактор

AДозволяти бутиn×n матрицею. Thei,j minor ofA, позначаєтьсяAi,j, є визначником(n1)×(n1) матриці, утвореної шляхом видаленняith рядка іjth стовпцяA.

Thei,j - Aкофактор числа

Cij=(1)i+jAi,j.

Зверніть увагу, що це визначення посилається на прийняття детермінанта матриці, хоча ми ще не визначили, що детермінант виходить за межі2×2 матриць. Ми визнаємо цю проблему і побачимо, як далеко ми можемо піти, перш ніж вона стане проблемою.

Приклади допоможуть.

Приклад3.3.2

Нехай

A=[123456789]andB=[1208357219461111].

ЗнайтиA1,3,A3,2,B2,1,B4,3 і їх відповідні кофактори.

Рішення

Щоб обчислити мінорA1,3, видаляємо перший рядок і третій стовпець,A потім беремо детермінант.

A=[123456789][123456789][4578]

A1,3=|4578|=3235=3.

Відповідним кофактором,C1,3, єC1,3=(1)1+3A1,3=(1)4(3)=3.

МінорA3,2 знаходять, видаливши третій ряд і другий стовпець,A потім беручи визначник.

A=[123456789][123456789][1346]

A3,2=|1346|=612=6.

Відповідним кофактором,C3,2, єC3,2=(1)3+2A3,2=(1)5(6)=6.

МінорB2,1 знаходять, видаливши другий рядок і перший стовпець,B потім беручи визначник.

B=[1208357219461111]B=[1208357219461111][208946111]

B2,1=|208946111|!=?

Ми трохи застрягли. Ми не знаємо, як знайти детермінант цієї3×3 матриці. Ми повернемося до цього пізніше. Відповідний кофактор - цеC2,1=(1)2+1B2,1=B2,1, те, що це число трапляється.

МінорB4,3 знаходять, видаливши четвертий ряд і третій стовпець,B потім беручи визначник.

B=[1208357219461111]B=[1208357219461111][128352196]

B4,3=|128352196|!=?

Знову ми застрягли. Ми не зможемо повністю обчислитиC4,3; все, що ми знаємо досі, це те, що

C4,3=(1)4+3B4,3=(1)B4,3.

Як тільки ми дізнаємося, як обчислювати детермінанти для матриць більше, ніж2×2 ми можемо повернутися і закінчити цю вправу.

У нашому попередньому прикладі ми зіткнулися з невеликою неприємністю. За нашим визначенням, для того, щоб обчислити мінорn×n матриці, нам потрібно було обчислити детермінант(n1)×(n1) матриці. Це було добре, коли ми почали з3×3 матриці, але коли ми піднялися до4×4 матриці (і більше) ми зіткнулися з неприємностями.

Ми майже готові визначити детермінант для будь-якої квадратної матриці; нам потрібно одне останнє визначення.

Визначення: Розширення кофактора

AДозволяти бутиn×n матрицею.

Кофакторне розширенняA поith ряду - це сума

ai,1Ci,1+ai,2Ci,2++ai,nCi,n.

Кофакторне розширенняA поjth ряду - це сума

a1,jC1,j+a2,jC2,j++an,jCn,j.

Позначення цього визначення може бути трохи страхітливим, тому давайте розглянемо приклад.

Приклад3.3.3

Нехай

A=[123456789].

Знайдіть розширення кофактора уздовж другого рядка і вниз по першому стовпчику.

Рішення

За визначенням, кофакторне розширення по другому ряду - це сумаa2,1C2,1+a2,2C2,2+a2,3C2,3. (Обов'язково порівняйте наведену вище рядок з визначенням кофакторного розширення, і подивіться, як «i» у визначенні замінюється на «2» тут.)

Ми знайдемо кожен кофактор, а потім обчислимо суму.

