3.3: Детермінант
- T/F: Детермінант матриці завжди позитивний.
- T/F: Щоб обчислити детермінант3×3 матриці, потрібно обчислити детермінанти32×2 матриць.
- Наведіть приклад2×2 матриці з детермінантою3.
У цій главі досі ми дізналися про транспонування (операцію над матрицею, яка повертає іншу матрицю) та трасування (операція над квадратною матрицею, яка повертає число). У цьому розділі ми дізнаємося ще одну операцію над квадратними матрицями, яка повертає число, яке називається детермінантою. Наведемо псевдовизначення детермінанти тут.
Детермінантn×n матриціA - це число, що позначаєтьсяdet(A), тобто визначаєтьсяA.
Це визначення не призначене для пояснення всього; воно просто змушує нас зрозуміти, що детермінант - це число. Детермінант - це свого роду складна річ для визначення. Після того, як ви це знаєте і зрозумієте, це не так складно, але почати роботу трохи складно. 1Починаємо просто; визначаємо детермінант для2×2 матриць.
Нехай
A=[abcd].
ДетермінантA, що позначається
det(A) or |abcd|,
єad−bc.
Ми бачили виразad−bc раніше. У розділі 2.6 ми побачили, що2×2 матрицяA має зворотну
1ad−bc[d−b−ca]
до тих пір, покиad−bc≠0; в іншому випадку зворотного не існує. Ми можемо перефразувати вищевказане твердження зараз: Якщоdet(A)≠0, то
A−1=1det(A)[d−b−ca].
Коротке слово про позначення: зверніть увагу, що ми можемо посилатися на детермінант, використовуючи те, що виглядає як абсолютні бари значень навколо записів матриці. Ми обговорювали в кінці останнього розділу ідею вимірювання «розміру» матриці, і згадали, що існує безліч різних способів вимірювання розміру. Детермінант - один з таких способів. Подібно до того, як абсолютне значення числа вимірює його розмір (і ігнорує його знак), визначником матриці є вимірювання розміру матриці. (Будьте обережні, хоча:det(A) може бути негативним!)
Давайте потренуємося.
Знайти детермінантA,B іC де
A=[1234],B=[3−127]andC=[1−3−26].
Рішення
Знаходження детермінантаA:
det(A)=|1234|=1(4)−2(3)=−2.
Подібні обчислення показують, щоdet(B)=3(7)−(−1)(2)=23 іdet(C)=1(6)−(−3)(−2)=0.
Знайти детермінант2×2 матриці досить просто. Природно запитати далі: «Як ми обчислюємо детермінант матриць, які не є2×2?» Для початку потрібно визначитися з деякими термінами. 2
AДозволяти бутиn×n матрицею. Thei,j minor ofA, позначаєтьсяAi,j, є визначником(n−1)×(n−1) матриці, утвореної шляхом видаленняith рядка іjth стовпцяA.
Thei,j - Aкофактор числа
Cij=(−1)i+jAi,j.
Зверніть увагу, що це визначення посилається на прийняття детермінанта матриці, хоча ми ще не визначили, що детермінант виходить за межі2×2 матриць. Ми визнаємо цю проблему і побачимо, як далеко ми можемо піти, перш ніж вона стане проблемою.
Приклади допоможуть.
Нехай
A=[123456789]andB=[1208−3572−19−461111].
ЗнайтиA1,3,A3,2,B2,1,B4,3 і їх відповідні кофактори.
Рішення
Щоб обчислити мінорA1,3, видаляємо перший рядок і третій стовпець,A потім беремо детермінант.
A=[123456789]⇒[123456789]⇒[4578]
A1,3=|4578|=32−35=−3.
Відповідним кофактором,C1,3, єC1,3=(−1)1+3A1,3=(−1)4(−3)=−3.
МінорA3,2 знаходять, видаливши третій ряд і другий стовпець,A потім беручи визначник.
A=[123456789]⇒[123456789]⇒[1346]
A3,2=|1346|=6−12=−6.
Відповідним кофактором,C3,2, єC3,2=(−1)3+2A3,2=(−1)5(−6)=6.
МінорB2,1 знаходять, видаливши другий рядок і перший стовпець,B потім беручи визначник.
B=[1208−3572−19−461111]⇒B=[1208−3572−19−461111]⇒[2089−46111]
B2,1=|2089−46111|!=?
Ми трохи застрягли. Ми не знаємо, як знайти детермінант цієї3×3 матриці. Ми повернемося до цього пізніше. Відповідний кофактор - цеC2,1=(−1)2+1B2,1=−B2,1, те, що це число трапляється.
МінорB4,3 знаходять, видаливши четвертий ряд і третій стовпець,B потім беручи визначник.
B=[1208−3572−19−461111]⇒B=[1208−3572−19−461111]⇒[128−352−196]
B4,3=|128−352−196|!=?
Знову ми застрягли. Ми не зможемо повністю обчислитиC4,3; все, що ми знаємо досі, це те, що
C4,3=(−1)4+3B4,3=(−1)B4,3.