C2,1=(1)2+1|2389|=(1)(6)=6(we removed the second row andfirst column of A to compute theminor)

C2,2=(1)2+2|1379|=(1)(12)=12(we removed the second row andsecond column of A to computethe minor)

C2,3=(1)2+3|1278|=(1)(6)=6(we removed the second row andthird column of A to computethe minor)

Таким чином, розширення кофактора уздовж другого ряду становить

a2,1C2,1+a2,2C2,2+a2,3C2,3=4(6)+5(12)+6(6)=2460+36=0

На даний момент ми не знаємо, що робити з цим розширенням кофактора; ми щойно успішно його знайшли.

Переходимо до пошуку кофакторного розширення вниз по першій колонці. За визначенням ця сума

a1,1C1,1+a2,1C2,1+a3,1C3,1.

(Знову ж таки, порівняйте це з вищевказаним визначенням і подивіться, як ми замінили «j» на «1.»)

Знаходимо кожен кофактор:

C1,1=(1)1+1|5689|=(1)(3)=3(we removed the first row and firstcolumn of A to compute the minor)

C2,1=(1)2+1|2389|=(1)(6)=6(we computed this cofactor above)

C3,1=(1)3+1|2356|=(1)(3)=3(we removed the third row and firstcolumn of A to compute the minor)

Розширення кофактора вниз по першій колонці

a1,1C1,1+a2,1C2,1+a3,1C3,1=1(3)+4(6)+7(3)=3+2421=0

Це збіг, що обидва розширення кофактора були 0? Ми відповімо на це через деякий час.

Цей розділ називається «Детермінант», але ми ще не знаємо, як його обчислити, крім2×2 матриць. Ми нарешті визначимо його зараз.

Визначення: Детермінант

Визначникn×n матриціA, що позначаєтьсяdet(A) або|A|, - це число, яке задається наступним:

  • якщоA1×1 матрицяA=[a], тоdet(A)=a.
  • якщоA є2×2 матрицею,
    A=[abcd],
    тоdet(A)=adbc.
  • Aif -n×n матриця, деn2,det(A) то число, знайдене шляхом прийняття кофакторного розширення уздовж першого рядуA. Тобто,
    det(A)=a1,1C1,1+a1,2C1,2++a1,nC1,n.

Зверніть увагу, що для того, щоб обчислити детермінантn×n матриці, нам потрібно обчислити детермінантиn(n1)×(n1) матриць. Це може бути багато роботи. Пізніше ми дізнаємося, як скоротити деякі з цього. Для початку давайте потренуємося.

Приклад3.3.4

Знайдіть детермінант

A=[123456789].

Рішення

Зверніть увагу, що це матриця з Приклад3.3.3. Розширення кофактора вздовж першого рядкаdet(A)=a1,1C1,1+a1,2C1,2+a1,3C1,3. ми обчислимо кожен кофактор спочатку, а потім візьмемо відповідну суму.

C1,1=(1)1+1A1,1=1|5689|=4548=3

C1,2=(1)1+2A1,2=(1)|4679|=(1)(3642)=6

C1,3=(1)1+3A1,3=1|4578|=3235=3

Тому детермінантa єdet(A)=1(3)+2(6)+3(3)=0.

Приклад3.3.5

Знайдіть детермінант

A=[367021311].

Рішення

Спочатку ми обчислимо кожен кофактор, а потім знайдемо детермінант.

C1,1=(1)1+1A1,1=1|2111|=21=1

C1,2=(1)1+2A1,2=(1)|0131|=(1)(0+3)=3

C1,3=(1)1+3A1,3=1|0231|=06=6

Таким чином, детермінантом єdet(A)=3(1)+6(3)+7(6)=57.

Приклад3.3.6

Знайдіть детермінант

A=[1212123485315963].

Рішення

Це, відверто кажучи, займе зовсім небагато роботи. Для того щоб обчислити цей детермінант, нам потрібно обчислити 4 неповнолітніх, кожен з яких вимагає знаходження детермінанта3×3 матриці! Скарга не наблизить нас до рішення, 3тому давайте почнемо. Спочатку обчислюємо кофактори:

C1,1=(1)1+1A1,1=1|234531963|(we must compute the determinantof this 3×3 matrix)=2(1)1+1|3163|+3(1)1+2|5193|+4(1)1+3|5396|=2(3)+3(6)+4(3)=36

C1,2=(1)1+2A1,2=(1)|134831563|(we must compute the determinantof this 3×3 matrix)=(1)[(1)(1)1+1|3163|+3(1)1+2|8153|+4(1)1+3|8356|]the determinant of the 3×3 matrix=(1)[(1)(3)+3(19)+4(33)]=186

C1,3=(1)1+3A1,3=1|124851593|(we must compute the determinantof this 3×3 matrix)=(1)(1)1+1|5193|+2(1)1+2|8153|+4(1)1+3|8559|=(1)(6)+2(19)+4(47)=144

C1,4=(1)1+4A1,4=(1)|123853596|(we must compute the determinantof this 3×3 matrix)=(1)[(1)(1)1+1|5396|+2(1)1+2|8356|+3(1)1+3|8559|]the determinant of the 3×3 matrix=(1)[(1)(3)+2(33)+3(47)]=210

Ми обчислили наші чотири кофактори. Залишилося лише обчислити розширення кофактора.

\text{det}(A) = 1(-36) + 2(186)+1(144)+2(-210) = 60.\nonumber

Як спосіб «візуалізації» цього, давайте випишемо розширення кофактора ще раз, але включивши матриці на їх місце.

\begin{align*}\begin{aligned} \text{det}(A)&=a_{1,1}C_{1,1} + a_{1,2}C_{1,2} + a_{1,3}C_{1,3} + a_{1,4}C_{1,4} \\ &=1(-1)^{2}\underset{=-36}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{5}&{-3}&{1}\\{9}&{-6}&{3}\end{array}\right|}} +2(-1)^{3}\underset{=-186}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{3}&{4}\\{8}&{-3}&{1}\\{5}&{-6}&{3}\end{array}\right|}} \\ &+ 1(-1)^{4}\underset{=144}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{4}\\{8}&{5}&{1}\\{5}&{9}&{3}\end{array}\right|}} +2(-1)^{5}\underset{=210}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{3}\\{8}&{5}&{-3}\\{5}&{9}&{-6}\end{array}\right|}} \\ &=60\end{aligned}\end{align*}\nonumber

Це, звичайно, зайняло деякий час; це вимагало більше 50 множень (ми не рахували доповнень). Щоб обчислити детермінант5\times5 матриці, нам потрібно буде обчислити детермінанти п'яти4\times 4 матриць, а це означає, що нам знадобиться більше 250 множень! Мало того, що це багато роботи, але є просто занадто багато способів зробити дурні помилки. ^{4}Є кілька хитрощів, щоб полегшити цю роботу, але незалежно від того, ми бачимо необхідність використовувати технології. Вже тоді технологія швидко заболочується. 25 \times 25Матриця вважається «маленькою» за сьогоднішніми мірками, ^{5}але комп'ютеру по суті неможливо обчислити її детермінант лише за допомогою кофакторного розширення; йому теж потрібно використовувати «хитрощі».

У наступному розділі ми дізнаємося деякі з цих хитрощів, коли дізнаємося деякі властивості детермінанта. Прямо зараз давайте розглянемо основи того, що ми дізналися.

  1. Визначник квадратної матриці - це число, яке визначається матрицею.
  2. Знаходимо детермінант шляхом обчислення кофакторного розширення уздовж першого ряду.
  3. Щоб обчислити детермінантn\times n матриці, нам потрібно обчислитиn детермінанти(n-1)\times(n-1) матриць.

Виноски

[1] Це схоже на навчання їздити на велосипеді. Їзда сама по собі не важко, це починається, що 's важко.

[2] Це стандартне визначення цих двох термінів, хоча існують незначні варіації.

[3] Але це може змусити нас почуватись трохи краще. Погляд вперед: чи бачите, скільки роботи нам належить зробити?!?

[4] Автор зробив три, коли наведений вище приклад був спочатку набраний.

[5] Для математиків, вчених та інженерів прийнято розглядати лінійні системи з тисячами рівнянь та змінних.

  • Was this article helpful?