Як тільки ми дізнаємося, як обчислювати детермінанти для матриць більше, ніж2×2 ми можемо повернутися і закінчити цю вправу.
У нашому попередньому прикладі ми зіткнулися з невеликою неприємністю. За нашим визначенням, для того, щоб обчислити мінорn×n матриці, нам потрібно було обчислити детермінант(n−1)×(n−1) матриці. Це було добре, коли ми почали з3×3 матриці, але коли ми піднялися до4×4 матриці (і більше) ми зіткнулися з неприємностями.
Ми майже готові визначити детермінант для будь-якої квадратної матриці; нам потрібно одне останнє визначення.
AДозволяти бутиn×n матрицею.
Кофакторне розширенняA поith ряду - це сума
ai,1Ci,1+ai,2Ci,2+⋯+ai,nCi,n.
Кофакторне розширенняA поjth ряду - це сума
a1,jC1,j+a2,jC2,j+⋯+an,jCn,j.
Позначення цього визначення може бути трохи страхітливим, тому давайте розглянемо приклад.
Нехай
A=[123456789].
Знайдіть розширення кофактора уздовж другого рядка і вниз по першому стовпчику.
Рішення
За визначенням, кофакторне розширення по другому ряду - це сумаa2,1C2,1+a2,2C2,2+a2,3C2,3. (Обов'язково порівняйте наведену вище рядок з визначенням кофакторного розширення, і подивіться, як «i» у визначенні замінюється на «2» тут.)
Ми знайдемо кожен кофактор, а потім обчислимо суму.
C2,1=(−1)2+1|2389|=(−1)(−6)=6(we removed the second row andfirst column of A to compute theminor)
C2,2=(−1)2+2|1379|=(1)(−12)=−12(we removed the second row andsecond column of A to computethe minor)
C2,3=(−1)2+3|1278|=(−1)(−6)=6(we removed the second row andthird column of A to computethe minor)
Таким чином, розширення кофактора уздовж другого ряду становить
a2,1C2,1+a2,2C2,2+a2,3C2,3=4(6)+5(−12)+6(6)=24−60+36=0
На даний момент ми не знаємо, що робити з цим розширенням кофактора; ми щойно успішно його знайшли.
Переходимо до пошуку кофакторного розширення вниз по першій колонці. За визначенням ця сума
a1,1C1,1+a2,1C2,1+a3,1C3,1.
(Знову ж таки, порівняйте це з вищевказаним визначенням і подивіться, як ми замінили «j» на «1.»)
Знаходимо кожен кофактор:
C1,1=(−1)1+1|5689|=(1)(−3)=−3(we removed the first row and firstcolumn of A to compute the minor)
C2,1=(−1)2+1|2389|=(−1)(−6)=6(we computed this cofactor above)
C3,1=(−1)3+1|2356|=(1)(−3)=−3(we removed the third row and firstcolumn of A to compute the minor)
Розширення кофактора вниз по першій колонці
a1,1C1,1+a2,1C2,1+a3,1C3,1=1(−3)+4(6)+7(−3)=−3+24−21=0
Це збіг, що обидва розширення кофактора були 0? Ми відповімо на це через деякий час.
Цей розділ називається «Детермінант», але ми ще не знаємо, як його обчислити, крім2×2 матриць. Ми нарешті визначимо його зараз.
Визначникn×n матриціA, що позначаєтьсяdet(A) або|A|, - це число, яке задається наступним:
- якщоA1×1 матрицяA=[a], тоdet(A)=a.
- якщоA є2×2 матрицею,
A=[abcd],
тоdet(A)=ad−bc. - Aif -n×n матриця, деn≥2,det(A) то число, знайдене шляхом прийняття кофакторного розширення уздовж першого рядуA. Тобто,
det(A)=a1,1C1,1+a1,2C1,2+⋯+a1,nC1,n.
Зверніть увагу, що для того, щоб обчислити детермінантn×n матриці, нам потрібно обчислити детермінантиn(n−1)×(n−1) матриць. Це може бути багато роботи. Пізніше ми дізнаємося, як скоротити деякі з цього. Для початку давайте потренуємося.
Знайдіть детермінант
A=[123456789].
Рішення
Зверніть увагу, що це матриця з Приклад3.3.3. Розширення кофактора вздовж першого рядкаdet(A)=a1,1C1,1+a1,2C1,2+a1,3C1,3. ми обчислимо кожен кофактор спочатку, а потім візьмемо відповідну суму.
C1,1=(−1)1+1A1,1=1⋅|5689|=45−48=−3
C1,2=(−1)1+2A1,2=(−1)⋅|4679|=(−1)(36−42)=6
C1,3=(−1)1+3A1,3=1⋅|4578|=32−35=−3
Тому детермінантa єdet(A)=1(−3)+2(6)+3(−3)=0.
Знайдіть детермінант
A=[36702−13−11].
Рішення
Спочатку ми обчислимо кожен кофактор, а потім знайдемо детермінант.
C1,1=(−1)1+1A1,1=1⋅|2−1−11|=2−1=1
C1,2=(−1)1+2A1,2=(−1)⋅|0−131|=(−1)(0+3)=−3
C1,3=(−1)1+3A1,3=1⋅|023−1|=0−6=−6
Таким чином, детермінантом єdet(A)=3(1)+6(−3)+7(−6)=−57.
Знайдіть детермінант
A=[1212−123485−3159−63].
Рішення
Це, відверто кажучи, займе зовсім небагато роботи. Для того щоб обчислити цей детермінант, нам потрібно обчислити 4 неповнолітніх, кожен з яких вимагає знаходження детермінанта3×3 матриці! Скарга не наблизить нас до рішення, 3тому давайте почнемо. Спочатку обчислюємо кофактори:
C1,1=(−1)1+1A1,1=1⋅|2345−319−63|(we must compute the determinantof this 3×3 matrix)=2⋅(−1)1+1|−31−63|+3⋅(−1)1+2|5193|+4⋅(−1)1+3|5−39−6|=2(−3)+3(−6)+4(−3)=−36
C1,2=(−1)1+2A1,2=(−1)⋅|−1348−315−63|(we must compute the determinantof this 3×3 matrix)=(−1)[(−1)⋅(−1)1+1|−31−63|+3⋅(−1)1+2|8153|+4⋅(−1)1+3|8−35−6|]⏟the determinant of the 3×3 matrix=(−1)[(−1)(−3)+3(−19)+4(−33)]=186
C1,3=(−1)1+3A1,3=1⋅|−124851593|(we must compute the determinantof this 3×3 matrix)=(−1)⋅(−1)1+1|5193|+2⋅(−1)1+2|8153|+4⋅(−1)1+3|8559|=(−1)(6)+2(−19)+4(47)=144
C1,4=(−1)1+4A1,4=(−1)⋅|−12385−359−6|(we must compute the determinantof this 3×3 matrix)=(−1)[(−1)⋅(−1)1+1|5−39−6|+2⋅(−1)1+2|8−35−6|+3⋅(−1)1+3|8559|]⏟the determinant of the 3×3 matrix=(−1)[(−1)(−3)+2(33)+3(47)]=−210
Ми обчислили наші чотири кофактори. Залишилося лише обчислити розширення кофактора.
\text{det}(A) = 1(-36) + 2(186)+1(144)+2(-210) = 60.\nonumber
Як спосіб «візуалізації» цього, давайте випишемо розширення кофактора ще раз, але включивши матриці на їх місце.
\begin{align*}\begin{aligned} \text{det}(A)&=a_{1,1}C_{1,1} + a_{1,2}C_{1,2} + a_{1,3}C_{1,3} + a_{1,4}C_{1,4} \\ &=1(-1)^{2}\underset{=-36}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{5}&{-3}&{1}\\{9}&{-6}&{3}\end{array}\right|}} +2(-1)^{3}\underset{=-186}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{3}&{4}\\{8}&{-3}&{1}\\{5}&{-6}&{3}\end{array}\right|}} \\ &+ 1(-1)^{4}\underset{=144}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{4}\\{8}&{5}&{1}\\{5}&{9}&{3}\end{array}\right|}} +2(-1)^{5}\underset{=210}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{3}\\{8}&{5}&{-3}\\{5}&{9}&{-6}\end{array}\right|}} \\ &=60\end{aligned}\end{align*}\nonumber
Це, звичайно, зайняло деякий час; це вимагало більше 50 множень (ми не рахували доповнень). Щоб обчислити детермінант5\times5 матриці, нам потрібно буде обчислити детермінанти п'яти4\times 4 матриць, а це означає, що нам знадобиться більше 250 множень! Мало того, що це багато роботи, але є просто занадто багато способів зробити дурні помилки. ^{4}Є кілька хитрощів, щоб полегшити цю роботу, але незалежно від того, ми бачимо необхідність використовувати технології. Вже тоді технологія швидко заболочується. 25 \times 25Матриця вважається «маленькою» за сьогоднішніми мірками, ^{5}але комп'ютеру по суті неможливо обчислити її детермінант лише за допомогою кофакторного розширення; йому теж потрібно використовувати «хитрощі».
У наступному розділі ми дізнаємося деякі з цих хитрощів, коли дізнаємося деякі властивості детермінанта. Прямо зараз давайте розглянемо основи того, що ми дізналися.
- Визначник квадратної матриці - це число, яке визначається матрицею.
- Знаходимо детермінант шляхом обчислення кофакторного розширення уздовж першого ряду.
- Щоб обчислити детермінантn\times n матриці, нам потрібно обчислитиn детермінанти(n-1)\times(n-1) матриць.
Виноски
[1] Це схоже на навчання їздити на велосипеді. Їзда сама по собі не важко, це починається, що 's важко.
[2] Це стандартне визначення цих двох термінів, хоча існують незначні варіації.
[3] Але це може змусити нас почуватись трохи краще. Погляд вперед: чи бачите, скільки роботи нам належить зробити?!?
[4] Автор зробив три, коли наведений вище приклад був спочатку набраний.
[5] Для математиків, вчених та інженерів прийнято розглядати лінійні системи з тисячами рівнянь та змінних.